Theorem mul02lem2 11468

Description: Lemma for mul02 11469. Zero times a real is zero. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11250	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		ax-1cn 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		mul02lem1 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (1 + 1))
4	2, 3	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = (1 + 1))
5	4	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (1 + 1) = 1)
6	5	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ((i · i) + (1 + 1)) = ((i · i) + 1))
7		ax-icn 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7, 7	mulcli 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
9	8, 2, 2	addassi 11300	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
10		ax-i2m1 11249	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	10	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1)
12	9, 11	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + 1)) = (0 + 1)
13		00id 11466	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
14	10, 13	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = (0 + 0)
15	6, 12, 14	3eqtr3g 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → (0 + 1) = (0 + 0))
16		1re 11289	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		0re 11291	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		readdcan 11465	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
19	16, 17, 17, 18	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
20	15, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 0)
21	20	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 0))
22	21	necon1d 2978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 0 → (0 · 𝐴) = 0))
23	1, 22	mpi 21	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182  ici 11183   + caddc 11184   · cmul 11186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  mul02  11469  rexmul  13382  mbfmulc2lem  25948  i1fmulc  26004  itg1mulc  26005  reabssgn  44595  stoweidlem34  46988  ztprmneprm  49403  nn0sumshdiglemA  49675  nn0sumshdiglem1  49677