Theorem smadiadet 21278

Description: The determinant of a submatrix of a square matrix obtained by removing a row and a column at the same index equals the determinant of the original matrix with the row replaced with 0's and a 1 at the diagonal position. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
smadiadet.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smadiadet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smadiadet.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
smadiadet.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
smadiadet.h	⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smadiadet	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))

Proof of Theorem smadiadet

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smadiadet.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑁 subMat 𝑅) = (𝑁 subMat 𝑅)
3		smadiadet.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval 21189	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5	4	3anidm23 1417	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
6	5	fveq2d 6673	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
7		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
8		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10	1, 3, 7, 8, 9	minmar1val 21256	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
11	10	3anidm23 1417	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
12	11	fveq2d 6673	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
13		smadiadet.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
14	1, 3, 13, 9, 8	marep01ma 21268	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
15		smadiadet.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
18		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
19		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	15, 1, 3, 16, 17, 18, 19, 20	mdetleib2 21196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
22	13, 14, 21	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
23	22	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))))
24		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26		crngring 19307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27		ringcmn 19330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
28	13, 26, 27	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	1, 3	matrcl 21020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
31	30	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
32		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
33	32, 16	symgbasfi 18506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
34	31, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
35	34	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
36	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19	smadiadetlem1 21270	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
37		disjdif 4420	. . . . . 6 ⊢ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = ∅
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = ∅)
39		ssrab2 4055	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
41		undif 4429	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
42	40, 41	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
43	42	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})))
44	24, 25, 29, 35, 36, 38, 43	gsummptfidmsplit 19049	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))))
45		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
46		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
47	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19, 45, 46	smadiadetlem4 21277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
48	1, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19	smadiadetlem2 21272	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (0g‘𝑅))
49	47, 48	oveq12d 7173	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ {𝑞 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
50		ringmnd 19305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
51	13, 26, 50	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
52		diffi 8749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
53	31, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
54	53	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
55		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
56	55, 45	symgbasfi 18506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
57	54, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
58		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59		difssd 4108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
60	1, 3	submabas 21186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
61	58, 59, 60	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
62		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
63		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)
64		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) = (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))
65	45, 46, 17, 63, 64, 20	madetsmelbas2 21073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
66	13, 61, 62, 65	mp3an2i 1462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
67	66	ralrimiva 3182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
68	24, 29, 57, 67	gsummptcl 19086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅))
69	24, 25, 9	mndrid 17931	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
70	51, 68, 69	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
71		difssd 4108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
72	60, 13	jctil 522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
73	71, 72	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))))
74		smadiadet.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)
75	74, 63, 64, 45, 17, 46, 19, 20	mdetleib2 21196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
76	73, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
77	70, 76	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾})))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
78	44, 49, 77	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
79	12, 23, 78	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
80	6, 79	eqtr4d 2859	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ifcif 4466  {csn 4566   ↦ cmpt 5145   ∘ ccom 5558  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  Fincfn 8508  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  ._rcmulr 16565  0_gc0g 16712   Σ_g cgsu 16713  Mndcmnd 17910  SymGrpcsymg 18494  pmSgncpsgn 18616  CMndccmn 18905  mulGrpcmgp 19238  1_rcur 19250  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297  ℤRHomczrh 20646   Mat cmat 21015   subMat csubma 21184   maDet cmdat 21192   minMatR1 cminmar1 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13914  df-concat 13922  df-s1 13949  df-substr 14002  df-pfx 14032  df-splice 14111  df-reverse 14120  df-s2 14209  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-efmnd 18033  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-gim 18398  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-symg 18495  df-pmtr 18569  df-psgn 18618  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-subrg 19532  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-dsmm 20875  df-frlm 20890  df-mat 21016  df-subma 21185  df-mdet 21193  df-minmar1 21243

This theorem is referenced by:  smadiadetg  21281