MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0llt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0llt0 13108
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
mul2lt0.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0llt0 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)

Proof of Theorem mul2lt0llt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 mul2lt0.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32recnd 11270 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
41recnd 11270 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53, 4mulcomd 11263 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
6 mul2lt0.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
75, 6eqbrtrrd 5167 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) < 0)
81, 2, 7mul2lt0rlt0 13106 1 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  โ„cr 11135  0cc0 11136   ยท cmul 11141   < clt 11276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-rp 13005
This theorem is referenced by:  mul2lt0bi  13110  sgnsub  34220
  Copyright terms: Public domain W3C validator