atans2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > atans2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem atans2 27241

Description: It suffices to show that 1 − i𝐴 and 1 + i𝐴 are in the continuity domain of log to show that 𝐴 is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

**Assertion**
Ref	Expression
atans2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴 𝑦,𝐷 Allowed substitution hint: 𝑆(𝑦)

**Proof of Theorem atans2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqcl 14241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	2	sqsqrtd 15589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘(𝐴↑2))↑2) = (𝐴↑2))
4	3	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2))
5	2	sqrtcld 15587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
6		sqeqor 14340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
7	5, 6	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴↑2) = ((√‘(𝐴↑2))↑2) ↔ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)))))
8	4, 7	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))))
9		1re 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ∈ ℝ)
11	2	negnegd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → --(𝐴↑2) = (𝐴↑2))
12	11	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (√‘(𝐴↑2)))
13		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		pncan2 11545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
15	13, 2, 14	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) = (𝐴↑2))
16		mnfxr 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
17		0re 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		elioc2 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)))
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
20	19	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝐴↑2)) ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0))
21	20	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
22		resubcl 11603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
23	21, 9, 22	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℝ)
24	15, 23	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
25	24	renegcld 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℝ)
26		0red 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
27		0le1 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ 1)
29		subneg 11588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
30	13, 2, 29	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
31	20	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (𝐴↑2)) ≤ 0)
32	30, 31	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0)
33		suble0 11811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ -(𝐴↑2) ∈ ℝ) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
34	9, 25, 33	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − -(𝐴↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -(𝐴↑2)))
35	32, 34	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ -(𝐴↑2))
36	26, 10, 25, 28, 35	letrd 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ -(𝐴↑2))
37	25, 36	sqrtnegd 15569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘--(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
38	12, 37	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝐴↑2)) = (i · (√‘-(𝐴↑2))))
39	38	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
40		ax-icn 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → i ∈ ℂ)
42	25, 36	resqrtcld 15565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ)
44	41, 41, 43	mulassd 11313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (i · (i · (√‘-(𝐴↑2)))))
45		ixi 11926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) = -1
46	45	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = (-1 · (√‘-(𝐴↑2)))
47	43	mulm1d 11749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (-1 · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
48	46, 47	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((i · i) · (√‘-(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
49	39, 44, 48	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) = -(√‘-(𝐴↑2)))
50	42	renegcld 11724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
51	49, 50	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℝ)
52	10, 51	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
53	52	mnfltd 13234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
54	49	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + -(√‘-(𝐴↑2))))
55		negsub 11587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘-(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
56	13, 43, 55	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + -(√‘-(𝐴↑2))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
57	54, 56	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 − (√‘-(𝐴↑2))))
58		sq1 14318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1↑2) = 1
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) = 1)
60	25	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(𝐴↑2) ∈ ℂ)
61	60	sqsqrtd 15589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((√‘-(𝐴↑2))↑2) = -(𝐴↑2))
62	35, 59, 61	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2))
63	25, 36	sqrtge0d 15568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
64	10, 42, 28, 63	le2sqd 14381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘-(𝐴↑2))↑2)))
65	62, 64	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2)))
66	10, 42	suble0d 11888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (√‘-(𝐴↑2))))
67	65, 66	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (√‘-(𝐴↑2))) ≤ 0)
68	57, 67	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)
69		elioc2 13521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0)))
70	16, 17, 69	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∧ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ≤ 0))
71	52, 53, 68, 70	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
72		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · (√‘(𝐴↑2))))
73	72	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
74	73	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
75	71, 74	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
76		mulneg2 11734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
77	40, 5, 76	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · -(√‘(𝐴↑2))) = -(i · (√‘(𝐴↑2))))
78	77	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))))
79		mulcl 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℂ) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
80	40, 5, 79	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ)
81		subneg 11588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (√‘(𝐴↑2))) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
82	13, 80, 81	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − -(i · (√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
83	78, 82	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) = (1 + (i · (√‘(𝐴↑2)))))
84	83, 71	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
85		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (i · 𝐴) = (i · -(√‘(𝐴↑2))))
86	85	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) = (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))))
87	86	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (1 − (i · -(√‘(𝐴↑2)))) ∈ (-∞(,]0)))
88	84, 87	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝐴 = -(√‘(𝐴↑2)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
89	75, 88	orim12d 979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((𝐴 = (√‘(𝐴↑2)) ∨ 𝐴 = -(√‘(𝐴↑2))) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
90	8, 89	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
91	90	orcomd 885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
92	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1↑2) = 1)
93		sqmul 14242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
94	40, 93	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
95		i2 14326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i↑2) = -1
96	95	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
97	1	mulm1d 11749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
98	96, 97	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
99	94, 98	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
100	92, 99	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
101		mulcl 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
102	40, 101	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
103		subsq 14334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
104	13, 102, 103	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
105	13, 1, 29	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
106	100, 104, 105	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
107	106	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
108		2cn 12399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
110	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
