Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem88 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem88 44537
Description: Given a piecewise continuous function 𝐹, a continuous function 𝐾 and a continuous function 𝑆, the function 𝐺 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem88.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem88.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem88.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem88.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem88.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem88.u π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
fourierdlem88.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem88.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
fourierdlem88.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
fourierdlem88.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem88.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem88.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem88.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem88.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem88.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem88.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem88.ifn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
fourierdlem88.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐼 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem88.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐢(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐷(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑆(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘ˆ(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(π‘š,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐼(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑁(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)   π‘Š(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘Œ(𝑖,π‘š,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem88.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 pire 25853 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
54renegcld 11592 . . 3 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
87fourierdlem2 44452 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
106, 9mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
1110simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
12 elmapi 8795 . . . . 5 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
13 frn 6681 . . . . 5 (𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ ran 𝑉 βŠ† ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† ℝ)
15 fourierdlem88.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
1614, 15sseldd 3949 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
17 fourierdlem88.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 44464 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
20 ioossre 13336 . . . . . . . . . 10 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
2219, 21fssresd 6715 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
23 ax-resscn 11118 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
2421, 23sstrdi 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
25 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
26 pnfxr 11219 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2816ltpnfd 13052 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 43989 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
3122, 24, 29, 30limcrecl 43972 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
32 ioossre 13336 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ)
3419, 33fssresd 6715 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)βŸΆβ„)
3533, 23sstrdi 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚)
36 mnfxr 11222 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3816mnfltd 13055 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑋)
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 43988 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(-∞(,)𝑋)))
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
4134, 35, 39, 40limcrecl 43972 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 44504 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
4645ffvelcdmda 7041 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
4948fourierdlem5 44455 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
5150ffvelcdmda 7041 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
5246, 51remulcld 11195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
5352recnd 11193 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
54 fourierdlem88.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
5553, 54fmptd 7068 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
56 ssid 3970 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
57 cncfss 24300 . . . 4 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) βŠ† (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5823, 56, 57mp2an 691 . . 3 (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) βŠ† (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚)
5919adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
601, 2, 18fourierdlem15 44465 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
6160adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
62 elfzofz 13599 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6362adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6461, 63ffvelcdmd 7042 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
65 fzofzp1 13680 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6665adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6761, 66ffvelcdmd 7042 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
6816adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
697, 2, 6, 15fourierdlem12 44462 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7068recnd 11193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
7170addlidd 11366 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (0 + 𝑋) = 𝑋)
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
7372renegcld 11592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
7473, 68readdcld 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
7572, 68readdcld 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75iccssred 13362 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
777, 2, 6fourierdlem15 44465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
7978, 63ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
8076, 79sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
8180, 68resubcld 11593 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
8217fvmpt2 6965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
8363, 81, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
8483oveq1d 7378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
8580recnd 11193 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
8685, 70npcand 11526 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
8784, 86eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
88 fveq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜π‘—))
8988oveq1d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
9089cbvmptv 5224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
9117, 90eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
93 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ 𝑗 = (𝑖 + 1))
9493fveq2d 6852 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
9594oveq1d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
9678, 66ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
9776, 96sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9897, 68resubcld 11593 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
9992, 95, 66, 98fvmptd 6961 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
10099oveq1d 7378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
10197recnd 11193 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
102101, 70npcand 11526 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
103100, 102eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
10487, 103oveq12d 7381 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
10571, 104eleq12d 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((0 + 𝑋) ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)) ↔ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
10669, 105mtbird 325 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (0 + 𝑋) ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)))
107 0red 11168 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
10883, 81eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
10999, 98eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
110107, 108, 109, 68eliooshift 43846 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (0 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (0 + 𝑋) ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))))
111106, 110mtbird 325 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
113104reseq2d 5943 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
114104oveq1d 7378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚) = (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
115112, 113, 1143eltr4d 2848 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
11631adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
11741adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
11847adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 44527 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
12058, 119sselid 3946 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
121 eqid 2732 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ ))
122 eqid 2732 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ ))
123 eqid 2732 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
