MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem2 11082
Description: Lemma for mul02 11083. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 10871 . 2 1 ≠ 0
2 ax-1cn 10860 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3 mul02lem1 11081 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (1 + 1))
42, 3mpan2 687 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = (1 + 1))
54eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (1 + 1) = 1)
65oveq2d 7271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ((i · i) + (1 + 1)) = ((i · i) + 1))
7 ax-icn 10861 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
87, 7mulcli 10913 . . . . . . . 8 (i · i) ∈ ℂ
98, 2, 2addassi 10916 . . . . . . 7 (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
10 ax-i2m1 10870 . . . . . . . 8 ((i · i) + 1) = 0
1110oveq1i 7265 . . . . . . 7 (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1)
129, 11eqtr3i 2768 . . . . . 6 ((i · i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13 00id 11080 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
1410, 13eqtr4i 2769 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = (0 + 0)
156, 12, 143eqtr3g 2802 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (0 + 1) = (0 + 0))
16 1re 10906 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
17 0re 10908 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
18 readdcan 11079 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
1916, 17, 17, 18mp3an 1459 . . . . 5 ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
2015, 19sylib 217 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 0)
2120ex 412 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 0))
2221necon1d 2964 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 0 → (0 · 𝐴) = 0))
231, 22mpi 20 1 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942  (class class class)co 7255  cc 10800  cr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945
This theorem is referenced by:  mul02  11083  rexmul  12934  mbfmulc2lem  24716  i1fmulc  24773  itg1mulc  24774  reabssgn  41133  stoweidlem34  43465  ztprmneprm  45571  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglem1  45855
  Copyright terms: Public domain W3C validator