MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0bi 13080
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0bi (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 mul2lt0.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2remulcld 11244 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
4 0red 11217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
53, 4ltnled 11361 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
61adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
72adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
9 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
106, 7, 8, 9mulge0d 11791 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
1110ex 414 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
1211con3d 152 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
135, 12sylbid 239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
14 ianor 981 . . . . . 6 (ยฌ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1513, 14imbitrdi 250 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
161, 4ltnled 11361 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ด))
172, 4ltnled 11361 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ต))
1816, 17orbi12d 918 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†” (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆจ ยฌ 0 โ‰ค ๐ต)))
1915, 18sylibrd 259 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0)))
2019imp 408 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0))
21 simpr 486 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
221adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
232adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
24 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
2522, 23, 24mul2lt0llt0 13078 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
2621, 25jca 513 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต))
2726ex 414 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
2822, 23, 24mul2lt0rlt0 13076 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
29 simpr 486 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต < 0)
3028, 29jca 513 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))
3130ex 414 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
3227, 31orim12d 964 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
3320, 32mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)))
341adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
35 0red 11217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
362adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
37 simprr 772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
3836, 37elrpd 13013 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
39 simprl 770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < 0)
4034, 35, 38, 39ltmul1dd 13071 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (0 ยท ๐ต))
4136recnd 11242 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4241mul02d 11412 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4340, 42breqtrd 5175 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
442adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
45 0red 11217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
461adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
47 simprl 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < ๐ด)
4846, 47elrpd 13013 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
49 simprr 772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ต < 0)
5044, 45, 48, 49ltmul2dd 13072 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท 0))
5146recnd 11242 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5251mul01d 11413 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
5350, 52breqtrd 5175 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5443, 53jaodan 957 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
5533, 54impbida 800 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-rp 12975
This theorem is referenced by:  2mulprm  16630  ztprmneprm  47023
  Copyright terms: Public domain W3C validator