Theorem mul2lt0bi 13266

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0bi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		0red 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5	3, 4	ltnled 11494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
6	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
10	6, 7, 8, 9	mulge0d 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
12	11	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
13	5, 12	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
14		ianor 997	. . . . . 6 ⊢ (¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵))
15	13, 14	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
16	1, 4	ltnled 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
17	2, 4	ltnled 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐵))
18	16, 17	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
19	15, 18	sylibrd 262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0)))
20	19	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0))
21		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
22	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
25	22, 23, 24	mul2lt0llt0 13264	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
26	21, 25	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
27	26	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
28	22, 23, 24	mul2lt0rlt0 13262	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
30	28, 29	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
31	30	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 < 0 → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
32	27, 31	orim12d 979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))
33	20, 32	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
34	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35		0red 11348	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
36	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
38	36, 37	elrpd 13199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
39		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < 0)
40	34, 35, 38, 39	ltmul1dd 13257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
41	36	recnd 11374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11545	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 · 𝐵) = 0)
43	40, 42	breqtrd 5135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
44	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
45		0red 11348	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 ∈ ℝ)
46	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < 𝐴)
48	46, 47	elrpd 13199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
49		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 < 0)
50	44, 45, 48, 49	ltmul2dd 13258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0))
51	46	recnd 11374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	51	mul01d 11546	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 0) = 0)
53	50, 52	breqtrd 5135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
54	43, 53	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
55	33, 54	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  ℝcr 11236  0cc0 11237   · cmul 11242   < clt 11380   ≤ cle 11381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-rp 13159

This theorem is used by:  2mulprm  16909  ztprmneprm  49784