Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem95 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem95 44516
Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem95.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem95.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem95.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem95.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem95.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem95.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem95.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem95.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem95.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem95.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem95.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem95.u π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
fourierdlem95.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
fourierdlem95.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
fourierdlem95.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem95.ifn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
fourierdlem95.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝐼 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem95.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem95.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem95.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem95.admvol (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
fourierdlem95.ass (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e 𝐸 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
fourierdlem95.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem95.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ℝ)
fourierdlem95.ifeqo ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = 𝑂)
fourierdlem95.itgdirker ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠 = (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem95 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + (𝑂 / 2)) = ∫𝐴((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐢,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑝,π‘š   𝑀,𝑠   𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑖,𝑋,𝑝,π‘š   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   𝑖,𝑛,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑝)   𝐴(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐡(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐢(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   π‘ˆ(𝑖,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐸(𝑖,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐺(π‘š,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐼(𝑖,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑉(π‘š,𝑛)   π‘Š(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑋(𝑛)   π‘Œ(𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem95
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2 fourierdlem95.ass . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
32difss2d 4099 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
54sselda 3949 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
6 fourierdlem95.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
8 fourierdlem95.xre . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
10 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
126, 11fssresd 6714 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
13 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
15 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
16 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
188ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
1915, 17, 8, 18lptioo1cn 43961 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
20 fourierdlem95.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
2112, 14, 19, 20limcrecl 43944 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
23 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ)
256, 24fssresd 6714 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)βŸΆβ„)
26 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . 12 (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚)
28 mnfxr 11219 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
308mnfltd 13052 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑋)
3115, 29, 8, 30lptioo2cn 43960 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(-∞(,)𝑋)))
32 fourierdlem95.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
3325, 27, 31, 32limcrecl 43944 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
35 fourierdlem95.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
36 fourierdlem95.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
37 fourierdlem95.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
381nnred 12175 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
39 fourierdlem95.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
40 fourierdlem95.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
417, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40fourierdlem67 44488 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
4241ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
435, 42syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
44 fourierdlem95.admvol . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
4544adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
4641feqmptd 6915 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
47 fourierdlem95.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
48 fourierdlem95.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
4948adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
5020adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
5132adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
52 fourierdlem95.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5352adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
54 fourierdlem95.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
5554adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
56 fourierdlem95.fcn . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5756adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
58 fourierdlem95.r . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
5958adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
60 fourierdlem95.l . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
6160adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
62 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜π‘–))
6362oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
6463cbvmptv 5223 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
65 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
66 fourierdlem95.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
67 fourierdlem95.ifn . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
6867adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
69 fourierdlem95.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝐼 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
7069adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐼 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
71 fourierdlem95.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
7271adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
7347, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72fourierdlem88 44509 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
7446, 73eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
754, 45, 42, 74iblss 25185 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
7643, 75itgrecl 25178 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 ∈ ℝ)
77 pire 25831 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
79 pipos 25833 . . . . . . 7 0 < Ο€
8077, 79gt0ne0ii 11698 . . . . . 6 Ο€ β‰  0
8180a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ β‰  0)
8276, 78, 81redivcld 11990 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) ∈ ℝ)
83 fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e . . . . 5 𝐸 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
8483fvmpt2 6964 . . . 4 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) ∈ ℝ) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
851, 82, 84syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
86 fourierdlem95.o . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ℝ)
8786recnd 11190 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ β„‚)
88 2cnd 12238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
89 2ne0 12264 . . . . . . 7 2 β‰  0
9089a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
9187, 88, 90divrecd 11941 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑂 / 2) = (𝑂 Β· (1 / 2)))
9291adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑂 / 2) = (𝑂 Β· (1 / 2)))
93 fourierdlem95.itgdirker . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠 = (1 / 2))
9493eqcomd 2743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 2) = ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠)
9594oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑂 Β· (1 / 2)) = (𝑂 Β· ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠))
9692, 95eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑂 / 2) = (𝑂 Β· ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠))
9785, 96oveq12d 7380 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + (𝑂 / 2)) = ((∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) + (𝑂 Β· ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠)))
982sselda 3949 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
9998adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
100 fourierdlem95.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
101 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}) = ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0})
1026, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101fourierdlem66 44487 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
