MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0bi 13067
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0bi (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 11231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4 0red 11204 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
53, 4ltnled 11348 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
61adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
72adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
106, 7, 8, 9mulge0d 11778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
1110ex 414 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
1211con3d 152 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
135, 12sylbid 239 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
14 ianor 981 . . . . . 6 (¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵))
1513, 14syl6ib 251 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
161, 4ltnled 11348 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
172, 4ltnled 11348 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐵))
1816, 17orbi12d 918 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
1915, 18sylibrd 259 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0)))
2019imp 408 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0))
21 simpr 486 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
221adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
232adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2522, 23, 24mul2lt0llt0 13065 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
2621, 25jca 513 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
2726ex 414 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
2822, 23, 24mul2lt0rlt0 13063 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
29 simpr 486 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
3028, 29jca 513 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴𝐵 < 0))
3130ex 414 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 < 0 → (0 < 𝐴𝐵 < 0)))
3227, 31orim12d 964 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))
3320, 32mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0)))
341adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 11204 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
362adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
3836, 37elrpd 13000 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
39 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < 0)
4034, 35, 38, 39ltmul1dd 13058 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
4136recnd 11229 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4241mul02d 11399 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 · 𝐵) = 0)
4340, 42breqtrd 5170 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
442adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
45 0red 11204 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 0 ∈ ℝ)
461adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 0 < 𝐴)
4846, 47elrpd 13000 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
49 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐵 < 0)
5044, 45, 48, 49ltmul2dd 13059 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0))
5146recnd 11229 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5251mul01d 11400 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 0) = 0)
5350, 52breqtrd 5170 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
5443, 53jaodan 957 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
5533, 54impbida 800 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  wcel 2107   class class class wbr 5144  (class class class)co 7396  cr 11096  0cc0 11097   · cmul 11102   < clt 11235  cle 11236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-rp 12962
This theorem is referenced by:  2mulprm  16617  ztprmneprm  46863
  Copyright terms: Public domain W3C validator