MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem 15880
Description: Lemma for prodrb 15883. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodrblem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mullid 11220 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
21adantl 481 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3 1cnd 11216 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 480 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8 prodmo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1110ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
12 iffalse 4537 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
13 ax-1cn 11174 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1412, 13eqeltrdi 2840 . . . . . 6 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1511, 14pm2.61d1 180 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
16 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
1715, 16fmptd 7115 . . . 4 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
18 uzssz 12850 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
1918, 4sselid 3980 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2017, 19ffvelcdmd 7087 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
2120adantr 480 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
22 elfzelz 13508 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2322adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24 simplr 766 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
2519zcnd 12674 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
28 1cnd 11216 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
2927, 28npcand 11582 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3029fveq2d 6895 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
3124, 30sseqtrrd 4023 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
32 fznuz 13590 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3332adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3431, 33ssneldd 3985 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
3523, 34eldifd 3959 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
36 fveqeq2 6900 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑛) = 1))
37 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
38 eldifn 4127 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
3938, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
4039, 13eqeltrdi 2840 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
4116fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
4237, 40, 41syl2anc 583 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
4342, 39eqtrd 2771 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
4436, 43vtoclga 3566 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑛) = 1)
4535, 44syl 17 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 1)
462, 3, 5, 21, 45seqid 14020 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cdif 3945  wss 3948  ifcif 4528  cmpt 5231  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cmin 11451  cz 12565  cuz 12829  ...cfz 13491  seqcseq 13973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974
This theorem is referenced by:  prodrblem2  15882
  Copyright terms: Public domain W3C validator