Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinsinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinsinlem 25487
 Description: Lemma for asinsin 25488. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsinlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem asinsinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10588 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10613 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54recld 14548 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
65reefcld 15436 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
7 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
8 neghalfpirx 25069 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ*
9 halfpire 25067 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
109rexri 10691 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ*
11 elioo2 12770 . . . . . . 7 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
128, 10, 11mp2an 691 . . . . . 6 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
137, 12sylib 221 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
1413simp1d 1139 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1514recoscld 15492 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 efgt0 15451 . . . 4 ((ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
175, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
18 cosq14gt0 25113 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
1918adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
206, 15, 17, 19mulgt0d 10787 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
21 efeul 15510 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
224, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
2322fveq2d 6650 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
244imcld 14549 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
2524recoscld 15492 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2625recnd 10661 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
2724resincld 15491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2827recnd 10661 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 mulcl 10613 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
301, 28, 29sylancr 590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3126, 30addcld 10652 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))) ∈ ℂ)
326, 31remul2d 14581 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
3325, 27crred 14585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))))
34 imre 14462 . . . . . . . 8 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
354, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
361, 1mulneg1i 11078 . . . . . . . . . . 11 (-i · i) = -(i · i)
37 ixi 11261 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
3837negeqi 10871 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
39 negneg1e1 11746 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
4036, 38, 393eqtri 2825 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = 1
4140oveq1i 7146 . . . . . . . . 9 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
42 negicn 10879 . . . . . . . . . . 11 -i ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
4543, 44, 2mulassd 10656 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
46 mulid2 10632 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4746adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4841, 45, 473eqtr3a 2857 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
4948fveq2d 6650 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
5035, 49eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
5150fveq2d 6650 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5233, 51eqtrd 2833 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5352oveq2d 7152 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5423, 32, 533eqtrd 2837 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5520, 54breqtrrd 5059 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  ici 10531   + caddc 10532   · cmul 10534  ℝ*cxr 10666   < clt 10667  -cneg 10863   / cdiv 11289  2c2 11683  (,)cioo 12729  ℜcre 14451  ℑcim 14452  expce 15410  sincsin 15412  cosccos 15413  πcpi 15415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493  df-limc 24479  df-dv 24480 This theorem is referenced by:  asinsin  25488
 Copyright terms: Public domain W3C validator