Theorem prodrblem 15973

Description: Lemma for prodrb 15976. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
prodrblem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullid 11195	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3		1cnd 11190	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4		prodrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		iftrue 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
7	6	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8		prodmo.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
11	10	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
12		iffalse 4492	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
13		ax-1cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	12, 13	eqeltrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
15	11, 14	pm2.61d1 182	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
16		prodmo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
17	15, 16	fmptd 7099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℤ⟶ℂ)
18		uzssz 12874	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	18, 4	sselid 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20	17, 19	ffvelcdmd 7070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
21	20	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
22		elfzelz 13543	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	22	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
25	19	zcnd 12692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
28		1cnd 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	npcand 11561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
30	29	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
31	24, 30	sseqtrrd 3976	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
32		fznuz 13628	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
33	32	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
34	31, 33	ssneldd 3942	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
35	23, 34	eldifd 3918	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
36		fveqeq2 6880	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) = 1 ↔ (𝐹‘𝑛) = 1))
37		eldifi 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
38		eldifn 4088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
39	38, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
40	39, 13	eqeltrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
41	16	fvmpt2 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
42	37, 40, 41	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
43	42, 39	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 1)
44	36, 43	vtoclga 3544	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) = 1)
45	35, 44	syl 18	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = 1)
46	2, 3, 5, 21, 45	seqid 14074	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ifcif 4483   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  seqcseq 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-seq 14029

This theorem is referenced by:  prodrblem2  15975