Theorem mul2lt0rgt0 13095

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rgt0	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem mul2lt0rgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
3		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	mul02d 11428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (0 · 𝐵) = 0)
7	2, 6	breqtrrd 5170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
8		mul2lt0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 11233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
12	4, 11	elrpd 13031	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
13	9, 10, 12	ltmul1d 13075	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵)))
14	7, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124   · cmul 11129   < clt 11264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-sub 11462  df-neg 11463  df-rp 12993

This theorem is referenced by:  mul2lt0lgt0  13097  sgnmul  34085  signsply0  34106