Theorem ply1coefsupp 21456

Description: The decomposition of a univariate polynomial is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 21457. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coefsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coefsupp.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coefsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coefsupp.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coefsupp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coefsupp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coefsupp.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ply1coefsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   ↑ (𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ply1coefsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1coefsupp.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		ply1coefsupp.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
4		ply1coefsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1lmod 21413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6	5	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
7		nn0ex 12231	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
9	4	ply1ring 21409	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		ply1coefsupp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
11	10	ringmgp 19779	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	12	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
14		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		ply1coefsupp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
16	15, 4, 1	vr1cl 21378	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	10, 1	mgpbas 19716	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		ply1coefsupp.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20	18, 19	mulgnn0cl 18710	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
21	13, 14, 17, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
22		ply1coefsupp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
23		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	22, 1, 4, 23	coe1f 21372	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
25	24	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
26		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
27	22, 1, 4, 26	coe1sfi 21374	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
28	27	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
29	4	ply1sca 21414	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
30	29	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
32	31	fveq2d 6773	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘𝑅))
33	28, 32	breqtrrd 5107	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑃)))
34	1, 2, 3, 6, 8, 21, 25, 33	mptscmfsuppd 20179	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269   finSupp cfsupp 9098  ℕ₀cn0 12225  Basecbs 16902  Scalarcsca 16955   ·_𝑠 cvsca 16956  0_gc0g 17140  Mndcmnd 18375  ._gcmg 18690  mulGrpcmgp 19710  Ringcrg 19773  LModclmod 20113  var₁cv1 21337  Poly₁cpl1 21338  coe₁cco1 21339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-ofr 7526  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-seq 13712  df-hash 14035  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-tset 16971  df-ple 16972  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-mhm 18420  df-submnd 18421  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-mulg 18691  df-subg 18742  df-ghm 18822  df-cntz 18913  df-cmn 19378  df-abl 19379  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775  df-subrg 20012  df-lmod 20115  df-lss 20184  df-psr 21102  df-mvr 21103  df-mpl 21104  df-opsr 21106  df-psr1 21341  df-vr1 21342  df-ply1 21343  df-coe1 21344

This theorem is referenced by:  ply1coe  21457