Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem88 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem88 41204
Description: Given a piecewise continuous function 𝐹, a continuous function 𝐾 and a continuous function 𝑆, the function 𝐺 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem88.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem88.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem88.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem88.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem88.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem88.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem88.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem88.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem88.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem88.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem88.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem88.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem88.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem88.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem88.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem88.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem88.ifn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
fourierdlem88.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem88.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)   𝑊(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem88.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 pire 24609 . . . . 5 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
54renegcld 10780 . . 3 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
87fourierdlem2 41119 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
106, 9mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
1110simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
12 elmapi 8143 . . . . 5 (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 frn 6283 . . . . 5 (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
15 fourierdlem88.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
1614, 15sseldd 3827 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
17 fourierdlem88.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 41131 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 ioossre 12522 . . . . . . . . . 10 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
2219, 21fssresd 6307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
23 ax-resscn 10308 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2421, 23syl6ss 3838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
25 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
26 pnfxr 10409 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2816ltpnfd 12240 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < +∞)
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 40672 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
3122, 24, 29, 30limcrecl 40655 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
32 ioossre 12522 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3419, 33fssresd 6307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
3533, 23syl6ss 3838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
36 mnfxr 10413 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3816mnfltd 12243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 40671 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
4134, 35, 39, 40limcrecl 40655 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 41171 . . . . . 6 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
4645ffvelrnda 6607 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
4948fourierdlem5 41122 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
5150ffvelrnda 6607 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
5246, 51remulcld 10386 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
5352recnd 10384 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℂ)
54 fourierdlem88.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
5553, 54fmptd 6632 . 2 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
56 ssid 3847 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
57 cncfss 23071 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5823, 56, 57mp2an 685 . . 3 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)
5919adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
601, 2, 18fourierdlem15 41132 . . . . . 6 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
6160adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
62 elfzofz 12779 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6362adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6461, 63ffvelrnd 6608 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
65 fzofzp1 12859 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6665adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6761, 66ffvelrnd 6608 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
6816adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
697, 2, 6, 15fourierdlem12 41129 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
7068recnd 10384 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
7170addid2d 10555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 + 𝑋) = 𝑋)
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ)
7372renegcld 10780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ)
7473, 68readdcld 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
7572, 68readdcld 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75iccssred 40525 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
777, 2, 6fourierdlem15 41132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
7877adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
7978, 63ffvelrnd 6608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
8076, 79sseldd 3827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8180, 68resubcld 10781 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
8217fvmpt2 6537 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8363, 81, 82syl2anc 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8483oveq1d 6919 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
8580recnd 10384 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
8685, 70npcand 10716 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
8784, 86eqtrd 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
88 fveq2 6432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
8988oveq1d 6919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9089cbvmptv 4972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9117, 90eqtri 2848 . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
93 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → 𝑗 = (𝑖 + 1))
9493fveq2d 6436 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
9594oveq1d 6919 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
9678, 66ffvelrnd 6608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
9776, 96sseldd 3827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9897, 68resubcld 10781 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
9992, 95, 66, 98fvmptd 6534 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
10099oveq1d 6919 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
10197recnd 10384 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
102101, 70npcand 10716 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
103100, 102eqtrd 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
10487, 103oveq12d 6922 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
10571, 104eleq12d 2899 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
10669, 105mtbird 317 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)))
107 0red 10359 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
10883, 81eqeltrd 2905 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
10999, 98eqeltrd 2905 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
110107, 108, 109, 68eliooshift 40527 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))))
111106, 110mtbird 317 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
113104reseq2d 5628 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
114104oveq1d 6919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
115112, 113, 1143eltr4d 2920 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
11631adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
11741adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
11847adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 41194 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
12058, 119sseldi 3824 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
121 eqid 2824 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠))
122 eqid 2824 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠))
123 eqid 2824 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
