MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinsinlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem asinsinlem 26396
Description: Lemma for asinsin 26397. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsinlem ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
Proof of Theorem asinsinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11169 . . . . . 6 i ∈ β„‚
2 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 mulcl 11194 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
41, 2, 3sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
54recld 15141 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
65reefcld 16031 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
7 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
8 neghalfpirx 25976 . . . . . . 7 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*
9 halfpire 25974 . . . . . . . 8 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
109rexri 11272 . . . . . . 7 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
11 elioo2 13365 . . . . . . 7 ((-(Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ ((β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ ((β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (β„œβ€˜π΄) ∧ (β„œβ€˜π΄) < (Ο€ / 2))))
128, 10, 11mp2an 691 . . . . . 6 ((β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ ((β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (β„œβ€˜π΄) ∧ (β„œβ€˜π΄) < (Ο€ / 2)))
137, 12sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (β„œβ€˜π΄) ∧ (β„œβ€˜π΄) < (Ο€ / 2)))
1413simp1d 1143 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1514recoscld 16087 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
16 efgt0 16046 . . . 4 ((β„œβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ ℝ β†’ 0 < (expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))))
175, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))))
18 cosq14gt0 26020 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
1918adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
206, 15, 17, 19mulgt0d 11369 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄))))
21 efeul 16105 . . . . 5 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))))
224, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))))
2322fveq2d 6896 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))))
244imcld 15142 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
2524recoscld 16087 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
2625recnd 11242 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
2724resincld 16086 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
2827recnd 11242 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
29 mulcl 11194 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
301, 28, 29sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
3126, 30addcld 11233 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚)
326, 31remul2d 15174 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))))
3325, 27crred 15178 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))) = (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
34 imre 15055 . . . . . . . 8 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) = (β„œβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))))
354, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) = (β„œβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))))
361, 1mulneg1i 11660 . . . . . . . . . . 11 (-i Β· i) = -(i Β· i)
37 ixi 11843 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· i) = -1
3837negeqi 11453 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
39 negneg1e1 12330 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
4036, 38, 393eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = 1
4140oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (1 Β· 𝐴)
42 negicn 11461 . . . . . . . . . . 11 -i ∈ β„‚
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ -i ∈ β„‚)
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ i ∈ β„‚)
4543, 44, 2mulassd 11237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
46 mullid 11213 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
4746adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
4841, 45, 473eqtr3a 2797 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (-i Β· (i Β· 𝐴)) = 𝐴)
4948fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))) = (β„œβ€˜π΄))
5035, 49eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)) = (β„œβ€˜π΄))
5150fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) = (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
5233, 51eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))))) = (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄)))
5352oveq2d 7425 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄))))
5423, 32, 533eqtrd 2777 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜(i Β· 𝐴))) Β· (cosβ€˜(β„œβ€˜π΄))))
5520, 54breqtrrd 5177 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (β„œβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  (,)cioo 13324  β„œcre 15044  β„‘cim 15045  expce 16005  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  asinsin  26397
  Copyright terms: Public domain W3C validator