MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinsinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinsinlem 26948
Description: Lemma for asinsin 26949. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsinlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem asinsinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11211 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 11236 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54recld 15229 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
65reefcld 16120 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
7 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
8 neghalfpirx 26522 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ*
9 halfpire 26520 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
109rexri 11316 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ*
11 elioo2 13424 . . . . . . 7 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
128, 10, 11mp2an 692 . . . . . 6 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
137, 12sylib 218 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
1413simp1d 1141 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1514recoscld 16176 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 efgt0 16135 . . . 4 ((ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
175, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
18 cosq14gt0 26566 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
1918adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
206, 15, 17, 19mulgt0d 11413 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
21 efeul 16194 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
224, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
2322fveq2d 6910 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
244imcld 15230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
2524recoscld 16176 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2625recnd 11286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
2724resincld 16175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2827recnd 11286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 mulcl 11236 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
301, 28, 29sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3126, 30addcld 11277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))) ∈ ℂ)
326, 31remul2d 15262 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
3325, 27crred 15266 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))))
34 imre 15143 . . . . . . . 8 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
354, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
361, 1mulneg1i 11706 . . . . . . . . . . 11 (-i · i) = -(i · i)
37 ixi 11889 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
3837negeqi 11498 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
39 negneg1e1 12381 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
4036, 38, 393eqtri 2766 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = 1
4140oveq1i 7440 . . . . . . . . 9 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
42 negicn 11506 . . . . . . . . . . 11 -i ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
4543, 44, 2mulassd 11281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
46 mullid 11257 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4746adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4841, 45, 473eqtr3a 2798 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
4948fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
5035, 49eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
5150fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5233, 51eqtrd 2774 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5352oveq2d 7446 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5423, 32, 533eqtrd 2778 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5520, 54breqtrrd 5175 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  ici 11154   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  (,)cioo 13383  cre 15132  cim 15133  expce 16093  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  asinsin  26949
  Copyright terms: Public domain W3C validator