1243renegcli 10662 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
125124rexri 10414 . . . . . . . . . 10 -π ∈ ℝ*
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -π ∈ ℝ*)
1273rexri 10414 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ*
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → π ∈ ℝ*)
12961adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
130 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 41125 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
132 ioossicc 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
133132sseli 3822 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
134133adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
135131, 134sseldd 3827 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 41126 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
137136ad2antrr 719 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
138137, 135ffvelrnd 6608 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
13943fourierdlem43 41160 . . . . . . . . . 10 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
140139a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
141140, 135ffvelrnd 6608 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
142138, 141remulcld 10386 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
14344fvmpt2 6537 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
144135, 142, 143syl2anc 581 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
145144, 142eqeltrd 2905 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
146145recnd 10384 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
14747, 48fourierdlem18 41135 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
148 cncff 23065 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
150149adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
151150adantr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
152151, 135ffvelrnd 6608 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
153152recnd 10384 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑠) ∈ ℂ)
154 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠))
155 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠))
156 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
157138recnd 10384 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) ∈ ℂ)
158141recnd 10384 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
16223a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
163161, 162fssd 6291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
165 eqid 2824 . . . . . . . 8 if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 41191 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
167136adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
170 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 41125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
172132, 171syl5ss 3837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
173167, 172feqresmpt 6496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
174173oveq1d 6919 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
175166, 174eleqtrd 2907 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
176 limcresi 24047 . . . . . . . 8 (𝐾 lim (𝑄𝑖)) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
17743fourierdlem62 41178 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
179178, 64cnlimci 24051 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝐾 lim (𝑄𝑖)))
180176, 179sseldi 3824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
181139a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 172feqresmpt 6496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)))
183182oveq1d 6919 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
184180, 183eleqtrd 2907 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 40642 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
186144eqcomd 2830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = (𝑈𝑠))
187186mpteq2dva 4966 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)))
188187oveq1d 6919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
189185, 188eleqtrd 2907 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
190 limcresi 24047 . . . . . 6 (𝑆 lim (𝑄𝑖)) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
191147adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
192191, 64cnlimci 24051 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝑆 lim (𝑄𝑖)))
193190, 192sseldi 3824 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
194150, 172feqresmpt 6496 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)))
195194oveq1d 6919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
196193, 195eleqtrd 2907 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 40642 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) · (𝑆‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
19852, 54fmptd 6632 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
199198adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
200199, 172feqresmpt 6496 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
201145, 152remulcld 10386 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
20254fvmpt2 6537 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
203135, 201, 202syl2anc 581 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
204203mpteq2dva 4966 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
205200, 204eqtr2d 2861 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
206205oveq1d 6919 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
207197, 206eleqtrd 2907 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) · (𝑆‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
210 eqid 2824 . . . . . . . 8 if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 41190 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
212173oveq1d 6919 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
213211, 212eleqtrd 2907 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
214 limcresi 24047 . . . . . . . 8 (𝐾 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215178, 67cnlimci 24051 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐾 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
216214, 215sseldi 3824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
217182oveq1d 6919 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
218216, 217eleqtrd 2907 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 40642 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
220187oveq1d 6919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
221219, 220eleqtrd 2907 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
222 limcresi 24047 . . . . . 6 (𝑆 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
223191, 67cnlimci 24051 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝑆 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
224222, 223sseldi 3824 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
225194oveq1d 6919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
226224, 225eleqtrd 2907 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 40642 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
228205oveq1d 6919 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
229227, 228eleqtrd 2907 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 41185 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3116  {crab 3120  wss 3797  ifcif 4305   class class class wbr 4872  cmpt 4951  ran crn 5342  cres 5343  wf 6118  cfv 6122  (class class class)co 6904  𝑚 cmap 8121  cc 10249  cr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256  +∞cpnf 10387  -∞cmnf 10388  *cxr 10389   < clt 10390  cmin 10584  -cneg 10585   / cdiv 11008  cn 11349  2c2 11405  (,)cioo 12462  [,]cicc 12465  ...cfz 12618  ..^cfzo 12759  sincsin 15165  πcpi 15168  TopOpenctopn 16434  fldccnfld 20105  cnccncf 23048  𝐿1cibl 23782   lim climc 24024   D cdv 24025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cc 9571  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-symdif 4069  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-disj 4841  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-ofr 7157  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-omul 7830  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-acn 9080  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-bc 13382  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169  df-sin 15171  df-cos 15172  df-pi 15174  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-lp 21310  df-perf 21311  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-t1 21488  df-haus 21489  df-cmp 21560  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cncf 23050  df-ovol 23629  df-vol 23630  df-mbf 23784  df-itg1 23785  df-itg2 23786  df-ibl 23787  df-itg 23788  df-0p 23835  df-limc 24028  df-dv 24029
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  41211  fourierdlem103  41219  fourierdlem104  41220
  Copyright terms: Public domain W3C validator