10399, 102syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
104103itgeq2dv 25162 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫𝐴(Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) d𝑠)
105104oveq1d 7377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) = (∫𝐴(Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) d𝑠 / Ο€))
10678recnd 11190 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
1076adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1088adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
109 difss 4096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
11077renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ
111 iccssre 13353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
112110, 77, 111mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
113109, 112sstri 3958 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}) βŠ† ℝ
114113, 98sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
115108, 114readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
116107, 115ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
11721, 33ifcld 4537 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
118117adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
119116, 118resubcld 11590 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ℝ)
120119adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ℝ)
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
122114adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
123100dirkerre 44410 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
124121, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
125120, 124remulcld 11192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
126103eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (πΊβ€˜π‘ ))
127126oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) / Ο€) = ((πΊβ€˜π‘ ) / Ο€))
128 picn 25832 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
130125recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
13180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Ο€ β‰  0)
132129, 130, 129, 131div23d 11975 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) / Ο€) = ((Ο€ / Ο€) Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
13343recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
134133, 129, 131divrec2d 11942 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) / Ο€) = ((1 / Ο€) Β· (πΊβ€˜π‘ )))
135127, 132, 1343eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((1 / Ο€) Β· (πΊβ€˜π‘ )) = ((Ο€ / Ο€) Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
136128, 80dividi 11895 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ / Ο€) = 1
137136a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Ο€ / Ο€) = 1)
138137oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Ο€ / Ο€) Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (1 Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
139130mulid2d 11180 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (1 Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
140135, 138, 1393eqtrrd 2782 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = ((1 / Ο€) Β· (πΊβ€˜π‘ )))
141140mpteq2dva 5210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / Ο€) Β· (πΊβ€˜π‘ ))))
142106, 81reccld 11931 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / Ο€) ∈ β„‚)
143142, 43, 75iblmulc2 25211 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / Ο€) Β· (πΊβ€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
144141, 143eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
145106, 125, 144itgmulc2 25214 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Ο€ Β· ∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠) = ∫𝐴(Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) d𝑠)
146145eqcomd 2743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴(Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) d𝑠 = (Ο€ Β· ∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
147146oveq1d 7377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐴(Ο€ Β· (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) d𝑠 / Ο€) = ((Ο€ Β· ∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠) / Ο€))
148125, 144itgcl 25164 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 ∈ β„‚)
149148, 106, 81divcan3d 11943 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((Ο€ Β· ∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠) / Ο€) = ∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
150105, 147, 1493eqtrd 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) = ∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
15187adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ β„‚)
152112sseli 3945 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
153152, 123sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
154153adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
155110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
156 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
157156a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ℝ βŠ† β„‚)
158 ssid 3971 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
159 cncfss 24278 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
160157, 158, 159sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
161 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
162100dirkerf 44412 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
163162feqmptd 6915 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
164100dirkercncf 44422 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
165163, 164eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
166112a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
167 ssid 3971 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ
168167a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ℝ βŠ† ℝ)
169161, 165, 166, 168, 153cncfmptssg 44186 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
170160, 169sseldd 3950 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
171170adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
172 cniccibl 25221 . . . . . 6 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
173155, 78, 171, 172syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
1744, 45, 154, 173iblss 25185 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
175151, 124, 174itgmulc2 25214 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑂 Β· ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠) = ∫𝐴(𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
176150, 175oveq12d 7380 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((∫𝐴(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) + (𝑂 Β· ∫𝐴((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠)) = (∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
17786ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑂 ∈ ℝ)
178177, 124remulcld 11192 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
179151, 124, 174iblmulc2 25211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
180125, 144, 178, 179itgadd 25205 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) + (𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) d𝑠 = (∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
181 fourierdlem95.ifeqo . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = 𝑂)
182181eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑂 = if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))
183182adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑂 = if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))
184183oveq1d 7377 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
185184oveq2d 7378 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) + (𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) + (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
186116recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
187186adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
188118recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
189188adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
190124recnd 11190 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
191187, 189, 190subdird 11619 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) βˆ’ (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
192191oveq1d 7377 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) + (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) βˆ’ (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) + (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
193187, 190mulcld 11182 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
194189, 190mulcld 11182 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
195193, 194npcand 11523 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) βˆ’ (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) + (if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
196185, 192, 1953eqtrd 2781 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) + (𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
197196itgeq2dv 25162 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫𝐴((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) + (𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) d𝑠 = ∫𝐴((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
198180, 197eqtr3d 2779 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫𝐴(((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠) = ∫𝐴((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
19997, 176, 1983eqtrd 2781 1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + (𝑂 / 2)) = ∫𝐴((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574   mod cmo 13781  sincsin 15953  Ο€cpi 15956  TopOpenctopn 17310  β„‚fldccnfld 20812  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   limβ„‚ climc 25242   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  44524  fourierdlem104  44525
  Copyright terms: Public domain W3C validator