Theorem degltlem1 26126

Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
degltlem1	⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Proof of Theorem degltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4163	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}))
2		nn0z 12636	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℤ)
3		zltlem1 12668	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
4	2, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
5		zre 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
6	5	mnfltd 13164	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ < 𝑌)
7		peano2zm 12658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ*)
10		mnfle 13174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 − 1) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
12	6, 11	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
13		elsni 4648	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → 𝑋 = -∞)
14		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 < 𝑌 ↔ -∞ < 𝑌))
15		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 ≤ (𝑌 − 1) ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
16	14, 15	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = -∞ → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
17	13, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {-∞} → ((𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
18	12, 17	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {-∞} → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1))))
19	18	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-∞} ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
20	4, 19	jaoian 958	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∨ 𝑋 ∈ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
21	1, 20	sylanb 581	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961  {csn 4631   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  1c1 11154  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is referenced by:  degltp1le  26127  ply1divex  26191  algextdeglem8  33730