MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem1 28783
Description: Lemma for ax5seg 28793. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘‡,๐‘–,๐‘—

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1223 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
2 fveecn 28757 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
31, 2sylancom 586 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4 simpl2r 1224 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5 fveecn 28757 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
64, 5sylancom 586 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7 elicc01 13475 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โ‰ค 1))
87simp1bi 1142 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1093ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1110recnd 11272 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
1211adantr 479 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
13 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘—))
14 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ดโ€˜๐‘—))
1514oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
16 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) = (๐ถโ€˜๐‘—))
1716oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)) = (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))
1815, 17oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
1913, 18eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
2019rspccva 3600 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
2120adantll 712 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
22213ad2antl3 1184 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
23 oveq2 7424 . . . . . 6 ((๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—)) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
2423oveq1d 7431 . . . . 5 ((๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2))
25 subdi 11677 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
26253coml 1124 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
27 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
28 subcl 11489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
2927, 28mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
31 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
32 subdir 11678 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
3327, 30, 31, 32mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
34 nncan 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
3527, 34mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
3635oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
3736adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
38 mullid 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐ดโ€˜๐‘—))
3938oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
4039adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
4133, 37, 403eqtr3rd 2774 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
4241oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
43423adant2 1128 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
44 simp1 1133 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
45 mulcl 11222 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
4629, 45sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
4746ancoms 457 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
48473adant2 1128 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
49 mulcl 11222 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5049ancoms 457 . . . . . . . . . 10 (((๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
51503adant1 1127 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5244, 48, 51subsub4d 11632 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
5326, 43, 523eqtr2rd 2772 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))) = (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))
5453oveq1d 7431 . . . . . 6 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2) = ((๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))โ†‘2))
55 simp3 1135 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
56 subcl 11489 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
57563adant3 1129 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5855, 57sqmuld 14154 . . . . . 6 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5954, 58eqtrd 2765 . . . . 5 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
6024, 59sylan9eqr 2787 . . . 4 ((((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
613, 6, 12, 22, 60syl31anc 1370 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
6261sumeq2dv 15681 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
63 fzfid 13970 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
648resqcld 14121 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„)
6564recnd 11272 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6665adantr 479 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
67663ad2ant3 1132 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6823adant1 1127 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
69683adant2r 1176 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7053adant1 1127 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
71703adant2l 1175 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7269, 71subcld 11601 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7372sqcld 14140 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
74733expa 1115 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
75743adantl3 1165 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7663, 67, 75fsummulc2 15762 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7762, 76eqtr4d 2768 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474  โ„•cn 12242  2c2 12297  [,]cicc 13359  ...cfz 13516  โ†‘cexp 14058  ฮฃcsu 15664  ๐”ผcee 28743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-ee 28746
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  28786  ax5seglem6  28789
  Copyright terms: Public domain W3C validator