Theorem mul2lt0bi 13112

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0bi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		0red 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5	3, 4	ltnled 11391	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
6	1	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
10	6, 7, 8, 9	mulge0d 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
12	11	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
13	5, 12	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
14		ianor 979	. . . . . 6 ⊢ (¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵))
15	13, 14	imbitrdi 250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
16	1, 4	ltnled 11391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
17	2, 4	ltnled 11391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐵))
18	16, 17	orbi12d 916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
19	15, 18	sylibrd 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0)))
20	19	imp 405	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0))
21		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
22	1	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
25	22, 23, 24	mul2lt0llt0 13110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
26	21, 25	jca 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
27	26	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
28	22, 23, 24	mul2lt0rlt0 13108	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
29		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
30	28, 29	jca 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
31	30	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 < 0 → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
32	27, 31	orim12d 962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))
33	20, 32	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
34	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35		0red 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
36	2	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
38	36, 37	elrpd 13045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
39		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < 0)
40	34, 35, 38, 39	ltmul1dd 13103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
41	36	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11442	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 · 𝐵) = 0)
43	40, 42	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
44	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
45		0red 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 ∈ ℝ)
46	1	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < 𝐴)
48	46, 47	elrpd 13045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
49		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 < 0)
50	44, 45, 48, 49	ltmul2dd 13104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0))
51	46	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	51	mul01d 11443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 0) = 0)
53	50, 52	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
54	43, 53	jaodan 955	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
55	33, 54	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  0cc0 11138   · cmul 11143   < clt 11278   ≤ cle 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-rp 13007

This theorem is referenced by:  2mulprm  16663  ztprmneprm  47523