MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem2 11436
Description: Lemma for mul02 11437. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 11222 . 2 1 ≠ 0
2 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3 mul02lem1 11435 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (1 + 1))
42, 3mpan2 691 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = (1 + 1))
54eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (1 + 1) = 1)
65oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ((i · i) + (1 + 1)) = ((i · i) + 1))
7 ax-icn 11212 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
87, 7mulcli 11266 . . . . . . . 8 (i · i) ∈ ℂ
98, 2, 2addassi 11269 . . . . . . 7 (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
10 ax-i2m1 11221 . . . . . . . 8 ((i · i) + 1) = 0
1110oveq1i 7441 . . . . . . 7 (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1)
129, 11eqtr3i 2765 . . . . . 6 ((i · i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13 00id 11434 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
1410, 13eqtr4i 2766 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = (0 + 0)
156, 12, 143eqtr3g 2798 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (0 + 1) = (0 + 0))
16 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
17 0re 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
18 readdcan 11433 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
1916, 17, 17, 18mp3an 1460 . . . . 5 ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
2015, 19sylib 218 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 0)
2120ex 412 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 0))
2221necon1d 2960 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 0 → (0 · 𝐴) = 0))
231, 22mpi 20 1 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298
This theorem is referenced by:  mul02  11437  rexmul  13310  mbfmulc2lem  25696  i1fmulc  25753  itg1mulc  25754  reabssgn  43626  stoweidlem34  45990  ztprmneprm  48192  nn0sumshdiglemA  48469  nn0sumshdiglem1  48471
  Copyright terms: Public domain W3C validator