Theorem ax5seglem1 29488

Description: Lemma for ax5seg 29498. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2l 1245	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		fveecn 29462	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylancom 600	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
4		simpl2r 1246	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveecn 29462	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylancom 600	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
7		elicc01 13578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
8	7	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13		fveq2 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
14		fveq2 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)))
16		fveq2 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑗))
17	16	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))
18	15, 17	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
19	13, 18	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
20	19	rspccva 3576	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
21	20	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
22	21	3ad2antl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
23		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) = ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
24	23	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2))
25		subdi 11730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
26	25	3coml 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
27		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		subcl 11537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
31		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
32		subdir 11731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
33	27, 30, 31, 32	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
34		nncan 11568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
35	27, 34	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
36	35	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
38		mullid 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑗)) = (𝐴‘𝑗))
39	38	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
41	33, 37, 40	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
42	41	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
43	42	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
44		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
45		mulcl 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
46	29, 45	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
47	46	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
48	47	3adant2 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
49		mulcl 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
50	49	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
51	50	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
52	44, 48, 51	subsub4d 11681	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
53	26, 43, 52	3eqtr2rd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) = (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))))
54	53	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2) = ((𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2))
55		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
56		subcl 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
57	56	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
58	55, 57	sqmuld 14281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
59	54, 58	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
60	24, 59	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
61	3, 6, 12, 22, 60	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
62	61	sumeq2dv 15849	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
63		fzfid 14096	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
64	8	resqcld 14248	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
66	65	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
68	2	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
69	68	3adant2r 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
70	5	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
71	70	3adant2l 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
72	69, 71	subcld 11650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
73	72	sqcld 14267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
74	73	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
75	74	3adantl3 1187	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
76	63, 67, 75	fsummulc2 15930	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
77	62, 76	eqtr4d 2799	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℕcn 12316  2c2 12378  [,]cicc 13460  ...cfz 13620  ↑cexp 14184  Σcsu 15833  𝔼cee 29447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-ee 29450

This theorem is used by:  ax5seglem3  29491  ax5seglem6  29494