Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem88 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem88 45487
Description: Given a piecewise continuous function 𝐹, a continuous function 𝐾 and a continuous function 𝑆, the function 𝐺 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem88.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem88.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem88.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem88.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem88.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem88.u π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
fourierdlem88.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem88.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
fourierdlem88.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
fourierdlem88.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem88.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem88.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem88.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem88.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem88.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem88.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem88.ifn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
fourierdlem88.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐼 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem88.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐢(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐷(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑆(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘ˆ(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(π‘š,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐼(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑁(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)   π‘Š(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘Œ(𝑖,π‘š,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem88.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 pire 26348 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
54renegcld 11645 . . 3 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
87fourierdlem2 45402 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
106, 9mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
1110simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
12 elmapi 8845 . . . . 5 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
13 frn 6718 . . . . 5 (𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ ran 𝑉 βŠ† ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† ℝ)
15 fourierdlem88.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
1614, 15sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
17 fourierdlem88.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 45414 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
20 ioossre 13391 . . . . . . . . . 10 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
2219, 21fssresd 6752 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
23 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
2421, 23sstrdi 3989 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
25 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
26 pnfxr 11272 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2816ltpnfd 13107 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 44939 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
3122, 24, 29, 30limcrecl 44922 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
32 ioossre 13391 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ)
3419, 33fssresd 6752 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)βŸΆβ„)
3533, 23sstrdi 3989 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚)
36 mnfxr 11275 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3816mnfltd 13110 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑋)
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 44938 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(-∞(,)𝑋)))
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
4134, 35, 39, 40limcrecl 44922 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 45454 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
4645ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
4948fourierdlem5 45405 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
5150ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
5246, 51remulcld 11248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
5352recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
54 fourierdlem88.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
5553, 54fmptd 7109 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
56 ssid 3999 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
57 cncfss 24774 . . . 4 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) βŠ† (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5823, 56, 57mp2an 689 . . 3 (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) βŠ† (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚)
5919adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
601, 2, 18fourierdlem15 45415 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
6160adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
62 elfzofz 13654 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6362adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6461, 63ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
65 fzofzp1 13735 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6665adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6761, 66ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
6816adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
697, 2, 6, 15fourierdlem12 45412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7068recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
7170addlidd 11419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (0 + 𝑋) = 𝑋)
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
7372renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
7473, 68readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
7572, 68readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75iccssred 13417 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
777, 2, 6fourierdlem15 45415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
7978, 63ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
8076, 79sseldd 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
8180, 68resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
8217fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
8363, 81, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
8483oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
8580recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
8685, 70npcand 11579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
8784, 86eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
88 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜π‘—))
8988oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
9089cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
9117, 90eqtri 2754 . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
93 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ 𝑗 = (𝑖 + 1))
9493fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
9594oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
9678, 66ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
9776, 96sseldd 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9897, 68resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
9992, 95, 66, 98fvmptd 6999 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
10099oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
10197recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
102101, 70npcand 11579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
103100, 102eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
10487, 103oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
10571, 104eleq12d 2821 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((0 + 𝑋) ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)) ↔ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
10669, 105mtbird 325 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (0 + 𝑋) ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)))
107 0red 11221 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
10883, 81eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
10999, 98eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
110107, 108, 109, 68eliooshift 44796 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (0 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (0 + 𝑋) ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))))
111106, 110mtbird 325 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
113104reseq2d 5975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
114104oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚) = (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
115112, 113, 1143eltr4d 2842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
11631adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
11741adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
11847adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 45477 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
12058, 119sselid 3975 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
121 eqid 2726 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ ))
122 eqid 2726 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ ))
123 eqid 2726 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
1243renegcli 11525 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ ℝ
125124rexri 11276 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ ℝ*
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
1273rexri 11276 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ*
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
12961adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
130 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 45408 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
132 ioossicc 13416 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
133132sseli 3973 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
134133adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
135131, 134sseldd 3978 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 45409 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
137136ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
138137, 135ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
13943fourierdlem43 45443 . . . . . . . . . 10 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„
140139a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
141140, 135ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
142138, 141remulcld 11248 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
14344fvmpt2 7003 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
144135, 142, 143syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
145144, 142eqeltrd 2827 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
146145recnd 11246 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
14747, 48fourierdlem18 45418 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
148 cncff 24768 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
150149adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
151150adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
152151, 135ffvelcdmd 7081 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
153152recnd 11246 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
154 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ ))
155 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))
156 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
157138recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
158141recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
16223a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
163161, 162fssd 6729 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
165 eqid 2726 . . . . . . . 8 if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 45474 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
167136adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
170 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 45408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
172132, 171sstrid 3988 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
173167, 172feqresmpt 6955 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )))
174173oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
175166, 174eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
176 limcresi 25769 . . . . . . . 8 (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
17743fourierdlem62 45461 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ)
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
179178, 64cnlimci 25773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
180176, 179sselid 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
181139a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
182181, 172feqresmpt 6955 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )))
183182oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
184180, 183eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 44909 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
186144eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
187186mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )))
188187oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
189185, 188eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
190 limcresi 25769 . . . . . 6 (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
191147adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
192191, 64cnlimci 25773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
193190, 192sselid 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
194150, 172feqresmpt 6955 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )))
195194oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
196193, 195eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 44909 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
19852, 54fmptd 7109 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
199198adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
200199, 172feqresmpt 6955 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
201145, 152remulcld 11248 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
20254fvmpt2 7003 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
203135, 201, 202syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
204203mpteq2dva 5241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))))
205200, 204eqtr2d 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
206205oveq1d 7420 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
207197, 206eleqtrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐼 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
210 eqid 2726 . . . . . . . 8 if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 45473 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
212173oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
213211, 212eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
214 limcresi 25769 . . . . . . . 8 (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
215178, 67cnlimci 25773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
216214, 215sselid 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
217182oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
218216, 217eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 44909 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
220187oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
221219, 220eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
222 limcresi 25769 . . . . . 6 (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
223191, 67cnlimci 25773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
224222, 223sselid 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
225194oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
226224, 225eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 44909 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
228205oveq1d 7420 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
229227, 228eleqtrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐢, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 45468 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  sincsin 16013  Ο€cpi 16016  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  β€“cnβ†’ccncf 24751  πΏ1cibl 25501   limβ„‚ climc 25746   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-t1 23173  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  45494  fourierdlem103  45502  fourierdlem104  45503
  Copyright terms: Public domain W3C validator