Theorem mul2lt0bi 13025

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0bi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5	3, 4	ltnled 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
6	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
10	6, 7, 8, 9	mulge0d 11726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
12	11	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
13	5, 12	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
14		ianor 984	. . . . . 6 ⊢ (¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵))
15	13, 14	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
16	1, 4	ltnled 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
17	2, 4	ltnled 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐵))
18	16, 17	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
19	15, 18	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0)))
20	19	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0))
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
22	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
25	22, 23, 24	mul2lt0llt0 13023	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
26	21, 25	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
28	22, 23, 24	mul2lt0rlt0 13021	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
30	28, 29	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 < 0 → (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
32	27, 31	orim12d 967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))
33	20, 32	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35		0red 11147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
36	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
38	36, 37	elrpd 12958	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
39		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < 0)
40	34, 35, 38, 39	ltmul1dd 13016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
41	36	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 · 𝐵) = 0)
43	40, 42	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
44	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
45		0red 11147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 ∈ ℝ)
46	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < 𝐴)
48	46, 47	elrpd 12958	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
49		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐵 < 0)
50	44, 45, 48, 49	ltmul2dd 13017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0))
51	46	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	51	mul01d 11344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 0) = 0)
53	50, 52	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
54	43, 53	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
55	33, 54	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  2mulprm  16632  ztprmneprm  48704