MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0lgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0lgt0 12138
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0lgt0 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)

Proof of Theorem mul2lt0lgt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 10274 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
41recnd 10274 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4mulcomd 10267 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
6 mul2lt0.3 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
75, 6eqbrtrrd 4811 . 2 (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) < 0)
81, 2, 7mul2lt0rgt0 12136 1 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142   · cmul 10147   < clt 10280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474  df-neg 10475  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  sgnsub  30946
  Copyright terms: Public domain W3C validator