Theorem infxrre 12999

Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infxrre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrre

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ressxr 10950	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstrdi 3929	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4		infxrcl 12996	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		infrecl 11887	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 10956	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8	5	xrleidd 12815	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
9		infxrgelb 12998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
10	3, 5, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
11		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
12		n0 4277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
14	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15	1	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
16		mnfxr 10963	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
18	6	mnfltd 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ, < ))
19	6	leidd 11471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
20		infregelb 11889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
21	6, 20	mpdan 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
22		infxrgelb 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23	3, 7, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
24	21, 23	bitr4d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
25	19, 24	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
26	17, 7, 5, 18, 25	xrltletrd 12824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
28		infxrlb 12997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
29	3, 28	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
30		xrre 12832	. . . . . . 7 ⊢ (((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31	14, 15, 27, 29, 30	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	13, 31	exlimddv 1939	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
33		infregelb 11889	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
34	32, 33	mpdan 683	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
35	10, 34	bitr4d 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
36	8, 35	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
37	5, 7, 36, 25	xrletrid 12818	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  infcinf 9130  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  mbflimsup  24735  infxrrefi  42811  supminfxr  42894  climinf2lem  43137  limsupvaluz2  43169