MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem1 28958
Description: Lemma for ax5seg 28968. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1225 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 fveecn 28932 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
31, 2sylancom 588 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
4 simpl2r 1226 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 fveecn 28932 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
64, 5sylancom 588 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7 elicc01 13503 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
87simp1bi 1144 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1093ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1110recnd 11287 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
1211adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
14 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
1514oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)))
16 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
1716oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (𝑇 · (𝐶𝑗)))
1815, 17oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
1913, 18eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2019rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
2120adantll 714 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
22213ad2antl3 1186 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
23 oveq2 7439 . . . . . 6 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2423oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2))
25 subdi 11694 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
26253coml 1126 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
27 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
28 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
2927, 28mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
31 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
32 subdir 11695 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
3327, 30, 31, 32mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
34 nncan 11536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
3527, 34mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
3635oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
38 mullid 11258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑗)) = (𝐴𝑗))
3938oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
4133, 37, 403eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
43423adant2 1130 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
44 simp1 1135 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
45 mulcl 11237 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
4629, 45sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
4746ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
48473adant2 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
49 mulcl 11237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5049ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
51503adant1 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5244, 48, 51subsub4d 11649 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
5326, 43, 523eqtr2rd 2782 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) = (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))))
5453oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2) = ((𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2))
55 simp3 1137 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
56 subcl 11505 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
57563adant3 1131 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5855, 57sqmuld 14195 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
5954, 58eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6024, 59sylan9eqr 2797 . . . 4 ((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
613, 6, 12, 22, 60syl31anc 1372 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6261sumeq2dv 15735 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
63 fzfid 14011 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
648resqcld 14162 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℝ)
6564recnd 11287 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
6665adantr 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
67663ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
6823adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
69683adant2r 1178 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
7053adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
71703adant2l 1177 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7269, 71subcld 11618 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7372sqcld 14181 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
74733expa 1117 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
75743adantl3 1167 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
7663, 67, 75fsummulc2 15817 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
7762, 76eqtr4d 2778 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719  𝔼cee 28918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-ee 28921
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  28961  ax5seglem6  28964
  Copyright terms: Public domain W3C validator