Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem32 42778
 Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem32.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem32.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem32.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem32.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem32.l (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem32.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem32.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem32.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem32.ss (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem32.y 𝑌 = if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶))
fourierdlem32.j 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem32 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))

Proof of Theorem fourierdlem32
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem32.l . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
21adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
3 fourierdlem32.y . . . . 5 𝑌 = if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶))
4 iftrue 4434 . . . . 5 (𝐶 = 𝐴 → if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶)) = 𝑅)
53, 4syl5req 2849 . . . 4 (𝐶 = 𝐴𝑅 = 𝑌)
65adantl 485 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝑅 = 𝑌)
7 oveq2 7147 . . . . 5 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐴))
87adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐴))
9 fourierdlem32.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncff 23502 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
13 fourierdlem32.ss . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1413adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15 ioosscn 12791 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
17 eqid 2801 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2801 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
19 fourierdlem32.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2019leidd 11199 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐶)
21 fourierdlem32.cltd . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐷)
22 fourierdlem32.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2322rexrd 10684 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
24 elico2 12793 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐶𝐶 < 𝐷)))
2519, 23, 24syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐶𝐶 < 𝐷)))
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1339 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷))
2726adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐶[,)𝐷))
28 fourierdlem32.j . . . . . . . . 9 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
2917cnfldtop 23393 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
30 ovex 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
32 resttop 21769 . . . . . . . . . 10 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ Top)
3329, 31, 32sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ Top)
3428, 33eqeltrid 2897 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
35 mnfxr 10691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
3723adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷))
39 fourierdlem32.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4039adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 elico2 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷)))
4240, 37, 41syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷)))
4338, 42mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷))
4443simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4544mnfltd 12511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → -∞ < 𝑥)
4643simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 < 𝐷)
4736, 37, 44, 45, 46eliood 42132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷))
4843simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐴𝑥)
4922adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50 fourierdlem32.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5150adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5239, 50, 19, 22, 21, 13fourierdlem10 42756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
5352simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷𝐵)
5453adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐷𝐵)
5544, 49, 51, 46, 54ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 < 𝐵)
5650rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5756adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
58 elico2 12793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
5940, 57, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
6044, 48, 55, 59mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
6147, 60elind 4124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
62 elinel1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷))
63 elioore 12760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷) → 𝑥 ∈ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6564adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
66 elinel2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
6766adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
6839adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6956adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7068, 69, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
7167, 70mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
7271simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴𝑥)
7362adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷))
7423adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
75 elioo2 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐷)))
7635, 74, 75sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐷)))
7773, 76mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐷))
7877simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐷)
7968, 74, 41syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐷)))
8065, 72, 78, 79mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷))
8161, 80impbida 800 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵))))
8281eqrdv 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,)𝐷) = ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
83 retop 23371 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
8530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
86 iooretop 23375 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)𝐷) ∈ (topGen‘ran (,))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-∞(,)𝐷) ∈ (topGen‘ran (,)))
88 elrestr 16698 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐷) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
8984, 85, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-∞(,)𝐷) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
9082, 89eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,)𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
9190adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴[,)𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
92 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
9392oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐶[,)𝐷) = (𝐴[,)𝐷))
9428a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
9529a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
96 icossre 12810 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
9739, 56, 96syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
98 reex 10621 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ V)
100 restabs 21774 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10195, 97, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10217tgioo2 23412 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
103102eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
104103oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵))
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10694, 101, 1053eqtr2d 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
107106adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10891, 93, 1073eltr4d 2908 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐶[,)𝐷) ∈ 𝐽)
109 isopn3i 21691 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶[,)𝐷) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
11034, 108, 109syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
11127, 110eleqtrrd 2896 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)))
112 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐴)
113112eqcomd 2807 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐴𝐴 = 𝐶)
114113adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐴 = 𝐶)
115 uncom 4083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
11639rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
117 fourierdlem32.altb . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝐵)
118 snunioo 12860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
119116, 56, 117, 118syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
120115, 119syl5eq 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
121120adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
122121oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))
123122, 28eqtr4di 2854 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = 𝐽)
124123fveq2d 6653 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))) = (int‘𝐽))
125 uncom 4083 . . . . . . . . 9 ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐶(,)𝐷))
126 sneq 4538 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → {𝐶} = {𝐴})
127126eqcomd 2807 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴} = {𝐶})
128127uneq1d 4092 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → ({𝐴} ∪ (𝐶(,)𝐷)) = ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)))
129125, 128syl5eq 2848 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴}) = ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)))
13019rexrd 10684 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
131 snunioo 12860 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷) → ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
132130, 23, 21, 131syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶[,)𝐷))
133129, 132sylan9eqr 2858 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴}) = (𝐶[,)𝐷))
134124, 133fveq12d 6656 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴})) = ((int‘𝐽)‘(𝐶[,)𝐷)))
135111, 114, 1343eltr4d 2908 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐴})))
13612, 14, 16, 17, 18, 135limcres 24493 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
1378, 136eqtr2d 2837 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐹 lim 𝐴) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
1382, 6, 1373eltr3d 2907 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
139 limcresi 24492 . . 3 (𝐹 lim 𝐶) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶)
140 iffalse 4437 . . . . . 6 𝐶 = 𝐴 → if(𝐶 = 𝐴, 𝑅, (𝐹𝐶)) = (𝐹𝐶))
1413, 140syl5eq 2848 . . . . 5 𝐶 = 𝐴𝑌 = (𝐹𝐶))
142141adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝑌 = (𝐹𝐶))
143 ssid 3940 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
145 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
146 unicntop 23395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
147146restid 16703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
14829, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
149148eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15017, 145, 149cncfcn 23519 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15115, 144, 150sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1529, 151eleqtrd 2895 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15317cnfldtopon 23392 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
154 resttopon 21770 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
155153, 15, 154mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵))
156 cncnp 21889 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
157155, 153, 156mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
158152, 157sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
159158simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
160159adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
161116adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16256adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16319adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
16439adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
16552simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐶)
166165adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
167112eqcoms 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝐶𝐶 = 𝐴)
168167necon3bi 3016 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = 𝐴𝐴𝐶)
169168adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
170169necomd 3045 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶𝐴)
171164, 163, 166, 170leneltd 10787 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 < 𝐶)
17219, 22, 50, 21, 53ltletrd 10793 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐵)
173172adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
174161, 162, 163, 171, 173eliood 42132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
175 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
176175eleq2d 2878 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶)))
177176rspccva 3573 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
178160, 174, 177syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
17917, 145cnplimc 24494 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶))))
18015, 174, 179sylancr 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶))))
181178, 180mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶)))
182181simprd 499 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 lim 𝐶))
183142, 182eqeltrd 2893 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
184139, 183sseldi 3916 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐴) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
185138, 184pm2.61dan 812 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  Vcvv 3444   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  ran crn 5524   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  (,)cioo 12730  [,)cico 12732   ↾t crest 16690  TopOpenctopn 16691  topGenctg 16707  ℂfldccnfld 20095  Topctop 21502  TopOnctopon 21519  intcnt 21626   Cn ccn 21833   CnP ccnp 21834  –cn→ccncf 23485   limℂ climc 24469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-rest 16692  df-topn 16693  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-ntr 21629  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-xms 22931  df-ms 22932  df-cncf 23487  df-limc 24473 This theorem is referenced by:  fourierdlem48  42793  fourierdlem76  42821  fourierdlem89  42834
 Copyright terms: Public domain W3C validator