1243renegcli 11472 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ ℝ
125124rexri 11223 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ ℝ*
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
1273rexri 11223 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ*
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
12961adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
130 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 44458 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
132 ioossicc 13361 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
133132sseli 3944 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
134133adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
135131, 134sseldd 3949 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 44459 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
137136ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
138137, 135ffvelcdmd 7042 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
13943fourierdlem43 44493 . . . . . . . . . 10 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„
140139a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
141140, 135ffvelcdmd 7042 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
142138, 141remulcld 11195 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
14344fvmpt2 6965 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
144135, 142, 143syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
145144, 142eqeltrd 2833 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
146145recnd 11193 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
14747, 48fourierdlem18 44468 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
148 cncff 24294 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
150149adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
151150adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
152151, 135ffvelcdmd 7042 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
153152recnd 11193 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
154 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ ))
155 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))
156 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
157138recnd 11193 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
158141recnd 11193 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
16223a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
163161, 162fssd 6692 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
165 eqid 2732 . . . . . . . 8 if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 44524 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
167136adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
170 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 44458 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
172132, 171sstrid 3959 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
173167, 172feqresmpt 6917 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )))
174173oveq1d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
175166, 174eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
176 limcresi 25287 . . . . . . . 8 (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
17743fourierdlem62 44511 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ)
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
179178, 64cnlimci 25291 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
180176, 179sselid 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
181139a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
182181, 172feqresmpt 6917 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )))
183182oveq1d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
184180, 183eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 43959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
186144eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
187186mpteq2dva 5211 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )))
188187oveq1d 7378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
189185, 188eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
190 limcresi 25287 . . . . . 6 (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
191147adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
192191, 64cnlimci 25291 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
193190, 192sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
194150, 172feqresmpt 6917 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )))
195194oveq1d 7378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
196193, 195eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 43959 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
19852, 54fmptd 7068 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
199198adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
200199, 172feqresmpt 6917 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
201145, 152remulcld 11195 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
20254fvmpt2 6965 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
203135, 201, 202syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
204203mpteq2dva 5211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))))
205200, 204eqtr2d 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
206205oveq1d 7378 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
207197, 206eleqtrd 2835 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐼 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
210 eqid 2732 . . . . . . . 8 if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 44523 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
212173oveq1d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
213211, 212eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
214 limcresi 25287 . . . . . . . 8 (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
215178, 67cnlimci 25291 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
216214, 215sselid 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
217182oveq1d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
218216, 217eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 43959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
220187oveq1d 7378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
221219, 220eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
222 limcresi 25287 . . . . . 6 (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
223191, 67cnlimci 25291 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
224222, 223sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
225194oveq1d 7378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
226224, 225eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 43959 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
228205oveq1d 7378 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
229227, 228eleqtrd 2835 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 44518 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914  ifcif 4492   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5640   β†Ύ cres 5641  βŸΆwf 6498  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363   ↑m cmap 8773  β„‚cc 11059  β„cr 11060  0cc0 11061  1c1 11062   + caddc 11064   Β· cmul 11066  +∞cpnf 11196  -∞cmnf 11197  β„*cxr 11198   < clt 11199   βˆ’ cmin 11395  -cneg 11396   / cdiv 11822  β„•cn 12163  2c2 12218  (,)cioo 13275  [,]cicc 13278  ...cfz 13435  ..^cfzo 13578  sincsin 15958  Ο€cpi 15961  TopOpenctopn 17318  β„‚fldccnfld 20834  β€“cnβ†’ccncf 24277  πΏ1cibl 25019   limβ„‚ climc 25264   D cdv 25265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-inf2 9587  ax-cc 10381  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139  ax-addf 11140  ax-mulf 11141
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4208  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-iin 4963  df-disj 5077  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8099  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-2o 8419  df-oadd 8422  df-omul 8423  df-er 8656  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8844  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fsupp 9314  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9456  df-dju 9847  df-card 9885  df-acn 9888  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-q 12884  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-fzo 13579  df-fl 13708  df-mod 13786  df-seq 13918  df-exp 13979  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242  df-shft 14965  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-limsup 15366  df-clim 15383  df-rlim 15384  df-sum 15584  df-ef 15962  df-sin 15964  df-cos 15965  df-pi 15967  df-struct 17031  df-sets 17048  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-ress 17125  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-rest 17319  df-topn 17320  df-0g 17338  df-gsum 17339  df-topgen 17340  df-pt 17341  df-prds 17344  df-xrs 17399  df-qtop 17404  df-imas 17405  df-xps 17407  df-mre 17481  df-mrc 17482  df-acs 17484  df-mgm 18512  df-sgrp 18561  df-mnd 18572  df-submnd 18617  df-mulg 18888  df-cntz 19112  df-cmn 19579  df-psmet 20826  df-xmet 20827  df-met 20828  df-bl 20829  df-mopn 20830  df-fbas 20831  df-fg 20832  df-cnfld 20835  df-top 22281  df-topon 22298  df-topsp 22320  df-bases 22334  df-cld 22408  df-ntr 22409  df-cls 22410  df-nei 22487  df-lp 22525  df-perf 22526  df-cn 22616  df-cnp 22617  df-t1 22703  df-haus 22704  df-cmp 22776  df-tx 22951  df-hmeo 23144  df-fil 23235  df-fm 23327  df-flim 23328  df-flf 23329  df-xms 23711  df-ms 23712  df-tms 23713  df-cncf 24279  df-ovol 24866  df-vol 24867  df-mbf 25021  df-itg1 25022  df-itg2 25023  df-ibl 25024  df-itg 25025  df-0p 25072  df-limc 25268  df-dv 25269
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  44544  fourierdlem103  44552  fourierdlem104  44553
  Copyright terms: Public domain W3C validator