MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadet 22393
Description: The determinant of a submatrix of a square matrix obtained by removing a row and a column at the same index equals the determinant of the original matrix with the row replaced with 0's and a 1 at the diagonal position. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smadiadet.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
smadiadet.r 𝑅 ∈ CRing
smadiadet.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
smadiadet.h 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)
Assertion
Ref Expression
smadiadet ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))

Proof of Theorem smadiadet
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smadiadet.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2731 . . . . 5 (𝑁 subMat 𝑅) = (𝑁 subMat 𝑅)
3 smadiadet.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
41, 2, 3submaval 22304 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐾𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
543anidm23 1420 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
65fveq2d 6896 . 2 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
7 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
8 eqid 2731 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
9 eqid 2731 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
101, 3, 7, 8, 9minmar1val 22371 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐾𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
11103anidm23 1420 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
1211fveq2d 6896 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
13 smadiadet.r . . . . 5 𝑅 ∈ CRing
141, 3, 13, 9, 8marep01ma 22383 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
15 smadiadet.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17 eqid 2731 . . . . . 6 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
18 eqid 2731 . . . . . 6 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
19 eqid 2731 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
20 eqid 2731 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2115, 1, 3, 16, 17, 18, 19, 20mdetleib2 22311 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))))
2213, 14, 21sylancr 586 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))))
2322adantr 480 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))))
24 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25 eqid 2731 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
26 crngring 20140 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27 ringcmn 20171 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2813, 26, 27mp2b 10 . . . . . 6 𝑅 ∈ CMnd
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
301, 3matrcl 22133 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
3130simpld 494 . . . . . . 7 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
32 eqid 2731 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3332, 16symgbasfi 19288 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
3431, 33syl 17 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
3534adantr 480 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
361, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19smadiadetlem1 22385 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
37 disjdif 4472 . . . . . 6 ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾})) = ∅
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾})) = ∅)
39 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
41 undif 4482 . . . . . . 7 ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4240, 41sylib 217 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4342eqcomd 2737 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾})))
4424, 25, 29, 35, 36, 38, 43gsummptfidmsplit 19840 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛)))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛)))))))))
45 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
46 eqid 2731 . . . . . 6 (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
471, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19, 45, 46smadiadetlem4 22392 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
481, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19smadiadetlem2 22387 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))) = (0g𝑅))
4947, 48oveq12d 7430 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛)))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))))(+g𝑅)(0g𝑅)))
50 ringmnd 20138 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
5113, 26, 50mp2b 10 . . . . . 6 𝑅 ∈ Mnd
52 diffi 9182 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
5331, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
5453adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
55 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
5655, 45symgbasfi 19288 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
5754, 56syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
58 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑀𝐵)
59 difssd 4133 . . . . . . . . . 10 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
601, 3submabas 22301 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
6158, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
62 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
63 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)
64 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) = (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))
6545, 46, 17, 63, 64, 20madetsmelbas2 22188 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
6613, 61, 62, 65mp3an2i 1465 . . . . . . . 8 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
6766ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
6824, 29, 57, 67gsummptcl 19877 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅))
6924, 25, 9mndrid 18681 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))))(+g𝑅)(0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
7051, 68, 69sylancr 586 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))))(+g𝑅)(0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
71 difssd 4133 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7260, 13jctil 519 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
7371, 72sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
74 smadiadet.h . . . . . . 7 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)
7574, 63, 64, 45, 17, 46, 19, 20mdetleib2 22311 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
7673, 75syl 17 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
7770, 76eqtr4d 2774 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))))(+g𝑅)(0g𝑅)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
7844, 49, 773eqtrd 2775 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
7912, 23, 783eqtrd 2775 . 2 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
806, 79eqtr4d 2774 1 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  cmpt 5232  ccom 5681  cfv 6544  (class class class)co 7412  cmpo 7414  Fincfn 8942  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390   Σg cgsu 17391  Mndcmnd 18660  SymGrpcsymg 19276  pmSgncpsgn 19399  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  ℤRHomczrh 21269   Mat cmat 22128   subMat csubma 22299   maDet cmdat 22307   minMatR1 cminmar1 22356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-splice 14705  df-reverse 14714  df-s2 14804  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-efmnd 18787  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-mat 22129  df-subma 22300  df-mdet 22308  df-minmar1 22358
This theorem is referenced by:  smadiadetg  22396
  Copyright terms: Public domain W3C validator