MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0bi 13022
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0bi (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 mul2lt0.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2remulcld 11186 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
4 0red 11159 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
53, 4ltnled 11303 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
61adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
72adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
9 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
106, 7, 8, 9mulge0d 11733 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
1110ex 414 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
1211con3d 152 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
135, 12sylbid 239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
14 ianor 981 . . . . . 6 (ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1513, 14syl6ib 251 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
161, 4ltnled 11303 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ด))
172, 4ltnled 11303 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1816, 17orbi12d 918 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
1915, 18sylibrd 259 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0)))
2019imp 408 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0))
21 simpr 486 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
221adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
232adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
24 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
2522, 23, 24mul2lt0llt0 13020 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
2621, 25jca 513 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต))
2726ex 414 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
2822, 23, 24mul2lt0rlt0 13018 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
29 simpr 486 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต < 0)
3028, 29jca 513 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))
3130ex 414 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
3227, 31orim12d 964 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
3320, 32mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
341adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
35 0red 11159 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
362adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
37 simprr 772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
3836, 37elrpd 12955 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
39 simprl 770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < 0)
4034, 35, 38, 39ltmul1dd 13013 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (0 ยท ๐ต))
4136recnd 11184 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4241mul02d 11354 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4340, 42breqtrd 5132 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
442adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
45 0red 11159 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
461adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
47 simprl 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < ๐ด)
4846, 47elrpd 12955 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
49 simprr 772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต < 0)
5044, 45, 48, 49ltmul2dd 13014 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท 0))
5146recnd 11184 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5251mul01d 11355 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
5350, 52breqtrd 5132 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5443, 53jaodan 957 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5533, 54impbida 800 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  2mulprm  16570  ztprmneprm  46430
  Copyright terms: Public domain W3C validator