MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinsinlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem asinsinlem 26403
Description: Lemma for asinsin 26404. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsinlem ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
Proof of Theorem asinsinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11171 . . . . . 6 i ∈ β„‚
2 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 mulcl 11196 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
41, 2, 3sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
54recld 15143 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
65reefcld 16033 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
7 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
8 neghalfpirx 25983 . . . . . . 7 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*
9 halfpire 25981 . . . . . . . 8 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
109rexri 11274 . . . . . . 7 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
11 elioo2 13367 . . . . . . 7 ((-(Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ ((β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ ((β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (β„œβ€˜π΄) ∧ (β„œβ€˜π΄) < (Ο€ / 2))))
128, 10, 11mp2an 690 . . . . . 6 ((β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ ((β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (β„œβ€˜π΄) ∧ (β„œβ€˜π΄) < (Ο€ / 2)))
137, 12sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (β„œβ€˜π΄) ∧ (β„œβ€˜π΄) < (Ο€ / 2)))
1413simp1d 1142 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1514recoscld 16089 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
16 efgt0 16048 . . . 4 ((β„œβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ ℝ β†’ 0 < (expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))))
175, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))))
18 cosq14gt0 26027 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
1918adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
206, 15, 17, 19mulgt0d 11371 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄))))
21 efeul 16107 . . . . 5 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))))
224, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))))
2322fveq2d 6895 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))))
244imcld 15144 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
2524recoscld 16089 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
2625recnd 11244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
2724resincld 16088 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
2827recnd 11244 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
29 mulcl 11196 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
301, 28, 29sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
3126, 30addcld 11235 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚)
326, 31remul2d 15176 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))))
3325, 27crred 15180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))) = (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
34 imre 15057 . . . . . . . 8 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) = (β„œβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))))
354, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) = (β„œβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))))
361, 1mulneg1i 11662 . . . . . . . . . . 11 (-i Β· i) = -(i Β· i)
37 ixi 11845 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· i) = -1
3837negeqi 11455 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
39 negneg1e1 12332 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
4036, 38, 393eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = 1
4140oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (1 Β· 𝐴)
42 negicn 11463 . . . . . . . . . . 11 -i ∈ β„‚
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ -i ∈ β„‚)
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ i ∈ β„‚)
4543, 44, 2mulassd 11239 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
46 mullid 11215 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
4841, 45, 473eqtr3a 2796 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (-i Β· (i Β· 𝐴)) = 𝐴)
4948fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))) = (β„œβ€˜π΄))
5035, 49eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) = (β„œβ€˜π΄))
5150fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) = (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
5233, 51eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))) = (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
5352oveq2d 7427 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄))))
5423, 32, 533eqtrd 2776 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄))))
5520, 54breqtrrd 5176 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11249   < clt 11250  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  (,)cioo 13326  β„œcre 15046  β„‘cim 15047  expce 16007  sincsin 16009  cosccos 16010  Ο€cpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  asinsin  26404
  Copyright terms: Public domain W3C validator