MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdid 15463
Description: The gcd of a number and itself is its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdid (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcdid
StepHypRef Expression
1 1z 11669 . . 3 1 ∈ ℤ
2 0z 11650 . . 3 0 ∈ ℤ
3 gcdaddm 15461 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 0) = (𝑁 gcd (0 + (1 · 𝑁))))
41, 2, 3mp3an13 1569 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 0) = (𝑁 gcd (0 + (1 · 𝑁))))
5 gcdid0 15456 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 0) = (abs‘𝑁))
6 zcn 11644 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 mulid2 10320 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
87oveq2d 6886 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (1 · 𝑁)) = (0 + 𝑁))
9 addid2 10500 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + 𝑁) = 𝑁)
108, 9eqtrd 2840 . . . 4 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (1 · 𝑁)) = 𝑁)
116, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (0 + (1 · 𝑁)) = 𝑁)
1211oveq2d 6886 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd (0 + (1 · 𝑁))) = (𝑁 gcd 𝑁))
134, 5, 123eqtr3rd 2849 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  1c1 10218   + caddc 10220   · cmul 10222  cz 11639  abscabs 14193   gcd cgcd 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-seq 13021  df-exp 13080  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15200  df-gcd 15432
This theorem is referenced by:  6gcd4e2  15470  gcdmultiple  15484  lcmid  15537  lcmgcdeq  15540  3lcm2e6woprm  15543  phibndlem  15688  coprimeprodsq  15726  ex-gcd  27644  gcdabsorb  31958
  Copyright terms: Public domain W3C validator