Theorem ioombl1lem2 25526

Description: Lemma for ioombl1 25529. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u	⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p	⊢ 𝑃 = (1st ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.q	⊢ 𝑄 = (2nd ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem2	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.f1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3		ioombl1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
4	2, 3	ovolsf 25439	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7		icossxr 13385	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstrdi 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
9		supxrcl 13267	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		ioombl1.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
12		ioombl1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12986	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 11174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
15		mnfxr 11202	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17	5	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn ℕ)
18		1nn 12185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fnfvelrn 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
20	17, 18, 19	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
21	8, 20	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
22		rge0ssre 13409	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
23		ffvelcdm 7033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
24	5, 18, 23	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
25	22, 24	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
26	25	mnfltd 13075	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
27		supxrub 13276	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
28	8, 20, 27	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
29	16, 21, 10, 26, 28	xrltletrd 13112	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
30		ioombl1.f3	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31		xrre 13121	. 2 ⊢ (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	10, 14, 29, 30, 31	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  ⟨cop 4573  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ran crn 5632   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941  supcsup 9353  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  [,)cico 13300  seqcseq 13963  abscabs 15196  vol*covol 25429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  25528