MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atans2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atans2 26436
Description: It suffices to show that 1 โˆ’ i๐ด and 1 + i๐ด are in the continuity domain of log to show that ๐ด is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d ๐ท = (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0))
atansopn.s ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆฃ (1 + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐ท}
Assertion
Ref Expression
atans2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ท
Allowed substitution hint:   ๐‘†(๐‘ฆ)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 14083 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
21adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
32sqsqrtd 15386 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
43eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))โ†‘2))
52sqrtcld 15384 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6 sqeqor 14180 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = ((โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))โ†‘2) โ†” (๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆจ ๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
75, 6syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = ((โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))โ†‘2) โ†” (๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆจ ๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
84, 7mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆจ ๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
9 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
112negnegd 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ --(๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
1211fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (โˆšโ€˜--(๐ดโ†‘2)) = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))
13 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 โˆˆ โ„‚
14 pncan2 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆ’ 1) = (๐ดโ†‘2))
1513, 2, 14sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆ’ 1) = (๐ดโ†‘2))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0))
17 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -โˆž โˆˆ โ„*
18 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 โˆˆ โ„
19 elioc2 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โ‰ค 0)))
2017, 18, 19mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โ‰ค 0))
2116, 20sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โ‰ค 0))
2221simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„)
23 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2422, 9, 23sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2515, 24eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
2625renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ -(๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
27 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
28 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โ‰ค 1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
30 subneg 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) = (1 + (๐ดโ†‘2)))
3113, 2, 30sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) = (1 + (๐ดโ†‘2)))
3221simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (๐ดโ†‘2)) โ‰ค 0)
3331, 32eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) โ‰ค 0)
34 suble0 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 โˆˆ โ„ โˆง -(๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค -(๐ดโ†‘2)))
359, 26, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค -(๐ดโ†‘2)))
3633, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 1 โ‰ค -(๐ดโ†‘2))
3727, 10, 26, 29, 36letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 โ‰ค -(๐ดโ†‘2))
3826, 37sqrtnegd 15368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (โˆšโ€˜--(๐ดโ†‘2)) = (i ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))))
3912, 38eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = (i ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))))
4039oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))))
41 ax-icn 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โˆˆ โ„‚
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
4326, 37resqrtcld 15364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„)
4443recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
4542, 42, 44mulassd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))))
46 ixi 11843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i ยท i) = -1
4746oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) = (-1 ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))
4844mulm1d 11666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (-1 ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) = -(โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))
4947, 48eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) = -(โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))
5040, 45, 493eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) = -(โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))
5143renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ -(โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„)
5250, 51eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„)
5310, 52readdcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
5453mnfltd 13104 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ -โˆž < (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
5550oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) = (1 + -(โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))))
56 negsub 11508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -(โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) = (1 โˆ’ (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))))
5713, 44, 56sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + -(โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) = (1 โˆ’ (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))))
5855, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) = (1 โˆ’ (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))))
59 sq1 14159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1โ†‘2) = 1
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
6126recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ -(๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6261sqsqrtd 15386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
6336, 60, 623brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))โ†‘2))
6426, 37sqrtge0d 15367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))
6510, 43, 29, 64le2sqd 14220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โ‰ค (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)) โ†” (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))โ†‘2)))
6663, 65mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2)))
6710, 43suble0d 11805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 โˆ’ (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))))
6866, 67mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (โˆšโ€˜-(๐ดโ†‘2))) โ‰ค 0)
6958, 68eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โ‰ค 0)
70 elioc2 13387 . . . . . . . . . . . . 13 ((-โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆง (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โ‰ค 0)))
7117, 18, 70mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆง (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โ‰ค 0))
7253, 54, 69, 71syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ (-โˆž(,]0))
73 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ (i ยท ๐ด) = (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
7473oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) = (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
7574eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
7672, 75syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
77 mulneg2 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) = -(i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
7841, 5, 77sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) = -(i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
7978oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) = (1 โˆ’ -(i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
80 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
8141, 5, 80sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
82 subneg 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ -(i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) = (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
8313, 81, 82sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ -(i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) = (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
8479, 83eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) = (1 + (i ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
8584, 72eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ (-โˆž(,]0))
86 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ (i ยท ๐ด) = (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
8786oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = (1 โˆ’ (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))))
8887eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” (1 โˆ’ (i ยท -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
8985, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
9076, 89orim12d 964 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((๐ด = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) โˆจ ๐ด = -(โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))))
918, 90mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
9291orcomd 870 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
9359a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1โ†‘2) = 1)
94 sqmul 14084 . . . . . . . . . . . . 13 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
9541, 94mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
96 i2 14166 . . . . . . . . . . . . . 14 (iโ†‘2) = -1
9796oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2))
981mulm1d 11666 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
9997, 98eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
10095, 99eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
10193, 100oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = (1 โˆ’ -(๐ดโ†‘2)))
102 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10341, 102mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
104 subsq 14174 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
10513, 103, 104sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
10613, 1, 30sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) = (1 + (๐ดโ†‘2)))
107101, 105, 1063eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = (1 + (๐ดโ†‘2)))
108107adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = (1 + (๐ดโ†‘2)))
109 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„‚
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
