Theorem ioombl1lem2 25516

Description: Lemma for ioombl1 25519. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u	⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p	⊢ 𝑃 = (1st ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.q	⊢ 𝑄 = (2nd ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem2	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.f1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3		ioombl1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
4	2, 3	ovolsf 25429	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7		icossxr 13348	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstrdi 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
9		supxrcl 13230	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		ioombl1.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
12		ioombl1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 11161	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
15		mnfxr 11189	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17	5	ffnd 6663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn ℕ)
18		1nn 12156	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fnfvelrn 7025	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
21	8, 20	sseldd 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
22		rge0ssre 13372	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
23		ffvelcdm 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
24	5, 18, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
25	22, 24	sselid 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
26	25	mnfltd 13038	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
27		supxrub 13239	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
28	8, 20, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
29	16, 21, 10, 26, 28	xrltletrd 13075	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
30		ioombl1.f3	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31		xrre 13084	. 2 ⊢ (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	10, 14, 29, 30, 31	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  ⟨cop 4586  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ran crn 5625   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  supcsup 9343  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℝ⁺crp 12905  (,)cioo 13261  [,)cico 13263  seqcseq 13924  abscabs 15157  vol*covol 25419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  25518