Theorem fourierdlem88 46765

Description: Given a piecewise continuous function 𝐹, a continuous function 𝐾 and a continuous function 𝑆, the function 𝐺 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem88.1	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem88.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem88.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem88.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem88.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem88.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem88.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem88.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem88.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem88.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
fourierdlem88.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem88.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem88.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem88.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
fourierdlem88.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem88.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
fourierdlem88.o	⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.i	⊢ 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem88.ifn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
fourierdlem88.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem88.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem88	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑖,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)   𝑊(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem88

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem88.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2		fourierdlem88.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		pire 26516	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11614	. . 3 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
6		fourierdlem88.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
7		fourierdlem88.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
8	7	fourierdlem2 46680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
10	6, 9	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
11	10	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
12		elmapi 8830	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
13		frn 6699	. . . . 5 ⊢ (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
15		fourierdlem88.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
16	14, 15	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		fourierdlem88.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
18	5, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17	fourierdlem14 46692	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑂‘𝑀))
19		fourierdlem88.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20		ioossre 13411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
22	19, 21	fssresd 6731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
23		ax-resscn 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24	21, 23	sstrdi 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
25		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
26		pnfxr 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
28	16	ltpnfd 13123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < +∞)
29	25, 27, 16, 28	lptioo1cn 46217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
30		fourierdlem88.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
31	22, 24, 29, 30	limcrecl 46202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
32		ioossre 13411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
34	19, 33	fssresd 6731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
35	33, 23	sstrdi 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
36		mnfxr 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
38	16	mnfltd 13126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑋)
39	25, 37, 16, 38	lptioo2cn 46216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
40		fourierdlem88.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
41	34, 35, 39, 40	limcrecl 46202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
42		fourierdlem88.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
43		fourierdlem88.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
44		fourierdlem88.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
45	19, 16, 31, 41, 42, 43, 44	fourierdlem55 46732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
46	45	ffvelcdmda 7065	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
47		fourierdlem88.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
48		fourierdlem88.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
49	48	fourierdlem5 46683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
50	47, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
51	50	ffvelcdmda 7065	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
52	46, 51	remulcld 11212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℂ)
54		fourierdlem88.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
55	53, 54	fmptd 7095	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
56		ssid 3958	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
57		cncfss 24958	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
58	23, 56, 57	mp2an 702	. . 3 ⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)
59	19	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
60	1, 2, 18	fourierdlem15 46693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
61	60	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
62		elfzofz 13681	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
63	62	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
64	61, 63	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (-π[,]π))
65		fzofzp1 13770	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
66	65	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
67	61, 66	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
68	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
69	7, 2, 6, 15	fourierdlem12 46690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
70	68	recnd 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
71	70	addlidd 11384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 + 𝑋) = 𝑋)
72	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ)
73	72	renegcld 11614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ)
74	73, 68	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
75	72, 68	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
76	74, 75	iccssred 13438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
77	7, 2, 6	fourierdlem15 46693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
78	77	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
79	78, 63	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
80	76, 79	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
81	80, 68	resubcld 11615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
82	17	fvmpt2 6987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
83	63, 81, 82	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
84	83	oveq1d 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + 𝑋) = (((𝑉‘𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
85	80	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℂ)
86	85, 70	npcand 11546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘𝑖))
87	84, 86	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + 𝑋) = (𝑉‘𝑖))
88		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝑗))
89	88	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))
90	89	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))
91	17, 90	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)))
93		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → 𝑗 = (𝑖 + 1))
94	93	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
95	94	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
96	78, 66	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
97	76, 96	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
98	97, 68	resubcld 11615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
99	92, 95, 66, 98	fvmptd 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
100	99	oveq1d 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
101	97	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
102	101, 70	npcand 11546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
103	100, 102	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
104	87, 103	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
105	71, 104	eleq12d 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((0 + 𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
106	69, 105	mtbird 327	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)))
107		0red 11184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
108	83, 81	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
109	99, 98	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
110	107, 108, 109, 68	eliooshift 46079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))))
111	106, 110	mtbird 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
112		fourierdlem88.fcn	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
113	104	reseq2d 5965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
114	104	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
115	112, 113, 114	3eltr4d 2877	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
116	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
117	41	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
118	47	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
