Theorem mul02lem2 11321

Description: Lemma for mul02 11322. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11105	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		ax-1cn 11094	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		mul02lem1 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (1 + 1))
4	2, 3	mpan2 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = (1 + 1))
5	4	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (1 + 1) = 1)
6	5	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ((i · i) + (1 + 1)) = ((i · i) + 1))
7		ax-icn 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7, 7	mulcli 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
9	8, 2, 2	addassi 11153	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
10		ax-i2m1 11104	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	10	oveq1i 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1)
12	9, 11	eqtr3i 2765	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13		00id 11319	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
14	10, 13	eqtr4i 2766	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = (0 + 0)
15	6, 12, 14	3eqtr3g 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (0 + 1) = (0 + 0))
16		1re 11142	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		0re 11144	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		readdcan 11318	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
19	16, 17, 17, 18	mp3an 1469	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
20	15, 19	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 0)
21	20	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 0))
22	21	necon1d 2957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 0 → (0 · 𝐴) = 0))
23	1, 22	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037  ici 11038   + caddc 11039   · cmul 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182

This theorem is referenced by:  mul02  11322  rexmul  13221  mbfmulc2lem  25639  i1fmulc  25695  itg1mulc  25696  reabssgn  44087  stoweidlem34  46484  ztprmneprm  48845  nn0sumshdiglemA  49117  nn0sumshdiglem1  49119