Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem32 40925
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem32.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem32.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem32.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem32.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem32.l (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem32.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem32.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem32.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem32.ss (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem32.y 𝑌 = if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶))
fourierdlem32.j 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem32 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))

Proof of Theorem fourierdlem32
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem32.l . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
21adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
3 fourierdlem32.y . . . . 5 𝑌 = if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶))
4 iftrue 4249 . . . . 5 (𝐶 = 𝐴 → if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶)) = 𝑅)
53, 4syl5req 2812 . . . 4 (𝐶 = 𝐴𝑅 = 𝑌)
65adantl 473 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝑅 = 𝑌)
7 oveq2 6850 . . . . 5 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐴))
87adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐴))
9 fourierdlem32.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncff 22975 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
13 fourierdlem32.ss . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15 ioosscn 40290 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
17 eqid 2765 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2765 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
19 fourierdlem32.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2019leidd 10848 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐶)
21 fourierdlem32.cltd . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐷)
22 fourierdlem32.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2322rexrd 10343 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
24 elico2 12439 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐶𝐶 < 𝐷)))
2519, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐶𝐶 < 𝐷)))
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1442 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷))
2726adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷))
28 fourierdlem32.j . . . . . . . . 9 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
2917cnfldtop 22866 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
30 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
32 resttop 21244 . . . . . . . . . 10 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ Top)
3329, 31, 32sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ Top)
3428, 33syl5eqel 2848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
35 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
3723adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷))
39 fourierdlem32.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 elico2 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷)))
4240, 37, 41syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷)))
4338, 42mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷))
4443simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4544mnfltd 12158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → -∞ < 𝑥)
4643simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 < 𝐷)
4736, 37, 44, 45, 46eliood 40294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷))
4843simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐴𝑥)
4922adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50 fourierdlem32.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5239, 50, 19, 22, 21, 13fourierdlem10 40903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
5352simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷𝐵)
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐷𝐵)
5544, 49, 51, 46, 54ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 < 𝐵)
5650rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
58 elico2 12439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
5940, 57, 58syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
6044, 48, 55, 59mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
6147, 60elind 3960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
62 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷))
63 elioore 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷) → 𝑥 ∈ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
66 elinel2 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
6766adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
6839adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6956adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7068, 69, 58syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
7167, 70mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
7271simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴𝑥)
7362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷))
7423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
75 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐷)))
7635, 74, 75sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐷)))
7773, 76mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐷))
7877simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐷)
7968, 74, 41syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷)))
8065, 72, 78, 79mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷))
8161, 80impbida 835 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))))
8281eqrdv 2763 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,)𝐷) = ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
83 retop 22844 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
8530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
86 iooretop 22848 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)𝐷) ∈ (topGen‘ran (,))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-∞(,)𝐷) ∈ (topGen‘ran (,)))
88 elrestr 16357 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐷) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
8984, 85, 87, 88syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
9082, 89eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,)𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
9190adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴[,)𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
92 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
9392oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐶[,)𝐷) = (𝐴[,)𝐷))
9428a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
9529a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
96 icossre 12456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
9739, 56, 96syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
98 reex 10280 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ V)
100 restabs 21249 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10195, 97, 99, 100syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10217tgioo2 22885 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
103102eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
104103oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵))
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10694, 101, 1053eqtr2d 2805 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
107106adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10891, 93, 1073eltr4d 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐶[,)𝐷) ∈ 𝐽)
109 isopn3i 21166 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶[,)𝐷) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
11034, 108, 109syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
11127, 110eleqtrrd 2847 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)))
112 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐴)
113112eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐴𝐴 = 𝐶)
114113adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐴 = 𝐶)
115 uncom 3919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
11639rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
117 fourierdlem32.altb . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝐵)
118 snunioo 12505 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
119116, 56, 117, 118syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
120115, 119syl5eq 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
121120adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
122121oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
123122, 28syl6eqr 2817 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = 𝐽)
124123fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))) = (int‘𝐽))
125 uncom 3919 . . . . . . . . 9 ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐶(,)𝐷))
126 sneq 4344 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → {𝐶} = {𝐴})
127126eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴} = {𝐶})
128127uneq1d 3928 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → ({𝐴} ∪ (𝐶(,)𝐷)) = ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)))
129125, 128syl5eq 2811 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴}) = ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)))
13019rexrd 10343 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
131 snunioo 12505 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷) → ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
132130, 23, 21, 131syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
133129, 132sylan9eqr 2821 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴}) = (𝐶[,)𝐷))
134124, 133fveq12d 6382 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴})) = ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)))
135111, 114, 1343eltr4d 2859 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴})))
13612, 14, 16, 17, 18, 135limcres 23941 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
1378, 136eqtr2d 2800 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐹 lim 𝐴) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
1382, 6, 1373eltr3d 2858 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
139 limcresi 23940 . . 3 (𝐹 lim 𝐶) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶)
140 iffalse 4252 . . . . . 6 𝐶 = 𝐴 → if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶)) = (𝐹𝐶))
1413, 140syl5eq 2811 . . . . 5 𝐶 = 𝐴𝑌 = (𝐹𝐶))
142141adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝑌 = (𝐹𝐶))
143 ssid 3783 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
145 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
146 unicntop 22868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
147146restid 16362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
14829, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
149148eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15017, 145, 149cncfcn 22991 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15115, 144, 150sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1529, 151eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15317cnfldtopon 22865 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
154 resttopon 21245 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
155153, 15, 154mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵))
156 cncnp 21364 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
157155, 153, 156mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
158152, 157sylib 209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
159158simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
160159adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
161116adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16256adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16319adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
16439adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
16552simpld 488 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐶)
166165adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
167112eqcoms 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝐶𝐶 = 𝐴)
168167necon3bi 2963 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = 𝐴𝐴𝐶)
169168adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
170169necomd 2992 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶𝐴)
171164, 163, 166, 170leneltd 10445 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 < 𝐶)
17219, 22, 50, 21, 53ltletrd 10451 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐵)
173172adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
174161, 162, 163, 171, 173eliood 40294 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
175 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
176175eleq2d 2830 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶)))
177176rspccva 3460 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
178160, 174, 177syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
17917, 145cnplimc 23942 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶))))
18015, 174, 179sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶))))
181178, 180mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶)))
182181simprd 489 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶))
183142, 182eqeltrd 2844 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
184139, 183sseldi 3759 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
185138, 184pm2.61dan 847 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cun 3730  cin 3731  wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  ran crn 5278  cres 5279  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  (,)cioo 12377  [,)cico 12379  t crest 16349  TopOpenctopn 16350  topGenctg 16366  fldccnfld 20019  Topctop 20977  TopOnctopon 20994  intcnt 21101   Cn ccn 21308   CnP ccnp 21309  cnccncf 22958   lim climc 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-rest 16351  df-topn 16352  df-topgen 16372  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-ntr 21104  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-xms 22404  df-ms 22405  df-cncf 22960  df-limc 23921
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  40940  fourierdlem76  40968  fourierdlem89  40981
  Copyright terms: Public domain W3C validator