MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0rgt0 13019
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
mul2lt0.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rgt0 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ด < 0)

Proof of Theorem mul2lt0rgt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
21adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
3 mul2lt0.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54recnd 11184 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
65mul02d 11354 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
72, 6breqtrrd 5134 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (0 ยท ๐ต))
8 mul2lt0.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
98adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 0red 11159 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
11 simpr 486 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
124, 11elrpd 12955 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
139, 10, 12ltmul1d 12999 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด < 0 โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (0 ยท ๐ต)))
147, 13mpbird 257 1 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ด < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057   < clt 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388  df-neg 11389  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  mul2lt0lgt0  13021  sgnmul  33145  signsply0  33166
  Copyright terms: Public domain W3C validator