MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioombl1lem2 25443
Description: Lemma for ioombl1 25446. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e (𝜑𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p 𝑃 = (1st ‘(𝐹𝑛))
ioombl1.q 𝑄 = (2nd ‘(𝐹𝑛))
ioombl1.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2726 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3 ioombl1.s . . . . . . 7 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
42, 3ovolsf 25356 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
65frnd 6719 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7 icossxr 13415 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
86, 7sstrdi 3989 . . 3 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
9 supxrcl 13300 . . 3 (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 ioombl1.v . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
12 ioombl1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
1312rpred 13022 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 11247 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
15 mnfxr 11275 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
175ffnd 6712 . . . . 5 (𝜑𝑆 Fn ℕ)
18 1nn 12227 . . . . 5 1 ∈ ℕ
19 fnfvelrn 7076 . . . . 5 ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
2017, 18, 19sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
218, 20sseldd 3978 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
22 rge0ssre 13439 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
23 ffvelcdm 7077 . . . . . 6 ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
245, 18, 23sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
2522, 24sselid 3975 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
2625mnfltd 13110 . . 3 (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
27 supxrub 13309 . . . 4 ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
288, 20, 27syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2916, 21, 10, 26, 28xrltletrd 13146 . 2 (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
30 ioombl1.f3 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31 xrre 13154 . 2 (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3210, 14, 29, 30, 31syl22anc 836 1 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3942  wss 3943  ifcif 4523  cop 4629   cuni 4902   class class class wbr 5141  cmpt 5224   × cxp 5667  ran crn 5670  ccom 5673   Fn wfn 6532  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  supcsup 9437  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cn 12216  +crp 12980  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  seqcseq 13972  abscabs 15187  vol*covol 25346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  25445
  Copyright terms: Public domain W3C validator