Theorem mul2lt0lgt0 12691

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0lgt0	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)

Proof of Theorem mul2lt0lgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 10861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1	recnd 10861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcomd 10854	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
6		mul2lt0.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
7	5, 6	eqbrtrrd 5077	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) < 0)
8	1, 2, 7	mul2lt0rgt0 12689	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729   · cmul 10734   < clt 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-neg 11065  df-rp 12587

This theorem is referenced by:  sgnsub  32223