111	109, 110, 102	subsubd 11678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = ((2 − 1) + (i · 𝐴)))
112		2m1e1 12448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
113	112	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 − 1) + (i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴))
114	111, 113	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
115	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · 𝐴)))
116		2re 12398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
117		elioc2 13521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)))
118	16, 17, 117	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
119	118	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (i · 𝐴)) ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0))
120	119	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
121		resubcl 11603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
122	116, 120, 121	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
123	115, 122	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
124	123, 120	remulcld 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
125	124	mnfltd 13234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
126	119	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ≤ 0)
127		0red 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
128	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
129		2pos 12428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
131	108	subid1i 11611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 0) = 2
132	120, 127, 128, 126	lesub2dd 11914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
133	131, 132	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 − (i · 𝐴))))
134	133, 115	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 + (i · 𝐴)))
135	127, 128, 123, 130, 134	ltletrd 11451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 + (i · 𝐴)))
136		lemul2 12151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (i · 𝐴)))) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
137	120, 127, 123, 135, 136	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 − (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0)))
138	126, 137	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ ((1 + (i · 𝐴)) · 0))
139		addcl 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
140	13, 102, 139	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
141	140	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
142	141	mul01d 11490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · 0) = 0)
143	138, 142	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
144		elioc2 13521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)))
145	16, 17, 144	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∧ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0))
146	124, 125, 143, 145	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
147		elioc2 13521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)))
148	16, 17, 147	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
149	148	bilani 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (i · 𝐴)) ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0))
150	149	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
151	109, 110, 102	subsub4d 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (2 − (1 + (i · 𝐴))))
152	112	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 − 1) − (i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴))
153	151, 152	eqtr3di 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
154	153	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · 𝐴)))
155		resubcl 11603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
156	116, 150, 155	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − (1 + (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
157	154, 156	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ)
158	150, 157	remulcld 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ ℝ)
159	158	mnfltd 13234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → -∞ < ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
160	149	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 + (i · 𝐴)) ≤ 0)
161		0red 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ∈ ℝ)
162	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ∈ ℝ)
163	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < 2)
164	150, 161, 162, 160	lesub2dd 11914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (2 − 0) ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
165	131, 164	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (2 − (1 + (i · 𝐴))))
166	165, 154	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 2 ≤ (1 − (i · 𝐴)))
167	161, 162, 157, 163, 166	ltletrd 11451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 < (1 − (i · 𝐴)))
168		lemul1 12150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (i · 𝐴)))) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
169	150, 161, 157, 167, 168	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴)))))
170	160, 169	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ (0 · (1 − (i · 𝐴))))
171	157	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
172	171	mul02d 11489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → (0 · (1 − (i · 𝐴))) = 0)
173	170, 172	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ≤ 0)
174	158, 159, 173, 145	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
175	146, 174	jaodan 972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) ∈ (-∞(,]0))
176	107, 175	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0))
177	91, 176	impbida 813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
178	177	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
179		ioran 999	. . . . 5 ⊢ (¬ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∨ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
180	178, 179	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
181		addcl 11263	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
182	13, 1, 181	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
183		atansopn.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
184	183	eleq2i 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
185		eldif 3909	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
186	184, 185	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
187	186	baib 545	. . . . 5 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
188	182, 187	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (𝐴↑2)) ∈ (-∞(,]0)))
189		subcl 11537	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
190	13, 102, 189	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
191	183	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
192		eldif 3909	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
193	191, 192	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
194	193	baib 545	. . . . . 6 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
195	190, 194	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
196	183	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197		eldif 3909	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
198	196, 197	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
199	198	baib 545	. . . . . 6 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
200	140, 199	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ↔ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0)))
201	195, 200	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (¬ (1 − (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0) ∧ ¬ (1 + (i · 𝐴)) ∈ (-∞(,]0))))
202	180, 188, 201	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷 ↔ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
203	202	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
204		atansopn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
205	183, 204	atans 27240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ∈ 𝐷))
206		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷)))
207	203, 205, 206	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ∈ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 {crab 3413 ∖ cdif 3896 class class class wbr 5103 ‘cfv 6531 (class class class)co 7412 ℂcc 11179 ℝcr 11180 0cc0 11181 1c1 11182 ici 11183 + caddc 11184 · cmul 11186 -∞cmnf 11322 ℝ^*cxr 11323 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11522 -cneg 11523 2c2 12378 (,]cioc 13458 ↑cexp 14184 √csqrt 15380

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258 ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-er 8701 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-sup 9418 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11955 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-n0 12588 df-z 12675 df-uz 12947 df-rp 13102 df-ioc 13462 df-seq 14125 df-exp 14185 df-cj 15246 df-re 15247 df-im 15248 df-sqrt 15382 df-abs 15383

This theorem is used by: dvatan 27245

W3C validator