MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0bi 13086
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0bi (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 mul2lt0.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2remulcld 11248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
4 0red 11221 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
53, 4ltnled 11365 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
61adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
72adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
9 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
106, 7, 8, 9mulge0d 11795 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
1110ex 412 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
1211con3d 152 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
135, 12sylbid 239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
14 ianor 978 . . . . . 6 (ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1513, 14imbitrdi 250 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
161, 4ltnled 11365 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ด))
172, 4ltnled 11365 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1816, 17orbi12d 915 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
1915, 18sylibrd 259 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0)))
2019imp 406 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0))
21 simpr 484 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
221adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
232adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
24 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
2522, 23, 24mul2lt0llt0 13084 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
2621, 25jca 511 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต))
2726ex 412 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
2822, 23, 24mul2lt0rlt0 13082 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
29 simpr 484 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต < 0)
3028, 29jca 511 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))
3130ex 412 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
3227, 31orim12d 961 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
3320, 32mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
341adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
35 0red 11221 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
362adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
37 simprr 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
3836, 37elrpd 13019 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
39 simprl 768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < 0)
4034, 35, 38, 39ltmul1dd 13077 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (0 ยท ๐ต))
4136recnd 11246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4241mul02d 11416 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4340, 42breqtrd 5167 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
442adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
45 0red 11221 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
461adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
47 simprl 768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < ๐ด)
4846, 47elrpd 13019 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
49 simprr 770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต < 0)
5044, 45, 48, 49ltmul2dd 13078 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท 0))
5146recnd 11246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5251mul01d 11417 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
5350, 52breqtrd 5167 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5443, 53jaodan 954 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5533, 54impbida 798 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-rp 12981
This theorem is referenced by:  2mulprm  16637  ztprmneprm  47299
  Copyright terms: Public domain W3C validator