Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem95 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem95 42479
Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem95.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem95.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem95.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem95.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem95.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem95.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem95.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem95.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem95.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem95.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem95.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem95.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem95.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem95.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem95.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem95.ifn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
fourierdlem95.b (𝜑𝐵 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem95.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem95.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem95.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem95.admvol (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
fourierdlem95.ass (𝜑𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem95.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem95.o (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
fourierdlem95.ifeqo ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑂)
fourierdlem95.itgdirker ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem95 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑂 / 2)) = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑝,𝑚   𝑀,𝑠   𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑝,𝑚   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝑖,𝑛,𝑠   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐸(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑉(𝑚,𝑛)   𝑊(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑋(𝑛)   𝑌(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem95
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2 fourierdlem95.ass . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
32difss2d 4111 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
43adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
54sselda 3967 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
6 fourierdlem95.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8 fourierdlem95.xre . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
98adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
10 ioossre 12792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
126, 11fssresd 6540 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
13 ioosscn 41761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
15 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
16 pnfxr 10689 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
188ltpnfd 12510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 < +∞)
1915, 17, 8, 18lptioo1cn 41919 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
20 fourierdlem95.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
2112, 14, 19, 20limcrecl 41902 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2221adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
23 ioossre 12792 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
256, 24fssresd 6540 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
26 ioosscn 41761 . . . . . . . . . . . 12 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
28 mnfxr 10692 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
308mnfltd 12513 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3115, 29, 8, 30lptioo2cn 41918 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
32 fourierdlem95.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
3325, 27, 31, 32limcrecl 41902 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
3433adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
35 fourierdlem95.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
36 fourierdlem95.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
37 fourierdlem95.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
381nnred 11647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
39 fourierdlem95.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
40 fourierdlem95.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
417, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40fourierdlem67 42451 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
4241ffvelrnda 6846 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
435, 42syldan 593 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
44 fourierdlem95.admvol . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
4544adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
4641feqmptd 6728 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
47 fourierdlem95.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
48 fourierdlem95.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
4948adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
5020adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
5132adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
52 fourierdlem95.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5352adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
54 fourierdlem95.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
5554adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
56 fourierdlem95.fcn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5756adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
58 fourierdlem95.r . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
5958adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
60 fourierdlem95.l . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
6160adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
62 fveq2 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (𝑉𝑗) = (𝑉𝑖))
6362oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
6463cbvmptv 5162 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
65 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
66 fourierdlem95.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
67 fourierdlem95.ifn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
6867adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
69 fourierdlem95.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
7069adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
71 fourierdlem95.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
7271adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
7347, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72fourierdlem88 42472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
7446, 73eqeltrrd 2914 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
754, 45, 42, 74iblss 24399 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
7643, 75itgrecl 24392 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℝ)
77 pire 25038 . . . . . 6 π ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
79 pipos 25040 . . . . . . 7 0 < π
8077, 79gt0ne0ii 11170 . . . . . 6 π ≠ 0
8180a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
8276, 78, 81redivcld 11462 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℝ)
83 fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e . . . . 5 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
8483fvmpt2 6774 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℝ) → (𝐸𝑛) = (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
851, 82, 84syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
86 fourierdlem95.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
8786recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
88 2cnd 11709 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
89 2ne0 11735 . . . . . . 7 2 ≠ 0
9089a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9187, 88, 90divrecd 11413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 / 2) = (𝑂 · (1 / 2)))
9291adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 / 2) = (𝑂 · (1 / 2)))
93 fourierdlem95.itgdirker . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
9493eqcomd 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 2) = ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠)
9594oveq2d 7166 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 · (1 / 2)) = (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠))
9692, 95eqtrd 2856 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 / 2) = (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠))
9785, 96oveq12d 7168 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑂 / 2)) = ((∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) + (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠)))
982sselda 3967 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
9998adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
100 fourierdlem95.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
101 eqid 2821 . . . . . . . 8 ((-π[,]π) ∖ {0}) = ((-π[,]π) ∖ {0})
1026, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101fourierdlem66 42450 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
10399, 102syldan 593 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
104103itgeq2dv 24376 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠)
105104oveq1d 7165 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = (∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 / π))
10678recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
1076adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1088adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
109 difss 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
11077renegcli 10941 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ
111 iccssre 12812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
112110, 77, 111mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π[,]π) ⊆ ℝ
113109, 112sstri 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
114113, 98sseldi 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
115108, 114readdcld 10664 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
116107, 115ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
11721, 33ifcld 4512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
118117adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
119116, 118resubcld 11062 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
120119adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
1211adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
122114adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
123100dirkerre 42373 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
124121, 122, 123syl2anc 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
125120, 124remulcld 10665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
126103eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝐺𝑠))
127126oveq1d 7165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) / π) = ((𝐺𝑠) / π))
128 picn 25039 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
130125recnd 10663 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
13180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ≠ 0)
132129, 130, 129, 131div23d 11447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) / π) = ((π / π) · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
13343recnd 10663 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
134133, 129, 131divrec2d 11414 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐺𝑠) / π) = ((1 / π) · (𝐺𝑠)))
135127, 132, 1343eqtr3rd 2865 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((1 / π) · (𝐺𝑠)) = ((π / π) · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
136128, 80dividi 11367 . . . . . . . . . . . 12 (π / π) = 1
137136a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (π / π) = 1)
138137oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((π / π) · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (1 · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
139130mulid2d 10653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (1 · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
140135, 138, 1393eqtrrd 2861 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((1 / π) · (𝐺𝑠)))
141140mpteq2dva 5154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠𝐴 ↦ ((1 / π) · (𝐺𝑠))))
142106, 81reccld 11403 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / π) ∈ ℂ)
143142, 43, 75iblmulc2 24425 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ ((1 / π) · (𝐺𝑠))) ∈ 𝐿1)
144141, 143eqeltrd 2913 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
145106, 125, 144itgmulc2 24428 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) = ∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠)
146145eqcomd 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 = (π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
147146oveq1d 7165 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 / π) = ((π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) / π))
148125, 144itgcl 24378 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
149148, 106, 81divcan3d 11415 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) / π) = ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
150105, 147, 1493eqtrd 2860 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
15187adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂 ∈ ℂ)
152112sseli 3963 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
153152, 123sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
154153adantll 712 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
155110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
156 ax-resscn 10588 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
157156a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ℝ ⊆ ℂ)
158 ssid 3989 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
159 cncfss 23501 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
160157, 158, 159sylancl 588 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
161 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠))
162100dirkerf 42375 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
163162feqmptd 6728 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
164100dirkercncf 42385 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
165163, 164eqeltrrd 2914 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
166112a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
167 ssid 3989 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ
168167a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ℝ ⊆ ℝ)
169161, 165, 166, 168, 153cncfmptssg 42145 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
170160, 169sseldd 3968 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
171170adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
172 cniccibl 24435 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
173155, 78, 171, 172syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
1744, 45, 154, 173iblss 24399 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
175151, 124, 174itgmulc2 24428 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠) = ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
176150, 175oveq12d 7168 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) + (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠)) = (∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
17786ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂 ∈ ℝ)
178177, 124remulcld 10665 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
179151, 124, 174iblmulc2 24425 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
180125, 144, 178, 179itgadd 24419 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 = (∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
181 fourierdlem95.ifeqo . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑂)
182181eqcomd 2827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑂 = if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))
183182adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂 = if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))
184183oveq1d 7165 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
185184oveq2d 7166 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
186116recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
187186adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
188118recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
189188adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
190124recnd 10663 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
191187, 189, 190subdird 11091 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) − (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
192191oveq1d 7165 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) − (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
193187, 190mulcld 10655 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
194189, 190mulcld 10655 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
195193, 194npcand 10995 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) − (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
196185, 192, 1953eqtrd 2860 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
197196itgeq2dv 24376 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
198180, 197eqtr3d 2858 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
19997, 176, 1983eqtrd 2860 1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑂 / 2)) = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  {crab 3142  cdif 3933  wss 3936  ifcif 4467  {csn 4561   class class class wbr 5059  cmpt 5139  dom cdm 5550  ran crn 5551  cres 5552  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  m cmap 8400  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  *cxr 10668   < clt 10669  cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  (,)cioo 12732  [,]cicc 12735  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027   mod cmo 13231  sincsin 15411  πcpi 15414  TopOpenctopn 16689  fldccnfld 20539  cnccncf 23478  volcvol 24058  𝐿1cibl 24212  citg 24213   lim climc 24454   D cdv 24455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-symdif 4219  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-t1 21916  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-mbf 24214  df-itg1 24215  df-itg2 24216  df-ibl 24217  df-itg 24218  df-0p 24265  df-limc 24458  df-dv 24459
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  42487  fourierdlem104  42488
  Copyright terms: Public domain W3C validator