Theorem ax5seglem1 28862

Description: Lemma for ax5seg 28872. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2l 1227	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		fveecn 28836	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylancom 588	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
4		simpl2r 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveecn 28836	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylancom 588	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
7		elicc01 13434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
8	7	simp1bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
14		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
15	14	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)))
16		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑗))
17	16	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))
18	15, 17	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
19	13, 18	eqeq12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
20	19	rspccva 3590	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
21	20	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
22	21	3ad2antl3 1188	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
23		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) = ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
24	23	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2))
25		subdi 11618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
26	25	3coml 1127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
27		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		subcl 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
31		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
32		subdir 11619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
33	27, 30, 31, 32	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
34		nncan 11458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
35	27, 34	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
36	35	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
38		mullid 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑗)) = (𝐴‘𝑗))
39	38	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
41	33, 37, 40	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
42	41	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
43	42	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
44		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
45		mulcl 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
46	29, 45	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
47	46	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
48	47	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
49		mulcl 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
50	49	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
51	50	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
52	44, 48, 51	subsub4d 11571	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
53	26, 43, 52	3eqtr2rd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) = (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))))
54	53	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2) = ((𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2))
55		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
56		subcl 11427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
57	56	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
58	55, 57	sqmuld 14130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
59	54, 58	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
60	24, 59	sylan9eqr 2787	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
61	3, 6, 12, 22, 60	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
62	61	sumeq2dv 15675	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
63		fzfid 13945	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
64	8	resqcld 14097	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
68	2	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
69	68	3adant2r 1180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
70	5	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
71	70	3adant2l 1179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
72	69, 71	subcld 11540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
73	72	sqcld 14116	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
74	73	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
75	74	3adantl3 1169	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
76	63, 67, 75	fsummulc2 15757	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
77	62, 76	eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  [,]cicc 13316  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  Σcsu 15659  𝔼cee 28822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-ee 28825

This theorem is referenced by:  ax5seglem3  28865  ax5seglem6  28868