Theorem ioombl1lem2 25935

Description: Lemma for ioombl1 25938. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u	⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p	⊢ 𝑃 = (1st ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.q	⊢ 𝑄 = (2nd ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem2	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.f1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3		ioombl1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
4	2, 3	ovolsf 25848	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7		icossxr 13603	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstrdi 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
9		supxrcl 13485	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		ioombl1.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
12		ioombl1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13204	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 11377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
15		mnfxr 11405	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17	5	ffnd 6740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn ℕ)
18		1nn 12386	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fnfvelrn 7112	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
20	17, 18, 19	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
21	8, 20	sseldd 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
22		rge0ssre 13627	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
23		ffvelcdm 7113	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
24	5, 18, 23	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
25	22, 24	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
26	25	mnfltd 13293	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
27		supxrub 13494	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
28	8, 20, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
29	16, 21, 10, 26, 28	xrltletrd 13330	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
30		ioombl1.f3	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31		xrre 13339	. 2 ⊢ (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	10, 14, 29, 30, 31	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ifcif 4485  ⟨cop 4840  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  ran crn 5659   ∘ ccom 5662   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1^st c1st 8033  2^nd c2nd 8034  supcsup 9469  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  [,)cico 13518  seqcseq 14184  abscabs 15444  vol*covol 25838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446

This theorem is used by:  ioombl1lem4  25937