Theorem degltlem1 25589

Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
degltlem1	⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Proof of Theorem degltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4148	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}))
2		nn0z 12582	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℤ)
3		zltlem1 12614	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
4	2, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
5		zre 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
6	5	mnfltd 13103	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ < 𝑌)
7		peano2zm 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ*)
10		mnfle 13113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 − 1) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
12	6, 11	2thd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
13		elsni 4645	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → 𝑋 = -∞)
14		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 < 𝑌 ↔ -∞ < 𝑌))
15		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 ≤ (𝑌 − 1) ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
16	14, 15	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = -∞ → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
17	13, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
18	12, 17	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {-∞} → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1))))
19	18	impcom 408	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-∞} ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
20	4, 19	jaoian 955	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
21	1, 20	sylanb 581	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3946  {csn 4628   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  1c1 11110  -∞cmnf 11245  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11443  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558

This theorem is referenced by:  degltp1le  25590  ply1divex  25653