MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgrlem 15563
Description: Lemma for caurcvgr 15564. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
caurcvgr.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
caurcvgr.3 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
caucvgrlem.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐴   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑅,𝑗,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem caucvgrlem
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2 caurcvgr.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 reex 11147 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
43ssex 5279 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
63a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
7 fex2 7871 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
81, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
9 limsupcl 15361 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
121adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
13 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
1412, 13ffvelcdmd 7037 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
15 caucvgrlem.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1615rpred 12962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1716adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1814, 17readdcld 11189 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅) ∈ ℝ)
19 mnfxr 11217 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
2114, 17resubcld 11588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 11210 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ*)
2321mnfltd 13050 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ -∞ < ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅))
242adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
25 ressxr 11204 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ*
26 fss 6686 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
271, 25, 26sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
29 caurcvgr.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3029adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3124, 13sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
32 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))
33 breq2 5110 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑗 ≀ π‘˜ ↔ 𝑗 ≀ π‘š))
3433imbrov2fvoveq 7383 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅) ↔ (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅)))
3534cbvralvw 3224 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))
3632, 35sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))
3712ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
3814adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
3937, 38resubcld 11588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
4039recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
4140abscld 15327 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4217adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
43 ltle 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ≀ 𝑅))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ≀ 𝑅))
4537, 38, 42absdifled 15325 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ≀ 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))))
4644, 45sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅 β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))))
47 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š))
4846, 47syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š)))
4948imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅) β†’ (𝑗 ≀ π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š))))
5049ralimdva 3161 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š))))
5136, 50mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š)))
52 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝑛 ≀ π‘š ↔ 𝑗 ≀ π‘š))
5352rspceaimv 3584 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑛 ≀ π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š)))
5431, 51, 53syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑛 ≀ π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š)))
5524, 28, 22, 30, 54limsupbnd2 15371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
5620, 22, 11, 23, 55xrltletrd 13086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ -∞ < (lim supβ€˜πΉ))
5718rexrd 11210 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅) ∈ ℝ*)
5841adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
5917adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
60 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ 𝑗 ≀ π‘š)
61 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))
62 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
6334, 61, 62rspcdva 3581 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))
6460, 63mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅)
6558, 59, 64ltled 11308 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ≀ 𝑅)
6637adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
6714adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
6866, 67, 59absdifled 15325 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) ≀ 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))))
6965, 68mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅)))
7069simprd 497 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))
7170expr 458 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 ≀ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅)))
7271ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅)))
7352rspceaimv 3584 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑛 ≀ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅)))
7431, 72, 73syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑛 ≀ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅)))
7524, 28, 57, 74limsupbnd1 15370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))
76 xrre 13094 . . . 4 ((((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (lim supβ€˜πΉ) ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
7711, 18, 56, 75, 76syl22anc 838 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
7877adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
7966, 78resubcld 11588 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∈ ℝ)
8079recnd 11188 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
8180abscld 15327 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) ∈ ℝ)
82 2re 12232 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
83 remulcl 11141 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
8482, 59, 83sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (2 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
85 3re 12238 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
86 remulcl 11141 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (3 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
8785, 59, 86sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (3 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
8866recnd 11188 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
8978recnd 11188 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
9088, 89abssubd 15344 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) = (absβ€˜((lim supβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))))
9166, 84resubcld 11588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (2 Β· 𝑅)) ∈ ℝ)
9221adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
9359recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
94932timesd 12401 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (2 Β· 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
9594oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (2 Β· 𝑅)) = ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (𝑅 + 𝑅)))
9688, 93, 93subsub4d 11548 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ 𝑅) βˆ’ 𝑅) = ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (𝑅 + 𝑅)))
9795, 96eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (2 Β· 𝑅)) = (((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ 𝑅) βˆ’ 𝑅))
9866, 59resubcld 11588 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
9966, 59, 67lesubaddd 11757 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ (πΉβ€˜π‘š) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅)))
10070, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘—))
10198, 67, 59, 100lesub1dd 11776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ 𝑅) βˆ’ 𝑅) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅))
10297, 101eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (2 Β· 𝑅)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅))
10355adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
10491, 92, 78, 102, 103letrd 11317 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (2 Β· 𝑅)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
10518adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅) ∈ ℝ)
10666, 84readdcld 11189 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) + (2 Β· 𝑅)) ∈ ℝ)
10775adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅))
10866, 59readdcld 11189 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) + 𝑅) ∈ ℝ)
10969, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š))
11067, 59, 66lesubaddd 11757 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑅) ≀ (πΉβ€˜π‘š) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ ((πΉβ€˜π‘š) + 𝑅)))
111109, 110mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ ((πΉβ€˜π‘š) + 𝑅))
11267, 108, 59, 111leadd1dd 11774 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅) ≀ (((πΉβ€˜π‘š) + 𝑅) + 𝑅))
11388, 93, 93addassd 11182 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š) + 𝑅) + 𝑅) = ((πΉβ€˜π‘š) + (𝑅 + 𝑅)))
11494oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) + (2 Β· 𝑅)) = ((πΉβ€˜π‘š) + (𝑅 + 𝑅)))
115113, 114eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š) + 𝑅) + 𝑅) = ((πΉβ€˜π‘š) + (2 Β· 𝑅)))
116112, 115breqtrd 5132 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑅) ≀ ((πΉβ€˜π‘š) + (2 Β· 𝑅)))
11778, 105, 106, 107, 116letrd 11317 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((πΉβ€˜π‘š) + (2 Β· 𝑅)))
11878, 66, 84absdifled 15325 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ ((absβ€˜((lim supβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) ≀ (2 Β· 𝑅) ↔ (((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (2 Β· 𝑅)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((πΉβ€˜π‘š) + (2 Β· 𝑅)))))
119104, 117, 118mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((lim supβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) ≀ (2 Β· 𝑅))
12090, 119eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) ≀ (2 Β· 𝑅))
121 2lt3 12330 . . . . . . . 8 2 < 3
12282a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ 2 ∈ ℝ)
12385a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ 3 ∈ ℝ)
12415adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
125124adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
126122, 123, 125ltmul1d 13003 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (2 < 3 ↔ (2 Β· 𝑅) < (3 Β· 𝑅)))
127121, 126mpbii 232 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (2 Β· 𝑅) < (3 Β· 𝑅))
12881, 84, 87, 120, 127lelttrd 11318 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≀ π‘š)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅))
129128expr 458 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅)))
130129ralrimiva 3140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅)))
13133imbrov2fvoveq 7383 . . . . 5 (π‘˜ = π‘š β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅)) ↔ (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅))))
132131cbvralvw 3224 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅)) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘š) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅)))
133130, 132sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅)))
13477, 133jca 513 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅))))
135 breq2 5110 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑅 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))
136135imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = 𝑅 β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅)))
137136rexralbidv 3211 . . 3 (π‘₯ = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅)))
138 caurcvgr.4 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
139137, 138, 15rspcdva 3581 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < 𝑅))
140134, 139reximddv 3165 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„cr 11055   + caddc 11059   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  3c3 12214  β„+crp 12920  abscabs 15125  lim supclsp 15358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359
This theorem is referenced by:  caurcvgr  15564
  Copyright terms: Public domain W3C validator