Theorem supxrre 13305

Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
supxrre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrre

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ressxr 11257	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstrdi 3994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4		supxrcl 13293	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		suprcl 12173	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11263	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8	6	leidd 11779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
9		suprleub 12179	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
10	6, 9	mpdan 685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
11		supxrleub 13304	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
12	3, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
13	10, 12	bitr4d 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
14	8, 13	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
15	5	xrleidd 13130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
16		supxrleub 13304	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
17	3, 5, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
18		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≠ ∅)
19		n0 4346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
20	18, 19	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
21		mnfxr 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
23	1	sselda 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
25	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	23	mnfltd 13103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑧)
27		supxrub 13302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
28	3, 27	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
29	22, 24, 25, 26, 28	xrltletrd 13139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
30	20, 29	exlimddv 1938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
31		xrre 13147	. . . . . 6 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	5, 6, 30, 14, 31	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
33		suprleub 12179	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
34	32, 33	mpdan 685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
35	17, 34	bitr4d 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
36	15, 35	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
37	5, 7, 14, 36	xrletrid 13133	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  supcsup 9434  ℝcr 11108  -∞cmnf 11245  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  supxrbnd  13306  ovoliunlem1  25018  ovoliun2  25022  ioombl1lem4  25077  uniioombllem2  25099  uniioombllem6  25104  itg1climres  25231  itg2monolem1  25267  itg2i1fseq2  25273  nmcexi  31274  itg2addnc  36537  supxrrernmpt  44121  supminfxr  44164  sge0supre  45095  sge0reuzb  45154