Theorem ax5seglem1 29256

Description: Lemma for ax5seg 29266. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2l 1245	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		fveecn 29230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylancom 599	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
4		simpl2r 1246	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveecn 29230	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylancom 599	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
7		elicc01 13494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
8	7	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
12	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
14		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)))
16		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑗))
17	16	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))
18	15, 17	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
19	13, 18	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
20	19	rspccva 3581	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
21	20	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
22	21	3ad2antl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
23		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) = ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
24	23	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2))
25		subdi 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
26	25	3coml 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
27		ax-1cn 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		subcl 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
30	29	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
31		simpl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
32		subdir 11649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
33	27, 30, 31, 32	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
34		nncan 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
35	27, 34	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
36	35	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴‘𝑗)) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
38		mullid 11208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑗)) = (𝐴‘𝑗))
39	38	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))))
41	33, 37, 40	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) = (𝑇 · (𝐴‘𝑗)))
42	41	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
43	42	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
44		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
45		mulcl 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
46	29, 45	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
47	46	ancoms 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
48	47	3adant2 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
49		mulcl 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
50	49	ancoms 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
51	50	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
52	44, 48, 51	subsub4d 11601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗))) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
53	26, 43, 52	3eqtr2rd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) = (𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))))
54	53	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2) = ((𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2))
55		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
56		subcl 11457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
57	56	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
58	55, 57	sqmuld 14196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑇 · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
59	54, 58	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
60	24, 59	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
61	3, 6, 12, 22, 60	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
62	61	sumeq2dv 15755	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
63		fzfid 14011	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
64	8	resqcld 14163	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
66	65	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
68	2	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
69	68	3adant2r 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
70	5	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
71	70	3adant2l 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
72	69, 71	subcld 11570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
73	72	sqcld 14182	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
74	73	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
75	74	3adantl3 1187	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
76	63, 67, 75	fsummulc2 15837	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
77	62, 76	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  [,]cicc 13376  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Σcsu 15739  𝔼cee 29215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-ee 29218

This theorem is referenced by:  ax5seglem3  29259  ax5seglem6  29262