Theorem infxrre 13255

Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infxrre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrre

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ressxr 11199	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstrdi 3956	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4		infxrcl 13252	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		infrecl 12137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11205	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8	5	xrleidd 13071	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
9		infxrgelb 13254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
11		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
12		n0 4306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
14	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15	1	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
16		mnfxr 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
18	6	mnfltd 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ, < ))
19	6	leidd 11721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
20		infregelb 12139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
21	6, 20	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
22		infxrgelb 13254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23	3, 7, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
24	21, 23	bitr4d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
25	19, 24	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
26	17, 7, 5, 18, 25	xrltletrd 13080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
28		infxrlb 13253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
29	3, 28	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
30		xrre 13088	. . . . . . 7 ⊢ (((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31	14, 15, 27, 29, 30	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	13, 31	exlimddv 1938	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
33		infregelb 12139	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
34	32, 33	mpdan 685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
35	10, 34	bitr4d 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
36	8, 35	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
37	5, 7, 36, 25	xrletrid 13074	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  infcinf 9377  ℝcr 11050  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388

This theorem is referenced by:  mbflimsup  25030  infxrrefi  43606  supminfxr  43689  climinf2lem  43937  limsupvaluz2  43969