Theorem supxrre 13341

Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
supxrre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrre

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ressxr 11241	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstrdi 3951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4		supxrcl 13329	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		suprcl 12163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11247	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8	6	leidd 11768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
9		suprleub 12169	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
10	6, 9	mpdan 699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
11		supxrleub 13340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
12	3, 7, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
13	10, 12	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
14	8, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
15	5	xrleidd 13165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
16		supxrleub 13340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
17	3, 5, 16	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
18		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≠ ∅)
19		n0 4308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
20	18, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
21		mnfxr 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
23	1	sselda 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
25	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	23	mnfltd 13137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑧)
27		supxrub 13338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
28	3, 27	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
29	22, 24, 25, 26, 28	xrltletrd 13174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
30	20, 29	exlimddv 1958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
31		xrre 13183	. . . . . 6 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	5, 6, 30, 14, 31	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
33		suprleub 12169	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
34	32, 33	mpdan 699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
35	17, 34	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
36	15, 35	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
37	5, 7, 14, 36	xrletrid 13168	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5104  supcsup 9388  ℝcr 11087  -∞cmnf 11229  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  supxrbnd  13342  ovoliunlem1  25618  ovoliun2  25622  ioombl1lem4  25677  uniioombllem2  25699  uniioombllem6  25704  itg1climres  25830  itg2monolem1  25866  itg2i1fseq2  25872  nmcexi  32283  itg2addnc  38180  supxrrernmpt  45994  supminfxr  46037  sge0supre  46962  sge0reuzb  47021