119	59, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54	fourierdlem78 46755	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
120	58, 119	sselid 3934	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
121		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈‘𝑠))
122		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆‘𝑠))
123		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
124	3	renegcli 11492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ
125	124	rexri 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ∈ ℝ*
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -π ∈ ℝ*)
127	3	rexri 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ*
128	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → π ∈ ℝ*)
129	61	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
130		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
131	126, 128, 129, 130	fourierdlem8 46686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
132		ioossicc 13437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
133	132	sseli 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
134	133	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
135	131, 134	sseldd 3937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
136	19, 16, 31, 41, 42	fourierdlem9 46687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
137	136	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
138	137, 135	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
139	43	fourierdlem43 46721	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
140	139	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
141	140, 135	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
142	138, 141	remulcld 11212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
143	44	fvmpt2 6987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
144	135, 142, 143	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
145	144, 142	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
146	145	recnd 11210	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℂ)
147	47, 48	fourierdlem18 46696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
148		cncff 24952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
150	149	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
151	150	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
152	151, 135	ffvelcdmd 7066	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
153	152	recnd 11210	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℂ)
154		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻‘𝑠))
155		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾‘𝑠))
156		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
157	138	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℂ)
158	141	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℂ)
159		fourierdlem88.r	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
160		fourierdlem88.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
161		fourierdlem88.ifn	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
162	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
163	161, 162	fssd 6709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
164		fourierdlem88.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
165		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) = if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖)))
166	16, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165	fourierdlem75 46752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
167	136	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
168	125	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
169	127	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
170		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171	168, 169, 61, 170	fourierdlem8 46686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
172	132, 171	sstrid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
173	167, 172	feqresmpt 6936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻‘𝑠)))
174	173	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
175	166, 174	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
176		limcresi 25944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 limℂ (𝑄‘𝑖)) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))
177	43	fourierdlem62 46739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
178	177	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
179	178, 64	cnlimci 25948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘𝑖)) ∈ (𝐾 limℂ (𝑄‘𝑖)))
180	176, 179	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
181	139	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182	181, 172	feqresmpt 6936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾‘𝑠)))
183	182	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
184	180, 183	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
185	154, 155, 156, 157, 158, 175, 184	mullimc 46189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) · (𝐾‘(𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
186	144	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) = (𝑈‘𝑠))
187	186	mpteq2dva 5193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈‘𝑠)))
188	187	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
189	185, 188	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) · (𝐾‘(𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
190		limcresi 25944	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 limℂ (𝑄‘𝑖)) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))
191	147	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
192	191, 64	cnlimci 25948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘𝑖)) ∈ (𝑆 limℂ (𝑄‘𝑖)))
193	190, 192	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
194	150, 172	feqresmpt 6936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆‘𝑠)))
195	194	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
196	193, 195	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆‘𝑠)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
197	121, 122, 123, 146, 153, 189, 196	mullimc 46189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) · (𝐾‘(𝑄‘𝑖))) · (𝑆‘(𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
198	52, 54	fmptd 7095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
199	198	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
200	199, 172	feqresmpt 6936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘𝑠)))
201	145, 152	remulcld 11212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
202	54	fvmpt2 6987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
203	135, 201, 202	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
204	203	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
205	200, 204	eqtr2d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
206	205	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
207	197, 206	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) · (𝐾‘(𝑄‘𝑖))) · (𝑆‘(𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
208		fourierdlem88.l	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
209		fourierdlem88.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
210		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
211	16, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210	fourierdlem74 46751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
212	173	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
213	211, 212	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
214		limcresi 25944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215	178, 67	cnlimci 25948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐾 limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
216	214, 215	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
217	182	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
218	216, 217	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
219	154, 155, 156, 157, 158, 213, 218	mullimc 46189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
220	187	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
221	219, 220	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
222		limcresi 25944	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
223	191, 67	cnlimci 25948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝑆 limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
224	222, 223	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
225	194	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
226	224, 225	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆‘𝑠)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
227	121, 122, 123, 146, 153, 221, 226	mullimc 46189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
228	205	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
229	227, 228	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
230	1, 2, 18, 55, 120, 207, 229	fourierdlem69 46746	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ifcif 4480   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  +∞cpnf 11213  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  (,)cioo 13349  [,]cicc 13352  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  sincsin 16093  πcpi 16096  TopOpenctopn 17450  ℂ_fldccnfld 21421  –cn→ccncf 24935  𝐿¹cibl 25676   lim_ℂ climc 25921   D cdv 25922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-t1 23371  df-haus 23372  df-cmp 23444  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-ovol 25523  df-vol 25524  df-mbf 25678  df-itg1 25679  df-itg2 25680  df-ibl 25681  df-itg 25682  df-0p 25729  df-limc 25925  df-dv 25926

This theorem is referenced by:  fourierdlem95  46772  fourierdlem103  46780  fourierdlem104  46781