MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem1 26099
Description: Lemma for ax5seg 26109. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1297 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 fveecn 26073 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
31, 2sylancom 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
4 simpl2r 1299 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 fveecn 26073 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
64, 5sylancom 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7 elicc01 12494 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
87simp1bi 1175 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1093ad2ant3 1165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1110recnd 10322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
1211adantr 472 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
14 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
1514oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)))
16 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
1716oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (𝑇 · (𝐶𝑗)))
1815, 17oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
1913, 18eqeq12d 2780 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2019rspccva 3460 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
2120adantll 705 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
22213ad2antl3 1238 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
23 oveq2 6850 . . . . . 6 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2423oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2))
25 subdi 10717 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
26253coml 1157 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
27 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
28 subcl 10534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
2927, 28mpan 681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
31 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
32 subdir 10718 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
3327, 32mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
3430, 31, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
35 nncan 10564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
3627, 35mpan 681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
3736oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
3837adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
39 mulid2 10292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑗)) = (𝐴𝑗))
4039oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
4234, 38, 413eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
4342oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
44433adant2 1161 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
45 simp1 1166 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
46 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
4729, 46sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
4847ancoms 450 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
49483adant2 1161 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
50 mulcl 10273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5150ancoms 450 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
52513adant1 1160 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5345, 49, 52subsub4d 10677 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
5426, 44, 533eqtr2rd 2806 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) = (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))))
5554oveq1d 6857 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2) = ((𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2))
56 simp3 1168 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
57 subcl 10534 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
58573adant3 1162 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5956, 58sqmuld 13227 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6055, 59eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6124, 60sylan9eqr 2821 . . . 4 ((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
623, 6, 12, 22, 61syl31anc 1492 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6362sumeq2dv 14720 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
64 fzfid 12980 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
658resqcld 13242 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℝ)
6665recnd 10322 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
6766adantr 472 . . . 4 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
68673ad2ant3 1165 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
6923adant1 1160 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
70693adant2r 1227 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
7153adant1 1160 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
72713adant2l 1225 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7370, 72, 57syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7473sqcld 13213 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
75743expa 1147 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
76753adantl3 1209 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
7764, 68, 76fsummulc2 14802 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
7863, 77eqtr4d 2802 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  [,]cicc 12380  ...cfz 12533  cexp 13067  Σcsu 14703  𝔼cee 26059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-ee 26062
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  26102  ax5seglem6  26105
  Copyright terms: Public domain W3C validator