MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem1 28051
Description: Lemma for ax5seg 28061. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘‡,๐‘–,๐‘—

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1226 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
2 fveecn 28025 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
31, 2sylancom 588 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4 simpl2r 1227 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5 fveecn 28025 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
64, 5sylancom 588 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7 elicc01 13425 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โ‰ค 1))
87simp1bi 1145 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1093ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1110recnd 11224 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
1211adantr 481 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
13 fveq2 6878 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘—))
14 fveq2 6878 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ดโ€˜๐‘—))
1514oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
16 fveq2 6878 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) = (๐ถโ€˜๐‘—))
1716oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)) = (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))
1815, 17oveq12d 7411 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
1913, 18eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
2019rspccva 3608 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
2120adantll 712 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
22213ad2antl3 1187 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
23 oveq2 7401 . . . . . 6 ((๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—)) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
2423oveq1d 7408 . . . . 5 ((๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2))
25 subdi 11629 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
26253coml 1127 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
27 ax-1cn 11150 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
28 subcl 11441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
2927, 28mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
31 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
32 subdir 11630 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
3327, 30, 31, 32mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
34 nncan 11471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
3527, 34mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
3635oveq1d 7408 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
38 mullid 11195 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) = (๐ดโ€˜๐‘—))
3938oveq1d 7408 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))))
4133, 37, 403eqtr3rd 2780 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) = (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)))
4241oveq1d 7408 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
43423adant2 1131 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))
44 simp1 1136 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
45 mulcl 11176 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
4629, 45sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
4746ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
48473adant2 1131 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
49 mulcl 11176 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5049ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
51503adant1 1130 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5244, 48, 51subsub4d 11584 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—))) โˆ’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))) = ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))))
5326, 43, 523eqtr2rd 2778 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))) = (๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))
5453oveq1d 7408 . . . . . 6 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2) = ((๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))โ†‘2))
55 simp3 1138 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
56 subcl 11441 . . . . . . . 8 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
57563adant3 1132 . . . . . . 7 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5855, 57sqmuld 14105 . . . . . 6 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5954, 58eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—))))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
6024, 59sylan9eqr 2793 . . . 4 ((((๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ตโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘—)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘—)))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
613, 6, 12, 22, 60syl31anc 1373 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
6261sumeq2dv 15631 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
63 fzfid 13920 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
648resqcld 14072 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„)
6564recnd 11224 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6665adantr 481 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
67663ad2ant3 1135 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6823adant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
69683adant2r 1179 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7053adant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
71703adant2l 1178 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
7269, 71subcld 11553 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7372sqcld 14091 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
74733expa 1118 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
75743adantl3 1168 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7663, 67, 75fsummulc2 15712 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7762, 76eqtr4d 2774 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3060   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  โ„‚cc 11090  โ„cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   ยท cmul 11097   โ‰ค cle 11231   โˆ’ cmin 11426  โ„•cn 12194  2c2 12249  [,]cicc 13309  ...cfz 13466  โ†‘cexp 14009  ฮฃcsu 15614  ๐”ผcee 28011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-ee 28014
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  28054  ax5seglem6  28057
  Copyright terms: Public domain W3C validator