MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrre 12803
Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrre
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 ressxr 10763 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2sstrdi 3889 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 12791 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 suprcl 11678 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
76rexrd 10769 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
86leidd 11284 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
9 suprleub 11684 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
106, 9mpdan 687 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
11 supxrleub 12802 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
123, 7, 11syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
1310, 12bitr4d 285 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
148, 13mpbid 235 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
155xrleidd 12628 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
16 supxrleub 12802 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
173, 5, 16syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
18 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → 𝐴 ≠ ∅)
19 n0 4235 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2018, 19sylib 221 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
21 mnfxr 10776 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
231sselda 3877 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
2423rexrd 10769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
255adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2623mnfltd 12602 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → -∞ < 𝑧)
27 supxrub 12800 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
283, 27sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
2922, 24, 25, 26, 28xrltletrd 12637 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
3020, 29exlimddv 1942 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
31 xrre 12645 . . . . . 6 (((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
325, 6, 30, 14, 31syl22anc 838 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
33 suprleub 11684 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
3432, 33mpdan 687 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
3517, 34bitr4d 285 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
3615, 35mpbid 235 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
375, 7, 14, 36xrletrid 12631 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3843  c0 4211   class class class wbr 5030  supcsup 8977  cr 10614  -∞cmnf 10751  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951
This theorem is referenced by:  supxrbnd  12804  ovoliunlem1  24254  ovoliun2  24258  ioombl1lem4  24313  uniioombllem2  24335  uniioombllem6  24340  itg1climres  24467  itg2monolem1  24503  itg2i1fseq2  24509  nmcexi  29961  itg2addnc  35454  supxrrernmpt  42499  supminfxr  42544  sge0supre  43469  sge0reuzb  43528
  Copyright terms: Public domain W3C validator