MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem 15375
Description: Lemma for prodrb 15378. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodrblem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid2 10718 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
21adantl 485 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3 1cnd 10714 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 484 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 iftrue 4420 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
76adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8 prodmo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1110ex 416 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
12 iffalse 4423 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
13 ax-1cn 10673 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1412, 13eqeltrdi 2841 . . . . . 6 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1511, 14pm2.61d1 183 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
16 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
1715, 16fmptd 6888 . . . 4 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
18 uzssz 12345 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
1918, 4sseldi 3875 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2017, 19ffvelrnd 6862 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
2120adantr 484 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
22 elfzelz 12998 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2322adantl 485 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
2519zcnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2726adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
28 1cnd 10714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
2927, 28npcand 11079 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3029fveq2d 6678 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
3124, 30sseqtrrd 3918 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
32 fznuz 13080 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3332adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3431, 33ssneldd 3880 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
3523, 34eldifd 3854 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
36 fveqeq2 6683 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑛) = 1))
37 eldifi 4017 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
38 eldifn 4018 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
3938, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
4039, 13eqeltrdi 2841 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
4116fvmpt2 6786 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
4237, 40, 41syl2anc 587 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
4342, 39eqtrd 2773 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
4436, 43vtoclga 3478 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑛) = 1)
4535, 44syl 17 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 1)
462, 3, 5, 21, 45seqid 13507 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cdif 3840  wss 3843  ifcif 4414  cmpt 5110  cres 5527  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  cmin 10948  cz 12062  cuz 12324  ...cfz 12981  seqcseq 13460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461
This theorem is referenced by:  prodrblem2  15377
  Copyright terms: Public domain W3C validator