MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem2 11339
Description: Lemma for mul02 11340. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 11127 . 2 1 โ‰  0
2 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
3 mul02lem1 11338 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 = (1 + 1))
42, 3mpan2 690 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ 1 = (1 + 1))
54eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ (1 + 1) = 1)
65oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((i ยท i) + (1 + 1)) = ((i ยท i) + 1))
7 ax-icn 11117 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
87, 7mulcli 11169 . . . . . . . 8 (i ยท i) โˆˆ โ„‚
98, 2, 2addassi 11172 . . . . . . 7 (((i ยท i) + 1) + 1) = ((i ยท i) + (1 + 1))
10 ax-i2m1 11126 . . . . . . . 8 ((i ยท i) + 1) = 0
1110oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((i ยท i) + 1) + 1) = (0 + 1)
129, 11eqtr3i 2767 . . . . . 6 ((i ยท i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13 00id 11337 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
1410, 13eqtr4i 2768 . . . . . 6 ((i ยท i) + 1) = (0 + 0)
156, 12, 143eqtr3g 2800 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ (0 + 1) = (0 + 0))
16 1re 11162 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
17 0re 11164 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
18 readdcan 11336 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0))
1916, 17, 17, 18mp3an 1462 . . . . 5 ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0)
2015, 19sylib 217 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ 1 = 0)
2120ex 414 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 ยท ๐ด) โ‰  0 โ†’ 1 = 0))
2221necon1d 2966 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0))
231, 22mpi 20 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  mul02  11340  rexmul  13197  mbfmulc2lem  25027  i1fmulc  25084  itg1mulc  25085  reabssgn  41982  stoweidlem34  44349  ztprmneprm  46497  nn0sumshdiglemA  46779  nn0sumshdiglem1  46781
  Copyright terms: Public domain W3C validator