Theorem prodrblem 16009

Description: Lemma for prodrb 16012. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
prodrblem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullid 11225	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3		1cnd 11220	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4		prodrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		iftrue 4498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
7	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8		prodmo.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	eqeltrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
11	10	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
12		iffalse 4501	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
13		ax-1cn 11176	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	12, 13	eqeltrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
15	11, 14	pm2.61d1 182	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
16		prodmo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
17	15, 16	fmptd 7116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℤ⟶ℂ)
18		uzssz 12901	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	18, 4	sselid 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20	17, 19	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
22		elfzelz 13570	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	22	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
25	19	zcnd 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
28		1cnd 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	npcand 11591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
30	29	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
31	24, 30	sseqtrrd 3977	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
32		fznuz 13656	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
33	32	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
34	31, 33	ssneldd 3943	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
35	23, 34	eldifd 3919	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
36		fveqeq2 6897	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) = 1 ↔ (𝐹‘𝑛) = 1))
37		eldifi 4088	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
38		eldifn 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
39	38, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
40	39, 13	eqeltrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
41	16	fvmpt2 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
42	37, 40, 41	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
43	42, 39	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 1)
44	36, 43	vtoclga 3544	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) = 1)
45	35, 44	syl 18	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = 1)
46	2, 3, 5, 21, 45	seqid 14103	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  ifcif 4492   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058

This theorem is used by:  prodrblem2  16011