MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1coefsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1coefsupp 21456
Description: The decomposition of a univariate polynomial is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 21457. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1coefsupp.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1coefsupp.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1coefsupp.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coefsupp.n · = ( ·𝑠𝑃)
ply1coefsupp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coefsupp.e = (.g𝑀)
ply1coefsupp.a 𝐴 = (coe1𝐾)
Assertion
Ref Expression
ply1coefsupp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   (𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ply1coefsupp
StepHypRef Expression
1 ply1coefsupp.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2740 . 2 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3 ply1coefsupp.n . 2 · = ( ·𝑠𝑃)
4 ply1coefsupp.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1lmod 21413 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
65adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
7 nn0ex 12231 . . 3 0 ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → ℕ0 ∈ V)
94ply1ring 21409 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10 ply1coefsupp.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
1110ringmgp 19779 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
129, 11syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
1312ad2antrr 723 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
14 simpr 485 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15 ply1coefsupp.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
1615, 4, 1vr1cl 21378 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
1716ad2antrr 723 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
1810, 1mgpbas 19716 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
19 ply1coefsupp.e . . . 4 = (.g𝑀)
2018, 19mulgnn0cl 18710 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
2113, 14, 17, 20syl3anc 1370 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
22 ply1coefsupp.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐾)
23 eqid 2740 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2422, 1, 4, 23coe1f 21372 . . 3 (𝐾𝐵𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2524adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
26 eqid 2740 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2722, 1, 4, 26coe1sfi 21374 . . . 4 (𝐾𝐵𝐴 finSupp (0g𝑅))
2827adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝐴 finSupp (0g𝑅))
294ply1sca 21414 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3029eqcomd 2746 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3130adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3231fveq2d 6773 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g𝑅))
3328, 32breqtrrd 5107 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑃)))
341, 2, 3, 6, 8, 21, 25, 33mptscmfsuppd 20179 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431   class class class wbr 5079  cmpt 5162  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269   finSupp cfsupp 9098  0cn0 12225  Basecbs 16902  Scalarcsca 16955   ·𝑠 cvsca 16956  0gc0g 17140  Mndcmnd 18375  .gcmg 18690  mulGrpcmgp 19710  Ringcrg 19773  LModclmod 20113  var1cv1 21337  Poly1cpl1 21338  coe1cco1 21339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-ofr 7526  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-seq 13712  df-hash 14035  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-tset 16971  df-ple 16972  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-mhm 18420  df-submnd 18421  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-mulg 18691  df-subg 18742  df-ghm 18822  df-cntz 18913  df-cmn 19378  df-abl 19379  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775  df-subrg 20012  df-lmod 20115  df-lss 20184  df-psr 21102  df-mvr 21103  df-mpl 21104  df-opsr 21106  df-psr1 21341  df-vr1 21342  df-ply1 21343  df-coe1 21344
This theorem is referenced by:  ply1coe  21457
  Copyright terms: Public domain W3C validator