Theorem mul02lem2 10467

Description: Lemma for mul02 10468. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10258	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		ax-1cn 10247	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		mul02lem1 10466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (1 + 1))
4	2, 3	mpan2 682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = (1 + 1))
5	4	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (1 + 1) = 1)
6	5	oveq2d 6858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ((i · i) + (1 + 1)) = ((i · i) + 1))
7		ax-icn 10248	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7, 7	mulcli 10301	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
9	8, 2, 2	addassi 10304	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
10		ax-i2m1 10257	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	10	oveq1i 6852	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1)
12	9, 11	eqtr3i 2789	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13		00id 10465	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
14	10, 13	eqtr4i 2790	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = (0 + 0)
15	6, 12, 14	3eqtr3g 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (0 + 1) = (0 + 0))
16		1re 10293	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		0re 10295	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		readdcan 10464	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
19	16, 17, 17, 18	mp3an 1585	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
20	15, 19	sylib 209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 0)
21	20	ex 401	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 0))
22	21	necon1d 2959	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 0 → (0 · 𝐴) = 0))
23	1, 22	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  (class class class)co 6842  ℂcc 10187  ℝcr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333

This theorem is referenced by:  mul02  10468  rexmul  12303  mbfmulc2lem  23705  i1fmulc  23761  itg1mulc  23762  stoweidlem34  40820  ztprmneprm  42726  nn0sumshdiglemA  43014  nn0sumshdiglem1  43016