![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mul02lem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for mul02 11340. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul02lem2 | โข (๐ด โ โ โ (0 ยท ๐ด) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1ne0 11127 | . 2 โข 1 โ 0 | |
2 | ax-1cn 11116 | . . . . . . . . 9 โข 1 โ โ | |
3 | mul02lem1 11338 | . . . . . . . . 9 โข (((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โง 1 โ โ) โ 1 = (1 + 1)) | |
4 | 2, 3 | mpan2 690 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ 1 = (1 + 1)) |
5 | 4 | eqcomd 2743 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ (1 + 1) = 1) |
6 | 5 | oveq2d 7378 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ ((i ยท i) + (1 + 1)) = ((i ยท i) + 1)) |
7 | ax-icn 11117 | . . . . . . . . 9 โข i โ โ | |
8 | 7, 7 | mulcli 11169 | . . . . . . . 8 โข (i ยท i) โ โ |
9 | 8, 2, 2 | addassi 11172 | . . . . . . 7 โข (((i ยท i) + 1) + 1) = ((i ยท i) + (1 + 1)) |
10 | ax-i2m1 11126 | . . . . . . . 8 โข ((i ยท i) + 1) = 0 | |
11 | 10 | oveq1i 7372 | . . . . . . 7 โข (((i ยท i) + 1) + 1) = (0 + 1) |
12 | 9, 11 | eqtr3i 2767 | . . . . . 6 โข ((i ยท i) + (1 + 1)) = (0 + 1) |
13 | 00id 11337 | . . . . . . 7 โข (0 + 0) = 0 | |
14 | 10, 13 | eqtr4i 2768 | . . . . . 6 โข ((i ยท i) + 1) = (0 + 0) |
15 | 6, 12, 14 | 3eqtr3g 2800 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ (0 + 1) = (0 + 0)) |
16 | 1re 11162 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
17 | 0re 11164 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
18 | readdcan 11336 | . . . . . 6 โข ((1 โ โ โง 0 โ โ โง 0 โ โ) โ ((0 + 1) = (0 + 0) โ 1 = 0)) | |
19 | 16, 17, 17, 18 | mp3an 1462 | . . . . 5 โข ((0 + 1) = (0 + 0) โ 1 = 0) |
20 | 15, 19 | sylib 217 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ 1 = 0) |
21 | 20 | ex 414 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((0 ยท ๐ด) โ 0 โ 1 = 0)) |
22 | 21 | necon1d 2966 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 โ 0 โ (0 ยท ๐ด) = 0)) |
23 | 1, 22 | mpi 20 | 1 โข (๐ด โ โ โ (0 ยท ๐ด) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 (class class class)co 7362 โcc 11056 โcr 11057 0cc0 11058 1c1 11059 ici 11060 + caddc 11061 ยท cmul 11063 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-po 5550 df-so 5551 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-ltxr 11201 |
This theorem is referenced by: mul02 11340 rexmul 13197 mbfmulc2lem 25027 i1fmulc 25084 itg1mulc 25085 reabssgn 41982 stoweidlem34 44349 ztprmneprm 46497 nn0sumshdiglemA 46779 nn0sumshdiglem1 46781 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |