Theorem mul02lem2 11323

Description: Lemma for mul02 11324. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11107	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		ax-1cn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		mul02lem1 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (1 + 1))
4	2, 3	mpan2 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = (1 + 1))
5	4	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (1 + 1) = 1)
6	5	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ((i · i) + (1 + 1)) = ((i · i) + 1))
7		ax-icn 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7, 7	mulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
9	8, 2, 2	addassi 11155	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
10		ax-i2m1 11106	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	10	oveq1i 7377	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1)
12	9, 11	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13		00id 11321	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
14	10, 13	eqtr4i 2762	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = (0 + 0)
15	6, 12, 14	3eqtr3g 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (0 + 1) = (0 + 0))
16		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		0re 11146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		readdcan 11320	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
19	16, 17, 17, 18	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
20	15, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 0)
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 0))
22	21	necon1d 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 0 → (0 · 𝐴) = 0))
23	1, 22	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  mul02  11324  rexmul  13223  mbfmulc2lem  25614  i1fmulc  25670  itg1mulc  25671  reabssgn  44063  stoweidlem34  46462  ztprmneprm  48823  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglem1  49097