Theorem smadiadet 22564

Description: The determinant of a submatrix of a square matrix obtained by removing a row and a column at the same index equals the determinant of the original matrix with the row replaced with 0's and a 1 at the diagonal position. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
smadiadet.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smadiadet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smadiadet.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
smadiadet.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
smadiadet.h	⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smadiadet	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))

Proof of Theorem smadiadet

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smadiadet.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 subMat 𝑅) = (𝑁 subMat 𝑅)
3		smadiadet.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval 22475	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5	4	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
6	5	fveq2d 6865	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10	1, 3, 7, 8, 9	minmar1val 22542	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
11	10	3anidm23 1423	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
12	11	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
13		smadiadet.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
14	1, 3, 13, 9, 8	marep01ma 22554	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
15		smadiadet.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
18		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
19		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	15, 1, 3, 16, 17, 18, 19, 20	mdetleib2 22482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
22	13, 14, 21	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
24		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26		crngring 20161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27		ringcmn 20198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
28	13, 26, 27	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	1, 3	matrcl 22306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
31	30	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
32		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
33	32, 16	symgbasfi 19316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
34	31, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
36	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19	smadiadetlem1 22556	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
37		disjdif 4438	. . . . . 6 ⊢ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = ∅
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = ∅)
39		ssrab2 4046	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
41		undif 4448	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
42	40, 41	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
43	42	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})))
44	24, 25, 29, 35, 36, 38, 43	gsummptfidmsplit 19867	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))))
45		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
46		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
47	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19, 45, 46	smadiadetlem4 22563	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
48	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19	smadiadetlem2 22558	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (0g‘𝑅))
49	47, 48	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
50		ringmnd 20159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
51	13, 26, 50	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
52		diffi 9145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
53	31, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
54	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
55		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
56	55, 45	symgbasfi 19316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
57	54, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
58		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59		difssd 4103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
60	1, 3	submabas 22472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
61	58, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
62		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
63		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)
64		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) = (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))
65	45, 46, 17, 63, 64, 20	madetsmelbas2 22359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
66	13, 61, 62, 65	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
67	66	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
68	24, 29, 57, 67	gsummptcl 19904	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅))
69	24, 25, 9	mndrid 18689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
70	51, 68, 69	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
71		difssd 4103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
72	60, 13	jctil 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
73	71, 72	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
74		smadiadet.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)
75	74, 63, 64, 45, 17, 46, 19, 20	mdetleib2 22482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
76	73, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
77	70, 76	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
78	44, 49, 77	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
79	12, 23, 78	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
80	6, 79	eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ifcif 4491  {csn 4592   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  Fincfn 8921  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668  SymGrpcsymg 19306  pmSgncpsgn 19426  CMndccmn 19717  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  ℤRHomczrh 21416   Mat cmat 22301   subMat csubma 22470   maDet cmdat 22478   minMatR1 cminmar1 22527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-splice 14722  df-reverse 14731  df-s2 14821  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-symg 19307  df-pmtr 19379  df-psgn 19428  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-mat 22302  df-subma 22471  df-mdet 22479  df-minmar1 22529

This theorem is referenced by:  smadiadetg  22567