Theorem mul2lt0bi 12765

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0bi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 10936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		0red 10909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5	3, 4	ltnled 11052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
6	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		simprl 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
10	6, 7, 8, 9	mulge0d 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
12	11	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
13	5, 12	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
14		ianor 978	. . . . . 6 ⊢ (¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵))
15	13, 14	syl6ib 250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
16	1, 4	ltnled 11052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
17	2, 4	ltnled 11052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐵))
18	16, 17	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
19	15, 18	sylibrd 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0)))
20	19	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0))
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
22	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
25	22, 23, 24	mul2lt0llt0 12763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
26	21, 25	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
28	22, 23, 24	mul2lt0rlt0 12761	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
30	28, 29	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 < 0 → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
32	27, 31	orim12d 961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))
33	20, 32	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35		0red 10909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
36	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
38	36, 37	elrpd 12698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
39		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < 0)
40	34, 35, 38, 39	ltmul1dd 12756	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
41	36	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 · 𝐵) = 0)
43	40, 42	breqtrd 5096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
44	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
45		0red 10909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 ∈ ℝ)
46	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < 𝐴)
48	46, 47	elrpd 12698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
49		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 < 0)
50	44, 45, 48, 49	ltmul2dd 12757	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0))
51	46	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	51	mul01d 11104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 0) = 0)
53	50, 52	breqtrd 5096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
54	43, 53	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
55	33, 54	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  2mulprm  16326  ztprmneprm  45571