Theorem ply1coefsupp 21376

Description: The decomposition of a univariate polynomial is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 21377. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coefsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coefsupp.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coefsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coefsupp.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coefsupp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coefsupp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coefsupp.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ply1coefsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   ↑ (𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ply1coefsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1coefsupp.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		ply1coefsupp.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
4		ply1coefsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1lmod 21333	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
7		nn0ex 12169	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
9	4	ply1ring 21329	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		ply1coefsupp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
11	10	ringmgp 19704	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	12	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		ply1coefsupp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
16	15, 4, 1	vr1cl 21298	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	10, 1	mgpbas 19641	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		ply1coefsupp.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20	18, 19	mulgnn0cl 18635	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
21	13, 14, 17, 20	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
22		ply1coefsupp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	22, 1, 4, 23	coe1f 21292	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
25	24	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
26		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
27	22, 1, 4, 26	coe1sfi 21294	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
29	4	ply1sca 21334	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
30	29	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
32	31	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘𝑅))
33	28, 32	breqtrrd 5098	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑃)))
34	1, 2, 3, 6, 8, 21, 25, 33	mptscmfsuppd 20104	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   finSupp cfsupp 9058  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264

This theorem is referenced by:  ply1coe  21377