Theorem ply1coefsupp 22440

Description: The decomposition of a univariate polynomial is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 22441. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coefsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coefsupp.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coefsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coefsupp.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coefsupp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coefsupp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coefsupp.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ply1coefsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   ↑ (𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ply1coefsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1coefsupp.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2770	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		ply1coefsupp.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
4		ply1coefsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1lmod 22394	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6	5	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
7		nn0ex 12513	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
9		ply1coefsupp.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
10	9, 1	mgpbas 20224	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		ply1coefsupp.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
12	4	ply1ring 22390	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13	9	ringmgp 20324	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
16		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		ply1coefsupp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
18	17, 4, 1	vr1cl 22360	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	10, 11, 15, 16, 19	mulgnn0cld 19164	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
21		ply1coefsupp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
22		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23	21, 1, 4, 22	coe1f 22354	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
24	23	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
25		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	21, 1, 4, 25	coe1sfi 22356	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
27	26	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
28	4	ply1sca 22395	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
29	28	eqcomd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
30	29	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
31	30	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘𝑅))
32	27, 31	breqtrrd 5144	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑃)))
33	1, 2, 3, 6, 8, 20, 24, 32	mptscmfsuppd 21032	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9324  ℕ₀cn0 12507  Basecbs 17272  Scalarcsca 17316   ·_𝑠 cvsca 17317  0_gc0g 17495  Mndcmnd 18795  ._gcmg 19136  mulGrpcmgp 20219  Ringcrg 20318  LModclmod 20964  var₁cv1 22319  Poly₁cpl1 22320  coe₁cco1 22321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-hash 14370  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-hom 17337  df-cco 17338  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-prds 17503  df-pws 17505  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-mhm 18844  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-mulg 19137  df-subg 19192  df-ghm 19287  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-subrng 20634  df-subrg 20658  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-psr 22042  df-mvr 22043  df-mpl 22044  df-opsr 22046  df-psr1 22323  df-vr1 22324  df-ply1 22325  df-coe1 22326

This theorem is referenced by:  ply1coe  22441