![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mul02lem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for mul02 11422. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul02lem2 | โข (๐ด โ โ โ (0 ยท ๐ด) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1ne0 11207 | . 2 โข 1 โ 0 | |
2 | ax-1cn 11196 | . . . . . . . . 9 โข 1 โ โ | |
3 | mul02lem1 11420 | . . . . . . . . 9 โข (((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โง 1 โ โ) โ 1 = (1 + 1)) | |
4 | 2, 3 | mpan2 689 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ 1 = (1 + 1)) |
5 | 4 | eqcomd 2731 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ (1 + 1) = 1) |
6 | 5 | oveq2d 7432 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ ((i ยท i) + (1 + 1)) = ((i ยท i) + 1)) |
7 | ax-icn 11197 | . . . . . . . . 9 โข i โ โ | |
8 | 7, 7 | mulcli 11251 | . . . . . . . 8 โข (i ยท i) โ โ |
9 | 8, 2, 2 | addassi 11254 | . . . . . . 7 โข (((i ยท i) + 1) + 1) = ((i ยท i) + (1 + 1)) |
10 | ax-i2m1 11206 | . . . . . . . 8 โข ((i ยท i) + 1) = 0 | |
11 | 10 | oveq1i 7426 | . . . . . . 7 โข (((i ยท i) + 1) + 1) = (0 + 1) |
12 | 9, 11 | eqtr3i 2755 | . . . . . 6 โข ((i ยท i) + (1 + 1)) = (0 + 1) |
13 | 00id 11419 | . . . . . . 7 โข (0 + 0) = 0 | |
14 | 10, 13 | eqtr4i 2756 | . . . . . 6 โข ((i ยท i) + 1) = (0 + 0) |
15 | 6, 12, 14 | 3eqtr3g 2788 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ (0 + 1) = (0 + 0)) |
16 | 1re 11244 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
17 | 0re 11246 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
18 | readdcan 11418 | . . . . . 6 โข ((1 โ โ โง 0 โ โ โง 0 โ โ) โ ((0 + 1) = (0 + 0) โ 1 = 0)) | |
19 | 16, 17, 17, 18 | mp3an 1457 | . . . . 5 โข ((0 + 1) = (0 + 0) โ 1 = 0) |
20 | 15, 19 | sylib 217 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (0 ยท ๐ด) โ 0) โ 1 = 0) |
21 | 20 | ex 411 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((0 ยท ๐ด) โ 0 โ 1 = 0)) |
22 | 21 | necon1d 2952 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 โ 0 โ (0 ยท ๐ด) = 0)) |
23 | 1, 22 | mpi 20 | 1 โข (๐ด โ โ โ (0 ยท ๐ด) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 (class class class)co 7416 โcc 11136 โcr 11137 0cc0 11138 1c1 11139 ici 11140 + caddc 11141 ยท cmul 11143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7419 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-ltxr 11283 |
This theorem is referenced by: mul02 11422 rexmul 13282 mbfmulc2lem 25594 i1fmulc 25651 itg1mulc 25652 reabssgn 43131 stoweidlem34 45485 ztprmneprm 47523 nn0sumshdiglemA 47804 nn0sumshdiglem1 47806 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |