Theorem degltlem1 26027

Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
degltlem1	⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Proof of Theorem degltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4128	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}))
2		nn0z 12611	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℤ)
3		zltlem1 12643	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
4	2, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
5		zre 12590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
6	5	mnfltd 13138	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ < 𝑌)
7		peano2zm 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ*)
10		mnfle 13149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 − 1) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
12	6, 11	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
13		elsni 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → 𝑋 = -∞)
14		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 < 𝑌 ↔ -∞ < 𝑌))
15		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 ≤ (𝑌 − 1) ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
16	14, 15	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = -∞ → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
17	13, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
18	12, 17	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {-∞} → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1))))
19	18	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-∞} ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
20	4, 19	jaoian 958	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
21	1, 20	sylanb 581	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924  {csn 4601   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  1c1 11128  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  degltp1le  26028  ply1divex  26092  algextdeglem8  33704