MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem 15905
Description: Lemma for prodrb 15908. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
prodmo.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
prodrb.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
prodrblem ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = seq𝑁( Β· , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem prodrblem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mullid 11243 . . 3 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝑛) = 𝑛)
21adantl 480 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (1 Β· 𝑛) = 𝑛)
3 1cnd 11239 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 1 ∈ β„‚)
4 prodrb.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
54adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6 iftrue 4530 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
76adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
8 prodmo.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
98adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
107, 9eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
1110ex 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚))
12 iffalse 4533 . . . . . . 7 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
13 ax-1cn 11196 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
1412, 13eqeltrdi 2833 . . . . . 6 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
1511, 14pm2.61d1 180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
16 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
1715, 16fmptd 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„€βŸΆβ„‚)
18 uzssz 12873 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
1918, 4sselid 3970 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2017, 19ffvelcdmd 7090 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
2120adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
22 elfzelz 13533 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2322adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
24 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘))
2519zcnd 12697 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2726adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
28 1cnd 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
2927, 28npcand 11605 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
3029fveq2d 6896 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
3124, 30sseqtrrd 4014 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
32 fznuz 13615 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
3332adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
3431, 33ssneldd 3975 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
3523, 34eldifd 3950 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€ βˆ– 𝐴))
36 fveqeq2 6901 . . . 4 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 1 ↔ (πΉβ€˜π‘›) = 1))
37 eldifi 4119 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
38 eldifn 4120 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)
3938, 12syl 17 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
4039, 13eqeltrdi 2833 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
4116fvmpt2 7011 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
4237, 40, 41syl2anc 582 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
4342, 39eqtrd 2765 . . . 4 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 1)
4436, 43vtoclga 3555 . . 3 (𝑛 ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 1)
4535, 44syl 17 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 1)
462, 3, 5, 21, 45seqid 14044 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = seq𝑁( Β· , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  ifcif 4524   ↦ cmpt 5226   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999
This theorem is referenced by:  prodrblem2  15907
  Copyright terms: Public domain W3C validator