MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinsinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinsinlem 25382
Description: Lemma for asinsin 25383. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsinlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem asinsinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10585 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10610 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54recld 14543 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
65reefcld 15431 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
7 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
8 neghalfpirx 24967 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ*
9 halfpire 24965 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
109rexri 10688 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ*
11 elioo2 12769 . . . . . . 7 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
128, 10, 11mp2an 688 . . . . . 6 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
137, 12sylib 219 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
1413simp1d 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1514recoscld 15487 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 efgt0 15446 . . . 4 ((ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
175, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
18 cosq14gt0 25011 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
1918adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
206, 15, 17, 19mulgt0d 10784 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
21 efeul 15505 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
224, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
2322fveq2d 6671 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
244imcld 14544 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
2524recoscld 15487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2625recnd 10658 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
2724resincld 15486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2827recnd 10658 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 mulcl 10610 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
301, 28, 29sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3126, 30addcld 10649 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))) ∈ ℂ)
326, 31remul2d 14576 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
3325, 27crred 14580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))))
34 imre 14457 . . . . . . . 8 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
354, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
361, 1mulneg1i 11075 . . . . . . . . . . 11 (-i · i) = -(i · i)
37 ixi 11258 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
3837negeqi 10868 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
39 negneg1e1 11744 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
4036, 38, 393eqtri 2853 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = 1
4140oveq1i 7158 . . . . . . . . 9 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
42 negicn 10876 . . . . . . . . . . 11 -i ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
4543, 44, 2mulassd 10653 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
46 mulid2 10629 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4841, 45, 473eqtr3a 2885 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
4948fveq2d 6671 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
5035, 49eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
5150fveq2d 6671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5233, 51eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5352oveq2d 7164 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5423, 32, 533eqtrd 2865 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5520, 54breqtrrd 5091 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11681  (,)cioo 12728  cre 14446  cim 14447  expce 15405  sincsin 15407  cosccos 15408  πcpi 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380
This theorem is referenced by:  asinsin  25383
  Copyright terms: Public domain W3C validator