MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioombl1lem2 25482
Description: Lemma for ioombl1 25485. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e (𝜑𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p 𝑃 = (1st ‘(𝐹𝑛))
ioombl1.q 𝑄 = (2nd ‘(𝐹𝑛))
ioombl1.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2728 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3 ioombl1.s . . . . . . 7 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
42, 3ovolsf 25395 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
65frnd 6725 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7 icossxr 13436 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
86, 7sstrdi 3991 . . 3 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
9 supxrcl 13321 . . 3 (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 ioombl1.v . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
12 ioombl1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
1312rpred 13043 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 11268 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
15 mnfxr 11296 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
175ffnd 6718 . . . . 5 (𝜑𝑆 Fn ℕ)
18 1nn 12248 . . . . 5 1 ∈ ℕ
19 fnfvelrn 7085 . . . . 5 ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
2017, 18, 19sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
218, 20sseldd 3980 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
22 rge0ssre 13460 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
23 ffvelcdm 7086 . . . . . 6 ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
245, 18, 23sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
2522, 24sselid 3977 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
2625mnfltd 13131 . . 3 (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
27 supxrub 13330 . . . 4 ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
288, 20, 27syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2916, 21, 10, 26, 28xrltletrd 13167 . 2 (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
30 ioombl1.f3 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31 xrre 13175 . 2 (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3210, 14, 29, 30, 31syl22anc 838 1 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3944  wss 3945  ifcif 4525  cop 4631   cuni 4904   class class class wbr 5143  cmpt 5226   × cxp 5671  ran crn 5674  ccom 5677   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  1st c1st 7986  2nd c2nd 7987  supcsup 9458  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136  +∞cpnf 11270  -∞cmnf 11271  *cxr 11272   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469  cn 12237  +crp 13001  (,)cioo 13351  [,)cico 13353  seqcseq 13993  abscabs 15208  vol*covol 25385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  25484
  Copyright terms: Public domain W3C validator