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Theorem caucvgrlem 14704
Description: Lemma for caurcvgr 14705. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem.4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑅,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 caurcvgr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 reex 10284 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
43ssex 4965 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
63a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ V)
7 fex2 7323 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
81, 5, 6, 7syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 limsupcl 14505 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
1110adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
121adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
13 simprl 787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑗𝐴)
1412, 13ffvelrnd 6554 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
15 caucvgrlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rpred 12077 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
1814, 17readdcld 10327 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ)
19 mnfxr 10355 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ ∈ ℝ*)
2114, 17resubcld 10717 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 10347 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ*)
2321mnfltd 12165 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ < ((𝐹𝑗) − 𝑅))
242adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25 ressxr 10341 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
26 fss 6238 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
271, 25, 26sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2827adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
29 caurcvgr.3 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3029adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3124, 13sseldd 3764 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑗 ∈ ℝ)
32 simprr 789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
33 breq2 4815 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑗𝑘𝑗𝑚))
3433imbrov2fvoveq 6871 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) ↔ (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
3534cbvralv 3319 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
3632, 35sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
3712ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
3814adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
3937, 38resubcld 10717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
4039recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
4140abscld 14476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
4217adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
43 ltle 10385 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅))
4441, 42, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅))
4537, 38, 42absdifled 14474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅 ↔ (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
4644, 45sylibd 230 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
47 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))
4846, 47syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
4948imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5049ralimdva 3109 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5136, 50mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
52 breq1 4814 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑚𝑗𝑚))
5352rspceaimv 3470 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
5431, 51, 53syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
5524, 28, 22, 30, 54limsupbnd2 14515 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (lim sup‘𝐹))
5620, 22, 11, 23, 55xrltletrd 12201 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ < (lim sup‘𝐹))
5718rexrd 10347 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ*)
5841adantrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
5917adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℝ)
60 simprr 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑗𝑚)
61 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
62 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑚𝐴)
6334, 61, 62rspcdva 3468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
6460, 63mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)
6558, 59, 64ltled 10444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅)
6637adantrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
6714adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
6866, 67, 59absdifled 14474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅 ↔ (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
6965, 68mpbid 223 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7069simprd 489 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
7170expr 448 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7271ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7352rspceaimv 3470 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7431, 72, 73syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7524, 28, 57, 74limsupbnd1 14514 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
76 xrre 12209 . . . 4 ((((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (lim sup‘𝐹) ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
7711, 18, 56, 75, 76syl22anc 867 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
7877adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
7966, 78resubcld 10717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
8079recnd 10326 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℂ)
8180abscld 14476 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) ∈ ℝ)
82 2re 11351 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
83 remulcl 10278 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
8482, 59, 83sylancr 581 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
85 3re 11357 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
86 remulcl 10278 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (3 · 𝑅) ∈ ℝ)
8785, 59, 86sylancr 581 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (3 · 𝑅) ∈ ℝ)
8866recnd 10326 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
8978recnd 10326 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
9088, 89abssubd 14493 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) = (abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))))
9166, 84resubcld 10717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ∈ ℝ)
9221adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ)
9359recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℂ)
94932timesd 11526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
9594oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) = ((𝐹𝑚) − (𝑅 + 𝑅)))
9688, 93, 93subsub4d 10682 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅) = ((𝐹𝑚) − (𝑅 + 𝑅)))
9795, 96eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) = (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅))
9866, 59resubcld 10717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − 𝑅) ∈ ℝ)
9966, 59, 67lesubaddd 10883 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
10070, 99mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑗))
10198, 67, 59, 100lesub1dd 10902 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅) ≤ ((𝐹𝑗) − 𝑅))
10297, 101eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ ((𝐹𝑗) − 𝑅))
10355adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (lim sup‘𝐹))
10491, 92, 78, 102, 103letrd 10453 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ (lim sup‘𝐹))
10518adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ)
10666, 84readdcld 10327 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)) ∈ ℝ)
10775adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
10866, 59readdcld 10327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + 𝑅) ∈ ℝ)
10969, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))
11067, 59, 66lesubaddd 10883 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ↔ (𝐹𝑗) ≤ ((𝐹𝑚) + 𝑅)))
111109, 110mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑗) ≤ ((𝐹𝑚) + 𝑅))
11267, 108, 59, 111leadd1dd 10900 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ≤ (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅))
11388, 93, 93addassd 10320 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅) = ((𝐹𝑚) + (𝑅 + 𝑅)))
11494oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)) = ((𝐹𝑚) + (𝑅 + 𝑅)))
115113, 114eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅) = ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
116112, 115breqtrd 4837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
11778, 105, 106, 107, 116letrd 10453 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
11878, 66, 84absdifled 14474 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))) ≤ (2 · 𝑅) ↔ (((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ (lim sup‘𝐹) ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))))
119104, 117, 118mpbir2and 704 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))) ≤ (2 · 𝑅))
12090, 119eqbrtrd 4833 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) ≤ (2 · 𝑅))
121 2lt3 11455 . . . . . . . 8 2 < 3
12282a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 2 ∈ ℝ)
12385a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 3 ∈ ℝ)
12415adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
125124adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
126122, 123, 125ltmul1d 12118 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 < 3 ↔ (2 · 𝑅) < (3 · 𝑅)))
127121, 126mpbii 224 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) < (3 · 𝑅))
12881, 84, 87, 120, 127lelttrd 10454 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))
129128expr 448 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
130129ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
13133imbrov2fvoveq 6871 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)) ↔ (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
132131cbvralv 3319 . . . 4 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
133130, 132sylibr 225 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
13477, 133jca 507 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
135 breq2 4815 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
136135imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
137136rexralbidv 3205 . . 3 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
138 caurcvgr.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
139137, 138, 15rspcdva 3468 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
140134, 139reximddv 3164 1 (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3734   class class class wbr 4811  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  supcsup 8557  cr 10192   + caddc 10196   · cmul 10198  +∞cpnf 10329  -∞cmnf 10330  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cmin 10525  2c2 11332  3c3 11333  +crp 12035  abscabs 14275  lim supclsp 14502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-n0 11544  df-z 11630  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12390  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-limsup 14503
This theorem is referenced by:  caurcvgr  14705
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