MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioombl1lem2 24946
Description: Lemma for ioombl1 24949. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e (𝜑𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p 𝑃 = (1st ‘(𝐹𝑛))
ioombl1.q 𝑄 = (2nd ‘(𝐹𝑛))
ioombl1.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2733 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3 ioombl1.s . . . . . . 7 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
42, 3ovolsf 24859 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
65frnd 6680 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7 icossxr 13358 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
86, 7sstrdi 3960 . . 3 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
9 supxrcl 13243 . . 3 (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 ioombl1.v . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
12 ioombl1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
1312rpred 12965 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 11192 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
15 mnfxr 11220 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
175ffnd 6673 . . . . 5 (𝜑𝑆 Fn ℕ)
18 1nn 12172 . . . . 5 1 ∈ ℕ
19 fnfvelrn 7035 . . . . 5 ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
2017, 18, 19sylancl 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
218, 20sseldd 3949 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
22 rge0ssre 13382 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
23 ffvelcdm 7036 . . . . . 6 ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
245, 18, 23sylancl 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
2522, 24sselid 3946 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
2625mnfltd 13053 . . 3 (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
27 supxrub 13252 . . . 4 ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
288, 20, 27syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2916, 21, 10, 26, 28xrltletrd 13089 . 2 (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
30 ioombl1.f3 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31 xrre 13097 . 2 (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3210, 14, 29, 30, 31syl22anc 838 1 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3913  wss 3914  ifcif 4490  cop 4596   cuni 4869   class class class wbr 5109  cmpt 5192   × cxp 5635  ran crn 5638  ccom 5641   Fn wfn 6495  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  supcsup 9384  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198  cmin 11393  cn 12161  +crp 12923  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  seqcseq 13915  abscabs 15128  vol*covol 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  24948
  Copyright terms: Public domain W3C validator