Proof of Theorem atans2
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sqcl 14158 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈
ℂ) |
| 2 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ) |
| 3 | 2 | sqsqrtd 15478 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((√‘(𝐴↑2))↑2) = (𝐴↑2)) |
| 4 | 3 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2)) |
| 5 | 2 | sqrtcld 15476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) |
| 6 | | sqeqor 14255 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
(√‘(𝐴↑2))
∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))))) |
| 7 | 5, 6 | syldan 591 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))))) |
| 8 | 4, 7 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (𝐴 =
(√‘(𝐴↑2))
∨ 𝐴 =
-(√‘(𝐴↑2)))) |
| 9 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → 1 ∈ ℝ) |
| 11 | 2 | negnegd 11611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → --(𝐴↑2) = (𝐴↑2)) |
| 12 | 11 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (√‘(𝐴↑2))) |
| 13 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 14 | | pncan2 11515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2)) |
| 15 | 13, 2, 14 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2)) |
| 16 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) |
| 17 | | mnfxr 11318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ -∞
∈ ℝ* |
| 18 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 19 | | elioc2 13450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1
+ (𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ <
(1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ≤
0))) |
| 20 | 17, 18, 19 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ <
(1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ≤
0)) |
| 21 | 16, 20 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ <
(1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ≤
0)) |
| 22 | 21 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ) |
| 23 | | resubcl 11573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((1 +
(𝐴↑2)) ∈ ℝ
∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈
ℝ) |
| 24 | 22, 9, 23 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈
ℝ) |
| 25 | 15, 24 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ) |
| 26 | 25 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℝ) |
| 27 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ) |
| 28 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 0 ≤
1 |
| 29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 ≤ 1) |
| 30 | | subneg 11558 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 −
-(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2))) |
| 31 | 13, 2, 30 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2))) |
| 32 | 21 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0) |
| 33 | 31, 32 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0) |
| 34 | | suble0 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ -(𝐴↑2) ∈ ℝ) → ((1 −
-(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔
1 ≤ -(𝐴↑2))) |
| 35 | 9, 26, 34 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2))) |
| 36 | 33, 35 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → 1 ≤ -(𝐴↑2)) |
| 37 | 27, 10, 26, 29, 36 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 ≤ -(𝐴↑2)) |
| 38 | 26, 37 | sqrtnegd 15460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (i ·
(√‘-(𝐴↑2)))) |
| 39 | 12, 38 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) = (i ·
(√‘-(𝐴↑2)))) |
| 40 | 39 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = (i · (i ·
(√‘-(𝐴↑2))))) |
| 41 | | ax-icn 11214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ i ∈
ℂ |
| 42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → i ∈ ℂ) |
| 43 | 26, 37 | resqrtcld 15456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ) |
| 44 | 43 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ) |
| 45 | 42, 42, 44 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (i · (i
· (√‘-(𝐴↑2))))) |
| 46 | | ixi 11892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (i
· i) = -1 |
| 47 | 46 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((i
· i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (-1 ·
(√‘-(𝐴↑2))) |
| 48 | 44 | mulm1d 11715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (-1 · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2))) |
| 49 | 47, 48 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) =
-(√‘-(𝐴↑2))) |
| 50 | 40, 45, 49 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2))) |
| 51 | 43 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → -(√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ) |
| 52 | 50, 51 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℝ) |
| 53 | 10, 52 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ) |
| 54 | 53 | mnfltd 13166 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2))))) |
| 55 | 50 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + -(√‘-(𝐴↑2)))) |
| 56 | | negsub 11557 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (1 +
-(√‘-(𝐴↑2))) = (1 −
(√‘-(𝐴↑2)))) |
| 57 | 13, 44, 56 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 −
(√‘-(𝐴↑2)))) |
| 58 | 55, 57 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 −
(√‘-(𝐴↑2)))) |
| 59 | | sq1 14234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(1↑2) = 1 |
| 60 | 59 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1↑2) = 1) |
| 61 | 26 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℂ) |
