MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0bi 13112
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0bi (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 mul2lt0.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2remulcld 11274 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
4 0red 11247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
53, 4ltnled 11391 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
61adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
72adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
9 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
106, 7, 8, 9mulge0d 11821 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
1110ex 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
1211con3d 152 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
135, 12sylbid 239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
14 ianor 979 . . . . . 6 (ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1513, 14imbitrdi 250 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
161, 4ltnled 11391 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ด))
172, 4ltnled 11391 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1816, 17orbi12d 916 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
1915, 18sylibrd 258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0)))
2019imp 405 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0))
21 simpr 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
221adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
232adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
24 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
2522, 23, 24mul2lt0llt0 13110 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
2621, 25jca 510 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต))
2726ex 411 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
2822, 23, 24mul2lt0rlt0 13108 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
29 simpr 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต < 0)
3028, 29jca 510 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))
3130ex 411 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
3227, 31orim12d 962 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
3320, 32mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
341adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
35 0red 11247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
362adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
37 simprr 771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
3836, 37elrpd 13045 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
39 simprl 769 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < 0)
4034, 35, 38, 39ltmul1dd 13103 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (0 ยท ๐ต))
4136recnd 11272 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4241mul02d 11442 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4340, 42breqtrd 5169 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
442adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
45 0red 11247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
461adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
47 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < ๐ด)
4846, 47elrpd 13045 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
49 simprr 771 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต < 0)
5044, 45, 48, 49ltmul2dd 13104 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท 0))
5146recnd 11272 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5251mul01d 11443 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
5350, 52breqtrd 5169 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5443, 53jaodan 955 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5533, 54impbida 799 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  0cc0 11138   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-rp 13007
This theorem is referenced by:  2mulprm  16663  ztprmneprm  47523
  Copyright terms: Public domain W3C validator