MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem 15965
Description: Lemma for prodrb 15968. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodrblem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mullid 11260 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
21adantl 481 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3 1cnd 11256 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 480 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8 prodmo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9eqeltrd 2841 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1110ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
12 iffalse 4534 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
13 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1412, 13eqeltrdi 2849 . . . . . 6 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1511, 14pm2.61d1 180 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
16 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
1715, 16fmptd 7134 . . . 4 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
18 uzssz 12899 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
1918, 4sselid 3981 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2017, 19ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
2120adantr 480 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
22 elfzelz 13564 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2322adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
2519zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
28 1cnd 11256 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
2927, 28npcand 11624 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3029fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
3124, 30sseqtrrd 4021 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
32 fznuz 13649 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3332adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3431, 33ssneldd 3986 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
3523, 34eldifd 3962 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
36 fveqeq2 6915 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑛) = 1))
37 eldifi 4131 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
38 eldifn 4132 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
3938, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
4039, 13eqeltrdi 2849 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
4116fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
4237, 40, 41syl2anc 584 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
4342, 39eqtrd 2777 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
4436, 43vtoclga 3577 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑛) = 1)
4535, 44syl 17 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 1)
462, 3, 5, 21, 45seqid 14088 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  cmpt 5225  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043
This theorem is referenced by:  prodrblem2  15967
  Copyright terms: Public domain W3C validator