MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0bi 12483
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0bi (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4 0red 10632 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
53, 4ltnled 10775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
61adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
72adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
106, 7, 8, 9mulge0d 11205 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
1110ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
1211con3d 155 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
135, 12sylbid 241 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
14 ianor 975 . . . . . 6 (¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵))
1513, 14syl6ib 252 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
161, 4ltnled 10775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
172, 4ltnled 10775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐵))
1816, 17orbi12d 912 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
1915, 18sylibrd 260 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0)))
2019imp 407 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0))
21 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
232adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2522, 23, 24mul2lt0llt0 12481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
2621, 25jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
2726ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
2822, 23, 24mul2lt0rlt0 12479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
29 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
3028, 29jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴𝐵 < 0))
3130ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 < 0 → (0 < 𝐴𝐵 < 0)))
3227, 31orim12d 958 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))
3320, 32mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0)))
341adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 10632 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
362adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
3836, 37elrpd 12416 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
39 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < 0)
4034, 35, 38, 39ltmul1dd 12474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
4136recnd 10657 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4241mul02d 10826 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 · 𝐵) = 0)
4340, 42breqtrd 5083 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
442adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
45 0red 10632 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 0 ∈ ℝ)
461adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 0 < 𝐴)
4846, 47elrpd 12416 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
49 simprr 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐵 < 0)
5044, 45, 48, 49ltmul2dd 12475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0))
5146recnd 10657 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5251mul01d 10827 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 0) = 0)
5350, 52breqtrd 5083 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
5443, 53jaodan 951 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
5533, 54impbida 797 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  2mulprm  16025  ztprmneprm  44323
  Copyright terms: Public domain W3C validator