Theorem ioombl1lem2 25787

Description: Lemma for ioombl1 25790. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u	⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p	⊢ 𝑃 = (1st ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.q	⊢ 𝑄 = (2nd ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem2	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.f1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3		ioombl1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
4	2, 3	ovolsf 25700	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7		icossxr 13485	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstrdi 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
9		supxrcl 13367	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		ioombl1.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
12		ioombl1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13086	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 11262	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
15		mnfxr 11290	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17	5	ffnd 6703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn ℕ)
18		1nn 12268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fnfvelrn 7073	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
20	17, 18, 19	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
21	8, 20	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
22		rge0ssre 13509	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
23		ffvelcdm 7074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
24	5, 18, 23	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
25	22, 24	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
26	25	mnfltd 13175	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
27		supxrub 13376	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
28	8, 20, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
29	16, 21, 10, 26, 28	xrltletrd 13212	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
30		ioombl1.f3	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31		xrre 13221	. 2 ⊢ (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32	10, 14, 29, 30, 31	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  ran crn 5656   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  supcsup 9410  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕcn 12257  ℝ⁺crp 13042  (,)cioo 13398  [,)cico 13400  seqcseq 14065  abscabs 15321  vol*covol 25690

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  ioombl1lem4  25789