MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem2 11421
Description: Lemma for mul02 11422. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 11207 . 2 1 โ‰  0
2 ax-1cn 11196 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
3 mul02lem1 11420 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 = (1 + 1))
42, 3mpan2 689 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ 1 = (1 + 1))
54eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ (1 + 1) = 1)
65oveq2d 7432 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((i ยท i) + (1 + 1)) = ((i ยท i) + 1))
7 ax-icn 11197 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
87, 7mulcli 11251 . . . . . . . 8 (i ยท i) โˆˆ โ„‚
98, 2, 2addassi 11254 . . . . . . 7 (((i ยท i) + 1) + 1) = ((i ยท i) + (1 + 1))
10 ax-i2m1 11206 . . . . . . . 8 ((i ยท i) + 1) = 0
1110oveq1i 7426 . . . . . . 7 (((i ยท i) + 1) + 1) = (0 + 1)
129, 11eqtr3i 2755 . . . . . 6 ((i ยท i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13 00id 11419 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
1410, 13eqtr4i 2756 . . . . . 6 ((i ยท i) + 1) = (0 + 0)
156, 12, 143eqtr3g 2788 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ (0 + 1) = (0 + 0))
16 1re 11244 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
17 0re 11246 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
18 readdcan 11418 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0))
1916, 17, 17, 18mp3an 1457 . . . . 5 ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0)
2015, 19sylib 217 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ 1 = 0)
2120ex 411 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 ยท ๐ด) โ‰  0 โ†’ 1 = 0))
2221necon1d 2952 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0))
231, 22mpi 20 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283
This theorem is referenced by:  mul02  11422  rexmul  13282  mbfmulc2lem  25594  i1fmulc  25651  itg1mulc  25652  reabssgn  43131  stoweidlem34  45485  ztprmneprm  47523  nn0sumshdiglemA  47804  nn0sumshdiglem1  47806
  Copyright terms: Public domain W3C validator