MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem1 28694
Description: Lemma for ax5seg 28704. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘‡,๐‘–,๐‘—

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1223 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
2 fveecn 28668 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
31, 2sylancom 587 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4 simpl2r 1224 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5 fveecn 28668 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
64, 5sylancom 587 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7 elicc01 13449 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โ‰ค 1))
87simp1bi 1142 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1093ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1110recnd 11246 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
1211adantr 480 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
13 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘—))
14 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ดโ€˜๐‘—))
1514oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
16 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) = (๐ถโ€˜๐‘—))
1716oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)) = (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))
1815, 17oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
1913, 18eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
2019rspccva 3605 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
2120adantll 711 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
22213ad2antl3 1184 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
23 oveq2 7413 . . . . . 6 ((๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—)) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
2423oveq1d 7420 . . . . 5 ((๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2))
25 subdi 11651 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
26253coml 1124 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
27 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
28 subcl 11463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
2927, 28mpan 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
31 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
32 subdir 11652 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
3327, 30, 31, 32mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
34 nncan 11493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
3527, 34mpan 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
3635oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
38 mullid 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐ดโ€˜๐‘—))
3938oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
4133, 37, 403eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
4241oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
43423adant2 1128 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
44 simp1 1133 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
45 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
4629, 45sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
4746ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
48473adant2 1128 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
49 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5049ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
51503adant1 1127 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5244, 48, 51subsub4d 11606 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
5326, 43, 523eqtr2rd 2773 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))) = (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))
5453oveq1d 7420 . . . . . 6 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2) = ((๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))โ†‘2))
55 simp3 1135 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
56 subcl 11463 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
57563adant3 1129 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5855, 57sqmuld 14128 . . . . . 6 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5954, 58eqtrd 2766 . . . . 5 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
6024, 59sylan9eqr 2788 . . . 4 ((((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
613, 6, 12, 22, 60syl31anc 1370 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
6261sumeq2dv 15655 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
63 fzfid 13944 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
648resqcld 14095 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„)
6564recnd 11246 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6665adantr 480 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
67663ad2ant3 1132 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6823adant1 1127 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
69683adant2r 1176 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7053adant1 1127 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
71703adant2l 1175 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7269, 71subcld 11575 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7372sqcld 14114 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
74733expa 1115 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
75743adantl3 1165 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7663, 67, 75fsummulc2 15736 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7762, 76eqtr4d 2769 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  ฮฃcsu 15638  ๐”ผcee 28654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ee 28657
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  28697  ax5seglem6  28700
  Copyright terms: Public domain W3C validator