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Theorem atans2 24949
Description: It suffices to show that 1 − i𝐴 and 1 + i𝐴 are in the continuity domain of log to show that 𝐴 is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
atans2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 13132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
32sqsqrtd 14463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘(𝐴↑2))↑2) = (𝐴↑2))
43eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2))
52sqrtcld 14461 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
6 sqeqor 13185 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
75, 6syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
84, 7mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))))
9 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ∈ ℝ)
112negnegd 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → --(𝐴↑2) = (𝐴↑2))
1211fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (√‘(𝐴↑2)))
13 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
14 pncan2 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
1513, 2, 14sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
17 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
18 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
19 elioc2 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)))
2017, 18, 19mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
2116, 20sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
2221simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
23 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2422, 9, 23sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2515, 24eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2625renegcld 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℝ)
27 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
28 0le1 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ 1)
30 subneg 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
3113, 2, 30sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
3221simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)
3331, 32eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0)
34 suble0 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ -(𝐴↑2) ∈ ℝ) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
359, 26, 34sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
3633, 35mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ -(𝐴↑2))
3727, 10, 26, 29, 36letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ -(𝐴↑2))
3826, 37sqrtnegd 14445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
3912, 38eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
4039oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
41 ax-icn 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → i ∈ ℂ)
4326, 37resqrtcld 14441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
4443recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
4542, 42, 44mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
46 ixi 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
4746oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (-1 · (√‘-(𝐴↑2)))
4844mulm1d 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (-1 · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
4947, 48syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
5040, 45, 493eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
5143renegcld 10711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
5250, 51eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℝ)
5310, 52readdcld 10323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
54 mnflt 12157 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
5650oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + -(√‘-(𝐴↑2))))
57 negsub 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
5813, 44, 57sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
5956, 58eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
60 sq1 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1↑2) = 1
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) = 1)
6226recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℂ)
6362sqsqrtd 14463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘-(𝐴↑2))↑2) = -(𝐴↑2))
6436, 61, 633brtr4d 4841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2))
6526, 37sqrtge0d 14444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
6610, 43, 29, 65le2sqd 13251 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2)))
6764, 66mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
6810, 43suble0d 10872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2))))
6967, 68mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0)
7059, 69eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)
71 elioc2 12438 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)))
7217, 18, 71mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0))
7353, 55, 70, 72syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
74 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · (√‘(𝐴↑2))))
7574oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
7675eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
7773, 76syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
78 mulneg2 10721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
7941, 5, 78sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
8079oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))))
81 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
8241, 5, 81sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
83 subneg 10584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8413, 82, 83sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8580, 84eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
8685, 73eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
87 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · -(√‘(𝐴↑2))))
8887oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) = (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))))
8988eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
9086, 89syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9177, 90orim12d 987 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
928, 91mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9392orcomd 897 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
9460a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1↑2) = 1)
95 sqmul 13133 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
9641, 95mpan 681 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
97 i2 13172 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
9897oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
991mulm1d 10736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
10098, 99syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
10196, 100eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
10294, 101oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
103 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10441, 103mpan 681 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
105 subsq 13179 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
10613, 104, 105sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
10713, 1, 30sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
108102, 106, 1073eqtr3d 2807 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
109108adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
110 2cn 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
11213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
113111, 112, 104subsubd 10674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = ((2 − 1) + (i · 𝐴)))
114 2m1e1 11405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 − 1) = 1
115114oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 1) + (i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴))
116113, 115syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
117116adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
118 2re 11346 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
119 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
120 elioc2 12438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)))
12117, 18, 120mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
122119, 121sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
123122simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
124 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
125118, 123, 124sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
126117, 125eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
127126, 123remulcld 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
128 mnflt 12157 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
130122simp3d 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)
131 0red 10297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
132118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
133 2pos 11382 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
135110subid1i 10607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 0) = 2
136123, 131, 132, 130lesub2dd 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
137135, 136syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
138137, 117breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
139131, 132, 126, 134, 138ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
140 lemul2 11130 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (i · 𝐴)))) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
141123, 131, 126, 139, 140syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
142130, 141mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0))
143 addcl 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14413, 104, 143sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
146145mul01d 10489 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · 0) = 0)
147142, 146breqtrd 4835 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
148 elioc2 12438 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)))
14917, 18, 148mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0))
150127, 129, 147, 149syl3anbrc 1443 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
151 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))
152 elioc2 12438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)))
15317, 18, 152mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
154151, 153sylib 209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
155154simp1d 1172 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
156114oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴))
157111, 112, 104subsub4d 10677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (2 − (1 + (i · 𝐴))))
158156, 157syl5reqr 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
159158adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
160 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
161118, 155, 160sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
162159, 161eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
163155, 162remulcld 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
164163, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
165154simp3d 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)
166 0red 10297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
167118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
168133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
169155, 166, 167, 165lesub2dd 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
170135, 169syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
171170, 159breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
172166, 167, 162, 168, 171ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
173 lemul1 11129 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (i · 𝐴)))) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
174155, 166, 162, 172, 173syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
175165, 174mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴))))
176162recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
177176mul02d 10488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (0 · (1 − (i · 𝐴))) = 0)
178175, 177breqtrd 4835 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
179163, 164, 178, 149syl3anbrc 1443 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
180150, 179jaodan 980 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
181109, 180eqeltrrd 2845 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
18293, 181impbida 835 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
183182notbid 309 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
184 ioran 1006 . . . . 5 (¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
185183, 184syl6bb 278 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
186 addcl 10271 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
18713, 1, 186sylancr 581 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
188 atansopn.d . . . . . . . 8 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
189188eleq2i 2836 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
190 eldif 3742 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
191189, 190bitri 266 . . . . . 6 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
192191baib 531 . . . . 5 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
193187, 192syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
194 subcl 10534 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
19513, 104, 194sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
196188eleq2i 2836 . . . . . . . 8 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197 eldif 3742 . . . . . . . 8 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
198196, 197bitri 266 . . . . . . 7 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
199198baib 531 . . . . . 6 ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
200195, 199syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
201188eleq2i 2836 . . . . . . . 8 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
202 eldif 3742 . . . . . . . 8 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
203201, 202bitri 266 . . . . . . 7 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
204203baib 531 . . . . . 6 ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
205144, 204syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
206200, 205anbi12d 624 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
207185, 193, 2063bitr4d 302 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
208207pm5.32i 570 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
209 atansopn.s . . 3 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
210188, 209atans 24948 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷))
211 3anass 1116 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
212208, 210, 2113bitr4i 294 1 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  cdif 3729   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521  2c2 11327  (,]cioc 12378  cexp 13067  csqrt 14258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ioc 12382  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261
This theorem is referenced by:  dvatan  24953
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