| 62 | 61 | sqsqrtd 15478 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((√‘-(𝐴↑2))↑2) = -(𝐴↑2)) |
| 63 | 36, 60, 62 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2)) |
| 64 | 26, 37 | sqrtge0d 15459 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 ≤ (√‘-(𝐴↑2))) |
| 65 | 10, 43, 29, 64 | le2sqd 14296 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)) ↔ (1↑2) ≤
((√‘-(𝐴↑2))↑2))) |
| 66 | 63, 65 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2))) |
| 67 | 10, 43 | suble0d 11854 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0 ↔ 1 ≤
(√‘-(𝐴↑2)))) |
| 68 | 66, 67 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0) |
| 69 | 58, 68 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0) |
| 70 | | elioc2 13450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1
+ (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1
+ (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞
< (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i ·
(√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0))) |
| 71 | 17, 18, 70 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((1 + (i
· (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1
+ (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞
< (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i ·
(√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)) |
| 72 | 53, 54, 69, 71 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈
(-∞(,]0)) |
| 73 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (i ·
𝐴) = (i ·
(√‘(𝐴↑2)))) |
| 74 | 73 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i
· 𝐴)) = (1 + (i
· (√‘(𝐴↑2))))) |
| 75 | 74 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → ((1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0) ↔ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈
(-∞(,]0))) |
| 76 | 72, 75 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (𝐴 =
(√‘(𝐴↑2))
→ (1 + (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0))) |
| 77 | | mulneg2 11700 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i ·
-(√‘(𝐴↑2))) = -(i ·
(√‘(𝐴↑2)))) |
| 78 | 41, 5, 77 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i ·
(√‘(𝐴↑2)))) |
| 79 | 78 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 − -(i
· (√‘(𝐴↑2))))) |
| 80 | | mulcl 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i ·
(√‘(𝐴↑2)))
∈ ℂ) |
| 81 | 41, 5, 80 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ) |
| 82 | | subneg 11558 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ) → (1 −
-(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i ·
(√‘(𝐴↑2))))) |
| 83 | 13, 81, 82 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i ·
(√‘(𝐴↑2))))) |
| 84 | 79, 83 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i ·
(√‘(𝐴↑2))))) |
| 85 | 84, 72 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈
(-∞(,]0)) |
| 86 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (i ·
𝐴) = (i ·
-(√‘(𝐴↑2)))) |
| 87 | 86 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i
· 𝐴)) = (1 −
(i · -(√‘(𝐴↑2))))) |
| 88 | 87 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → ((1 − (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0) ↔ (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈
(-∞(,]0))) |
| 89 | 85, 88 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → (𝐴 =
-(√‘(𝐴↑2))
→ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) |
| 90 | 76, 89 | orim12d 967 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((𝐴
= (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0)))) |
| 91 | 8, 90 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 92 | 91 | orcomd 872 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 93 | 59 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(1↑2) = 1) |
| 94 | | sqmul 14159 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2))) |
| 95 | 41, 94 | mpan 690 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i
· 𝐴)↑2) =
((i↑2) · (𝐴↑2))) |
| 96 | | i2 14241 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(i↑2) = -1 |
| 97 | 96 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2)) |
| 98 | 1 | mulm1d 11715 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1
· (𝐴↑2)) =
-(𝐴↑2)) |
| 99 | 97, 98 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2)) |
| 100 | 95, 99 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i
· 𝐴)↑2) =
-(𝐴↑2)) |
| 101 | 93, 100 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2))) |
| 102 | | mulcl 11239 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ) |
| 103 | 41, 102 | mpan 690 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i
· 𝐴) ∈
ℂ) |
| 104 | | subsq 14249 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) −
((i · 𝐴)↑2)) =
((1 + (i · 𝐴))
· (1 − (i · 𝐴)))) |
| 105 | 13, 103, 104 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i
· 𝐴)))) |
| 106 | 13, 1, 30 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1
− -(𝐴↑2)) = (1 +
(𝐴↑2))) |
| 107 | 101, 105,
106 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i
· 𝐴)) · (1
− (i · 𝐴))) =
(1 + (𝐴↑2))) |
| 108 | 107 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i
· 𝐴)) · (1
− (i · 𝐴))) =
(1 + (𝐴↑2))) |
| 109 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 110 | 109 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈
ℂ) |
| 111 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈
ℂ) |
| 112 | 110, 111,
103 | subsubd 11648 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
− (1 − (i · 𝐴))) = ((2 − 1) + (i · 𝐴))) |
| 113 | | 2m1e1 12392 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (2
