MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptscmfsuppd 20403
Description: A function mapping to a scalar product in which one factor is finitely supported is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 21683. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsuppd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mptscmfsuppd.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
mptscmfsuppd.n Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mptscmfsuppd.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
mptscmfsuppd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mptscmfsuppd.z ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
mptscmfsuppd.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
mptscmfsuppd.f (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
mptscmfsuppd (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 𝑍)) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝑃,π‘˜   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑋   Β· ,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem mptscmfsuppd
StepHypRef Expression
1 mptscmfsuppd.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 mptscmfsuppd.p . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
3 mptscmfsuppd.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
5 mptscmfsuppd.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6 fvexd 6858 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ V)
7 mptscmfsuppd.z . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
8 eqid 2733 . 2 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
9 eqid 2733 . 2 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
10 mptscmfsuppd.n . 2 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
11 mptscmfsuppd.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1211feqmptd 6911 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (π΄β€˜π‘˜)))
13 mptscmfsuppd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘†))
1412, 13eqbrtrrd 5130 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (π΄β€˜π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π‘†))
151, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14mptscmfsupp0 20402 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 𝑍)) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  LModclmod 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-supp 8094  df-1o 8413  df-en 8887  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-ring 19971  df-lmod 20338
This theorem is referenced by:  ply1coefsupp  21682
  Copyright terms: Public domain W3C validator