Theorem degltlem1 25142

Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
degltlem1	⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Proof of Theorem degltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4079	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}))
2		nn0z 12273	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℤ)
3		zltlem1 12303	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
4	2, 3	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
5		zre 12253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
6	5	mnfltd 12789	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ < 𝑌)
7		peano2zm 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ*)
10		mnfle 12799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 − 1) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
12	6, 11	2thd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
13		elsni 4575	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → 𝑋 = -∞)
14		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 < 𝑌 ↔ -∞ < 𝑌))
15		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 ≤ (𝑌 − 1) ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
16	14, 15	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = -∞ → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
17	13, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
18	12, 17	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {-∞} → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1))))
19	18	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-∞} ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
20	4, 19	jaoian 953	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
21	1, 20	sylanb 580	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {csn 4558   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  1c1 10803  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  degltp1le  25143  ply1divex  25206