Theorem smadiadet 22493

Description: The determinant of a submatrix of a square matrix obtained by removing a row and a column at the same index equals the determinant of the original matrix with the row replaced with 0's and a 1 at the diagonal position. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
smadiadet.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smadiadet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smadiadet.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
smadiadet.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
smadiadet.h	⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smadiadet	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))

Proof of Theorem smadiadet

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smadiadet.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑁 subMat 𝑅) = (𝑁 subMat 𝑅)
3		smadiadet.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval 22404	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5	4	3anidm23 1420	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
6	5	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10	1, 3, 7, 8, 9	minmar1val 22471	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
11	10	3anidm23 1420	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
12	11	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
13		smadiadet.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
14	1, 3, 13, 9, 8	marep01ma 22483	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
15		smadiadet.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
18		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
19		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	15, 1, 3, 16, 17, 18, 19, 20	mdetleib2 22411	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
22	13, 14, 21	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
24		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26		crngring 20146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27		ringcmn 20177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
28	13, 26, 27	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	1, 3	matrcl 22233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
31	30	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
32		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
33	32, 16	symgbasfi 19294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
34	31, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
36	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19	smadiadetlem1 22485	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
37		disjdif 4471	. . . . . 6 ⊢ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = ∅
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = ∅)
39		ssrab2 4077	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
41		undif 4481	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
42	40, 41	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
43	42	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})))
44	24, 25, 29, 35, 36, 38, 43	gsummptfidmsplit 19846	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))))
45		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
46		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
47	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19, 45, 46	smadiadetlem4 22492	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
48	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19	smadiadetlem2 22487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (0g‘𝑅))
49	47, 48	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
50		ringmnd 20144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
51	13, 26, 50	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
52		diffi 9185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
53	31, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
54	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
55		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
56	55, 45	symgbasfi 19294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
57	54, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
58		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59		difssd 4132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
60	1, 3	submabas 22401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
61	58, 59, 60	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
62		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
63		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)
64		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) = (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))
65	45, 46, 17, 63, 64, 20	madetsmelbas2 22288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
66	13, 61, 62, 65	mp3an2i 1465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
67	66	ralrimiva 3145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
68	24, 29, 57, 67	gsummptcl 19883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅))
69	24, 25, 9	mndrid 18686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
70	51, 68, 69	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
71		difssd 4132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
72	60, 13	jctil 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
73	71, 72	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
74		smadiadet.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)
75	74, 63, 64, 45, 17, 46, 19, 20	mdetleib2 22411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
76	73, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
77	70, 76	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
78	44, 49, 77	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
79	12, 23, 78	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
80	6, 79	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Fincfn 8945  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  Mndcmnd 18665  SymGrpcsymg 19282  pmSgncpsgn 19405  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  ℤRHomczrh 21360   Mat cmat 22228   subMat csubma 22399   maDet cmdat 22407   minMatR1 cminmar1 22456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-cnfld 21235  df-zring 21308  df-zrh 21364  df-dsmm 21598  df-frlm 21613  df-mat 22229  df-subma 22400  df-mdet 22408  df-minmar1 22458

This theorem is referenced by:  smadiadetg  22496