Theorem mul02lem2 11417

Description: Lemma for mul02 11418. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11203	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		ax-1cn 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		mul02lem1 11416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (1 + 1))
4	2, 3	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = (1 + 1))
5	4	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (1 + 1) = 1)
6	5	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ((i · i) + (1 + 1)) = ((i · i) + 1))
7		ax-icn 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7, 7	mulcli 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
9	8, 2, 2	addassi 11250	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
10		ax-i2m1 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	10	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1)
12	9, 11	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13		00id 11415	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
14	10, 13	eqtr4i 2762	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = (0 + 0)
15	6, 12, 14	3eqtr3g 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (0 + 1) = (0 + 0))
16		1re 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		0re 11242	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		readdcan 11414	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
19	16, 17, 17, 18	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
20	15, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 0)
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 0))
22	21	necon1d 2955	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 0 → (0 · 𝐴) = 0))
23	1, 22	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135  ici 11136   + caddc 11137   · cmul 11139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279

This theorem is referenced by:  mul02  11418  rexmul  13292  mbfmulc2lem  25605  i1fmulc  25661  itg1mulc  25662  reabssgn  43627  stoweidlem34  46030  ztprmneprm  48289  nn0sumshdiglemA  48566  nn0sumshdiglem1  48568