112110, 111, 103subsubd 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 โˆ’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((2 โˆ’ 1) + (i ยท ๐ด)))
113 2m1e1 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆ’ 1) = 1
114113oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆ’ 1) + (i ยท ๐ด)) = (1 + (i ยท ๐ด))
115112, 114eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 โˆ’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = (1 + (i ยท ๐ด)))
116115adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (2 โˆ’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = (1 + (i ยท ๐ด)))
117 2re 12286 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
118 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))
119 elioc2 13387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0)))
12017, 18, 119mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0))
121118, 120sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0))
122121simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
123 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆ’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
124117, 122, 123sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (2 โˆ’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
125116, 124eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
126125, 122remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
127126mnfltd 13104 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ -โˆž < ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
128121simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0)
129 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
130117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
131 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 < 2)
133109subid1i 11532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 โˆ’ 0) = 2
134122, 129, 130, 128lesub2dd 11831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (2 โˆ’ 0) โ‰ค (2 โˆ’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
135133, 134eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 2 โ‰ค (2 โˆ’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
136135, 116breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 2 โ‰ค (1 + (i ยท ๐ด)))
137129, 130, 125, 132, 136ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 < (1 + (i ยท ๐ด)))
138 lemul2 12067 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + (i ยท ๐ด)))) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท 0)))
139122, 129, 125, 137, 138syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท 0)))
140128, 139mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท 0))
141 addcl 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
14213, 103, 141sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
143142adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
144143mul01d 11413 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท 0) = 0)
145140, 144breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค 0)
146 elioc2 13387 . . . . . . . . . . 11 ((-โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” (((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆง ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค 0)))
14717, 18, 146mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” (((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆง ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค 0))
148126, 127, 145, 147syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ (-โˆž(,]0))
149 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))
150 elioc2 13387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (i ยท ๐ด)) โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0)))
15117, 18, 150mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (i ยท ๐ด)) โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0))
152149, 151sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -โˆž < (1 + (i ยท ๐ด)) โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0))
153152simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
154110, 111, 103subsub4d 11602 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 โˆ’ 1) โˆ’ (i ยท ๐ด)) = (2 โˆ’ (1 + (i ยท ๐ด))))
155113oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆ’ 1) โˆ’ (i ยท ๐ด)) = (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))
156154, 155eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 โˆ’ (1 + (i ยท ๐ด))) = (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
157156adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (2 โˆ’ (1 + (i ยท ๐ด))) = (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
158 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆ’ (1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
159117, 153, 158sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (2 โˆ’ (1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
160157, 159eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
161153, 160remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
162161mnfltd 13104 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ -โˆž < ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
163152simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0)
164 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
165117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
166131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 < 2)
167153, 164, 165, 163lesub2dd 11831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (2 โˆ’ 0) โ‰ค (2 โˆ’ (1 + (i ยท ๐ด))))
168133, 167eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 2 โ‰ค (2 โˆ’ (1 + (i ยท ๐ด))))
169168, 157breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 2 โ‰ค (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
170164, 165, 160, 166, 169ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
171 lemul1 12066 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค (0 ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))
172153, 164, 160, 170, 171syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค (0 ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))))
173163, 172mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค (0 ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
174160recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
175174mul02d 11412 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ (0 ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) = 0)
176173, 175breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โ‰ค 0)
177161, 162, 176, 147syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ (-โˆž(,]0))
178148, 177jaodan 957 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))) โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) ยท (1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ (-โˆž(,]0))
179108, 178eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))) โ†’ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0))
18092, 179impbida 800 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))))
181180notbid 318 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” ยฌ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))))
182 ioran 983 . . . . 5 (ยฌ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆจ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)) โ†” (ยฌ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆง ยฌ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
183181, 182bitrdi 287 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โ†” (ยฌ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆง ยฌ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))))
184 addcl 11192 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
18513, 1, 184sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
186 atansopn.d . . . . . . . 8 ๐ท = (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0))
187186eleq2i 2826 . . . . . . 7 ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ ๐ท โ†” (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0)))
188 eldif 3959 . . . . . . 7 ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0)) โ†” ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
189187, 188bitri 275 . . . . . 6 ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ ๐ท โ†” ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
190189baib 537 . . . . 5 ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ ๐ท โ†” ยฌ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
191185, 190syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ ๐ท โ†” ยฌ (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
192 subcl 11459 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
19313, 103, 192sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
194186eleq2i 2826 . . . . . . . 8 ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0)))
195 eldif 3959 . . . . . . . 8 ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0)) โ†” ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
196194, 195bitri 275 . . . . . . 7 ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
197196baib 537 . . . . . 6 ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” ยฌ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
198193, 197syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” ยฌ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
199186eleq2i 2826 . . . . . . . 8 ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0)))
200 eldif 3959 . . . . . . . 8 ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– (-โˆž(,]0)) โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
201199, 200bitri 275 . . . . . . 7 ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
202201baib 537 . . . . . 6 ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” ยฌ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
203142, 202syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โ†” ยฌ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0)))
204198, 203anbi12d 632 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท) โ†” (ยฌ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0) โˆง ยฌ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ (-โˆž(,]0))))
205183, 191, 2043bitr4d 311 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ ๐ท โ†” ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท)))
206205pm5.32i 576 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ ๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท)))
207 atansopn.s . . 3 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆฃ (1 + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐ท}
208186, 207atans 26435 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + (๐ดโ†‘2)) โˆˆ ๐ท))
209 3anass 1096 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท)))
210206, 208, 2093bitr4i 303 1 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433   โˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115  -โˆžcmnf 11246  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  2c2 12267  (,]cioc 13325  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ioc 13329  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  dvatan  26440
  Copyright terms: Public domain W3C validator