MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem2 11395
Description: Lemma for mul02 11396. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 11181 . 2 1 โ‰  0
2 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
3 mul02lem1 11394 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 = (1 + 1))
42, 3mpan2 688 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ 1 = (1 + 1))
54eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ (1 + 1) = 1)
65oveq2d 7421 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((i ยท i) + (1 + 1)) = ((i ยท i) + 1))
7 ax-icn 11171 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
87, 7mulcli 11225 . . . . . . . 8 (i ยท i) โˆˆ โ„‚
98, 2, 2addassi 11228 . . . . . . 7 (((i ยท i) + 1) + 1) = ((i ยท i) + (1 + 1))
10 ax-i2m1 11180 . . . . . . . 8 ((i ยท i) + 1) = 0
1110oveq1i 7415 . . . . . . 7 (((i ยท i) + 1) + 1) = (0 + 1)
129, 11eqtr3i 2756 . . . . . 6 ((i ยท i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13 00id 11393 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
1410, 13eqtr4i 2757 . . . . . 6 ((i ยท i) + 1) = (0 + 0)
156, 12, 143eqtr3g 2789 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ (0 + 1) = (0 + 0))
16 1re 11218 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
17 0re 11220 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
18 readdcan 11392 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0))
1916, 17, 17, 18mp3an 1457 . . . . 5 ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0)
2015, 19sylib 217 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ 1 = 0)
2120ex 412 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 ยท ๐ด) โ‰  0 โ†’ 1 = 0))
2221necon1d 2956 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0))
231, 22mpi 20 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257
This theorem is referenced by:  mul02  11396  rexmul  13256  mbfmulc2lem  25531  i1fmulc  25588  itg1mulc  25589  reabssgn  42963  stoweidlem34  45322  ztprmneprm  47299  nn0sumshdiglemA  47580  nn0sumshdiglem1  47582
  Copyright terms: Public domain W3C validator