Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem88 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem88 45221
Description: Given a piecewise continuous function 𝐹, a continuous function 𝐾 and a continuous function 𝑆, the function 𝐺 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem88.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem88.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem88.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem88.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem88.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem88.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem88.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem88.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem88.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem88.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem88.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem88.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem88.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem88.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem88.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem88.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem88.ifn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
fourierdlem88.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem88.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)   𝑊(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem88.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 pire 26219 . . . . 5 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
54renegcld 11648 . . 3 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
87fourierdlem2 45136 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
106, 9mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
1110simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
12 elmapi 8849 . . . . 5 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 frn 6724 . . . . 5 (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
15 fourierdlem88.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
1614, 15sseldd 3983 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
17 fourierdlem88.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 45148 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 ioossre 13392 . . . . . . . . . 10 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
2219, 21fssresd 6758 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
23 ax-resscn 11173 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2421, 23sstrdi 3994 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
25 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
26 pnfxr 11275 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2816ltpnfd 13108 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < +∞)
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 44673 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
3122, 24, 29, 30limcrecl 44656 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
32 ioossre 13392 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3419, 33fssresd 6758 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
3533, 23sstrdi 3994 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
36 mnfxr 11278 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3816mnfltd 13111 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 44672 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
4134, 35, 39, 40limcrecl 44656 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 45188 . . . . . 6 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
4645ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
4948fourierdlem5 45139 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
5150ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
5246, 51remulcld 11251 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
5352recnd 11249 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℂ)
54 fourierdlem88.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
5553, 54fmptd 7115 . 2 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
56 ssid 4004 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
57 cncfss 24652 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5823, 56, 57mp2an 689 . . 3 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)
5919adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
601, 2, 18fourierdlem15 45149 . . . . . 6 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
6160adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
62 elfzofz 13655 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6362adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6461, 63ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
65 fzofzp1 13736 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6665adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6761, 66ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
6816adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
697, 2, 6, 15fourierdlem12 45146 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
7068recnd 11249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
7170addlidd 11422 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 + 𝑋) = 𝑋)
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ)
7372renegcld 11648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ)
7473, 68readdcld 11250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
7572, 68readdcld 11250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75iccssred 13418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
777, 2, 6fourierdlem15 45149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
7978, 63ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
8076, 79sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8180, 68resubcld 11649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
8217fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8363, 81, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8483oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
8580recnd 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
8685, 70npcand 11582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
8784, 86eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
88 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
8988oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9089cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9117, 90eqtri 2759 . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
93 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → 𝑗 = (𝑖 + 1))
9493fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
9594oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
9678, 66ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
9776, 96sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9897, 68resubcld 11649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
9992, 95, 66, 98fvmptd 7005 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
10099oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
10197recnd 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
102101, 70npcand 11582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
103100, 102eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
10487, 103oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
10571, 104eleq12d 2826 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
10669, 105mtbird 325 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)))
107 0red 11224 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
10883, 81eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
10999, 98eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
110107, 108, 109, 68eliooshift 44530 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))))
111106, 110mtbird 325 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
113104reseq2d 5981 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
114104oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
115112, 113, 1143eltr4d 2847 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
11631adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
11741adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
11847adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 45211 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
12058, 119sselid 3980 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
121 eqid 2731 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠))
122 eqid 2731 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠))
123 eqid 2731 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
1243renegcli 11528 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
125124rexri 11279 . . . . . . . . . 10 -π ∈ ℝ*
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -π ∈ ℝ*)
1273rexri 11279 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ*
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → π ∈ ℝ*)
12961adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
130 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 45142 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
132 ioossicc 13417 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
133132sseli 3978 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
134133adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
135131, 134sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 45143 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
137136ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
138137, 135ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
13943fourierdlem43 45177 . . . . . . . . . 10 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
140139a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
141140, 135ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
142138, 141remulcld 11251 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
14344fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
144135, 142, 143syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
145144, 142eqeltrd 2832 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
146145recnd 11249 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
14747, 48fourierdlem18 45152 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
148 cncff 24646 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
150149adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
151150adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
152151, 135ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
153152recnd 11249 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑠) ∈ ℂ)
154 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠))
155 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠))
156 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
157138recnd 11249 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) ∈ ℂ)
158141recnd 11249 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
16223a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
163161, 162fssd 6735 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
165 eqid 2731 . . . . . . . 8 if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 45208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
167136adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
170 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 45142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
172132, 171sstrid 3993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
173167, 172feqresmpt 6961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
174173oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
175166, 174eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
176 limcresi 25647 . . . . . . . 8 (𝐾 lim (𝑄𝑖)) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
17743fourierdlem62 45195 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
179178, 64cnlimci 25651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝐾 lim (𝑄𝑖)))
180176, 179sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
181139a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 172feqresmpt 6961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)))
183182oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
184180, 183eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 44643 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
186144eqcomd 2737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = (𝑈𝑠))
187186mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)))
188187oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
189185, 188eleqtrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
190 limcresi 25647 . . . . . 6 (𝑆 lim (𝑄𝑖)) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
191147adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
192191, 64cnlimci 25651 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝑆 lim (𝑄𝑖)))
193190, 192sselid 3980 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
194150, 172feqresmpt 6961 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)))
195194oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
196193, 195eleqtrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 44643 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) · (𝑆‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
19852, 54fmptd 7115 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
199198adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
200199, 172feqresmpt 6961 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
201145, 152remulcld 11251 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
20254fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
203135, 201, 202syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
204203mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
205200, 204eqtr2d 2772 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
206205oveq1d 7427 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
207197, 206eleqtrd 2834 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) · (𝑆‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
210 eqid 2731 . . . . . . . 8 if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 45207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
212173oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
213211, 212eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
214 limcresi 25647 . . . . . . . 8 (𝐾 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215178, 67cnlimci 25651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐾 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
216214, 215sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
217182oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
218216, 217eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 44643 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
220187oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
221219, 220eleqtrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
222 limcresi 25647 . . . . . 6 (𝑆 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
223191, 67cnlimci 25651 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝑆 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
224222, 223sselid 3980 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
225194oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
226224, 225eleqtrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 44643 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
228205oveq1d 7427 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
229227, 228eleqtrd 2834 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 45202 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  {crab 3431  wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5677  cres 5678  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  +∞cpnf 11252  -∞cmnf 11253  *cxr 11254   < clt 11255  cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  (,)cioo 13331  [,]cicc 13334  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  sincsin 16014  πcpi 16017  TopOpenctopn 17374  fldccnfld 21148  cnccncf 24629  𝐿1cibl 25379   lim climc 25624   D cdv 25625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-t1 23051  df-haus 23052  df-cmp 23124  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-ovol 25226  df-vol 25227  df-mbf 25381  df-itg1 25382  df-itg2 25383  df-ibl 25384  df-itg 25385  df-0p 25432  df-limc 25628  df-dv 25629
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  45228  fourierdlem103  45236  fourierdlem104  45237
  Copyright terms: Public domain W3C validator