MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptscmfsuppd 20810
Description: A function mapping to a scalar product in which one factor is finitely supported is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 22221. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsuppd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mptscmfsuppd.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
mptscmfsuppd.n Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mptscmfsuppd.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
mptscmfsuppd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mptscmfsuppd.z ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
mptscmfsuppd.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
mptscmfsuppd.f (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
mptscmfsuppd (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 𝑍)) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝑃,π‘˜   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑋   Β· ,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem mptscmfsuppd
StepHypRef Expression
1 mptscmfsuppd.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 mptscmfsuppd.p . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
3 mptscmfsuppd.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
5 mptscmfsuppd.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6 fvexd 6905 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ V)
7 mptscmfsuppd.z . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
8 eqid 2725 . 2 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
9 eqid 2725 . 2 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
10 mptscmfsuppd.n . 2 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
11 mptscmfsuppd.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1211feqmptd 6960 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (π΄β€˜π‘˜)))
13 mptscmfsuppd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘†))
1412, 13eqbrtrrd 5168 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (π΄β€˜π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π‘†))
151, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14mptscmfsupp0 20809 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 𝑍)) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   finSupp cfsupp 9380  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415  LModclmod 20742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-supp 8159  df-1o 8480  df-en 8958  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-ring 20174  df-lmod 20744
This theorem is referenced by:  ply1coefsupp  22220
  Copyright terms: Public domain W3C validator