− 1) = 1 |
| 114 | 113 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
− 1) + (i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)) |
| 115 | 112, 114 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
− (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴))) |
| 116 | 115 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴))) |
| 117 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 118 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) |
| 119 | | elioc2 13450 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1
− (i · 𝐴))
∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))) |
| 120 | 17, 18, 119 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1
− (i · 𝐴))
∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)) |
| 121 | 118, 120 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1
− (i · 𝐴))
∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)) |
| 122 | 121 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 123 | | resubcl 11573 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1
− (i · 𝐴)))
∈ ℝ) |
| 124 | 117, 122,
123 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ) |
| 125 | 116, 124 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 126 | 125, 122 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈
ℝ) |
| 127 | 126 | mnfltd 13166 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴)))) |
| 128 | 121 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0) |
| 129 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ) |
| 130 | 117 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ) |
| 131 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 <
2 |
| 132 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 < 2) |
| 133 | 109 | subid1i 11581 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
− 0) = 2 |
| 134 | 122, 129,
130, 128 | lesub2dd 11880 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 − (i ·
𝐴)))) |
| 135 | 133, 134 | eqbrtrrid 5179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴)))) |
| 136 | 135, 116 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 + (i · 𝐴))) |
| 137 | 129, 130,
125, 132, 136 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 < (1 + (i · 𝐴))) |
| 138 | | lemul2 12120 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((1
− (i · 𝐴))
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (i
· 𝐴)))) → ((1
− (i · 𝐴))
≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) ·
0))) |
| 139 | 122, 129,
125, 137, 138 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i
· 𝐴))) ≤ ((1 + (i
· 𝐴)) ·
0))) |
| 140 | 128, 139 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)) |
| 141 | | addcl 11237 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i ·
𝐴)) ∈
ℂ) |
| 142 | 13, 103, 141 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i
· 𝐴)) ∈
ℂ) |
| 143 | 142 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 144 | 143 | mul01d 11460 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · 0) = 0) |
| 145 | 140, 144 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0) |
| 146 | | elioc2 13450 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) →
(((1 + (i · 𝐴))
· (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i
· 𝐴)) · (1
− (i · 𝐴)))
∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i ·
𝐴)) · (1 − (i
· 𝐴))) ≤
0))) |
| 147 | 17, 18, 146 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((1 + (i
· 𝐴)) · (1
− (i · 𝐴)))
∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧
-∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i ·
𝐴)) · (1 − (i
· 𝐴))) ≤
0)) |
| 148 | 126, 127,
145, 147 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈
(-∞(,]0)) |
| 149 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) |
| 150 | | elioc2 13450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1
+ (i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 +
(i · 𝐴)) ∧ (1 +
(i · 𝐴)) ≤
0))) |
| 151 | 17, 18, 150 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 +
(i · 𝐴)) ∧ (1 +
(i · 𝐴)) ≤
0)) |
| 152 | 149, 151 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 +
(i · 𝐴)) ∧ (1 +
(i · 𝐴)) ≤
0)) |
| 153 | 152 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 154 | 110, 111,
103 | subsub4d 11651 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2
− 1) − (i · 𝐴)) = (2 − (1 + (i · 𝐴)))) |
| 155 | 113 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
− 1) − (i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)) |
| 156 | 154, 155 | eqtr3di 2792 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
− (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴))) |
| 157 | 156 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴))) |
| 158 | | resubcl 11573 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 + (i
· 𝐴))) ∈
ℝ) |
| 159 | 117, 153,
158 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ) |
| 160 | 157, 159 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 161 | 153, 160 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈
ℝ) |
| 162 | 161 | mnfltd 13166 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴)))) |
| 163 | 152 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0) |
| 164 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ) |
| 165 | 117 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ) |
| 166 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 < 2) |
| 167 | 153, 164,
165, 163 | lesub2dd 11880 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴)))) |
| 168 | 133, 167 | eqbrtrrid 5179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴)))) |
| 169 | 168, 157 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 − (i · 𝐴))) |
| 170 | 164, 165,
160, 166, 169 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → 0 < (1 − (i · 𝐴))) |
| 171 | | lemul1 12119 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((1 + (i
· 𝐴)) ∈ ℝ
∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (i
· 𝐴)))) → ((1 +
(i · 𝐴)) ≤ 0
↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 −
(i · 𝐴))))) |
| 172 | 153, 164,
160, 170, 171 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i
· 𝐴))) ≤ (0
· (1 − (i · 𝐴))))) |
| 173 | 163, 172 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 −
(i · 𝐴)))) |
| 174 | 160 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 175 | 174 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → (0 · (1 − (i · 𝐴))) = 0) |
| 176 | 173, 175 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0) |
| 177 | 161, 162,
176, 147 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈
(-∞(,]0)) |
| 178 | 148, 177 | jaodan 960 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i
· 𝐴)) · (1
− (i · 𝐴)))
∈ (-∞(,]0)) |
| 179 | 108, 178 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0)) |
| 180 | 92, 179 | impbida 801 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)))) |
| 181 | 180 | notbid 318 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1
+ (𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0) ↔ ¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)))) |
| 182 | | ioran 986 |
. . . . 5
⊢ (¬
((1 − (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) ↔ (¬ (1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) |
| 183 | 181, 182 | bitrdi 287 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1
+ (𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0)))) |
| 184 | | addcl 11237 |
. . . . . 6
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈
ℂ) |
| 185 | 13, 1, 184 | sylancr 587 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
(𝐴↑2)) ∈
ℂ) |
| 186 | | atansopn.d |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐷 = (ℂ ∖
(-∞(,]0)) |
| 187 | 186 | eleq2i 2833 |
. . . . . . 7
⊢ ((1 +
(𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
| 188 | | eldif 3961 |
. . . . . . 7
⊢ ((1 +
(𝐴↑2)) ∈ (ℂ
∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 189 | 187, 188 | bitri 275 |
. . . . . 6
⊢ ((1 +
(𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 190 | 189 | baib 535 |
. . . . 5
⊢ ((1 +
(𝐴↑2)) ∈ ℂ
→ ((1 + (𝐴↑2))
∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 +
(𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 191 | 185, 190 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 +
(𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 192 | | subcl 11507 |
. . . . . . 7
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i
· 𝐴)) ∈
ℂ) |
| 193 | 13, 103, 192 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1
− (i · 𝐴))
∈ ℂ) |
| 194 | 186 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1
− (i · 𝐴))
∈ 𝐷 ↔ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
(ℂ ∖ (-∞(,]0))) |
| 195 | | eldif 3961 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1
− (i · 𝐴))
∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0))) |
| 196 | 194, 195 | bitri 275 |
. . . . . . 7
⊢ ((1
− (i · 𝐴))
∈ 𝐷 ↔ ((1 −
(i · 𝐴)) ∈
ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) |
| 197 | 196 | baib 535 |
. . . . . 6
⊢ ((1
− (i · 𝐴))
∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 198 | 193, 197 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1
− (i · 𝐴))
∈ 𝐷 ↔ ¬ (1
− (i · 𝐴))
∈ (-∞(,]0))) |
| 199 | 186 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1 + (i
· 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
| 200 | | eldif 3961 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1 + (i
· 𝐴)) ∈
(ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 201 | 199, 200 | bitri 275 |
. . . . . . 7
⊢ ((1 + (i
· 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1
+ (i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 202 | 201 | baib 535 |
. . . . . 6
⊢ ((1 + (i
· 𝐴)) ∈ ℂ
→ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 203 | 142, 202 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i
· 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i ·
𝐴)) ∈
(-∞(,]0))) |
| 204 | 198, 203 | anbi12d 632 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1
− (i · 𝐴))
∈ 𝐷 ∧ (1 + (i
· 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (¬ (1 − (i
· 𝐴)) ∈
(-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))) |
| 205 | 183, 191,
204 | 3bitr4d 311 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 +
(𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i ·
𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))) |
| 206 | 205 | pm5.32i 574 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 +
(𝐴↑2)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i
· 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))) |
| 207 | | atansopn.s |
. . 3
⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} |
| 208 | 186, 207 | atans 26973 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷)) |
| 209 | | 3anass 1095 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 −
(i · 𝐴)) ∈
𝐷 ∧ (1 + (i ·
𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i
· 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))) |
| 210 | 206, 208,
209 | 3bitr4i 303 |
1
⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i ·
𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)) |