![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > expp1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. When ๐ด is nonzero, this holds for all integers ๐, see expneg 14035. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
expp1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12474 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | seqp1 13981 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (โคโฅโ1) โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)))) | |
3 | nnuz 12865 | . . . . . . 7 โข โ = (โคโฅโ1) | |
4 | 2, 3 | eleq2s 2852 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)))) |
5 | 4 | adantl 483 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)))) |
6 | peano2nn 12224 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ (๐ + 1) โ โ) | |
7 | fvconst2g 7203 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง (๐ + 1) โ โ) โ ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)) = ๐ด) | |
8 | 6, 7 | sylan2 594 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)) = ๐ด) |
9 | 8 | oveq2d 7425 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1))) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ๐ด)) |
10 | 5, 9 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ๐ด)) |
11 | expnnval 14030 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (๐ + 1) โ โ) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1))) | |
12 | 6, 11 | sylan2 594 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1))) |
13 | expnnval 14030 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ดโ๐) = (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐)) | |
14 | 13 | oveq1d 7424 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ดโ๐) ยท ๐ด) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ๐ด)) |
15 | 10, 12, 14 | 3eqtr4d 2783 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
16 | exp1 14033 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ1) = ๐ด) | |
17 | mullid 11213 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) | |
18 | 16, 17 | eqtr4d 2776 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ1) = (1 ยท ๐ด)) |
19 | 18 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ1) = (1 ยท ๐ด)) |
20 | simpr 486 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ ๐ = 0) | |
21 | 20 | oveq1d 7424 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ + 1) = (0 + 1)) |
22 | 0p1e1 12334 | . . . . . 6 โข (0 + 1) = 1 | |
23 | 21, 22 | eqtrdi 2789 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ + 1) = 1) |
24 | 23 | oveq2d 7425 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = (๐ดโ1)) |
25 | oveq2 7417 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (๐ดโ๐) = (๐ดโ0)) | |
26 | exp0 14031 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ0) = 1) | |
27 | 25, 26 | sylan9eqr 2795 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ๐) = 1) |
28 | 27 | oveq1d 7424 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ ((๐ดโ๐) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด)) |
29 | 19, 24, 28 | 3eqtr4d 2783 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
30 | 15, 29 | jaodan 957 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
31 | 1, 30 | sylan2b 595 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โจ wo 846 = wceq 1542 โ wcel 2107 {csn 4629 ร cxp 5675 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โcc 11108 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 ยท cmul 11115 โcn 12212 โ0cn0 12472 โคโฅcuz 12822 seqcseq 13966 โcexp 14027 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-nn 12213 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-seq 13967 df-exp 14028 |
This theorem is referenced by: expcllem 14038 expm1t 14056 expeq0 14058 mulexp 14067 expadd 14070 expmul 14073 sqval 14080 expp1d 14112 leexp2r 14139 leexp1a 14140 cu2 14164 i3 14167 binom3 14187 bernneq 14192 modexp 14201 faclbnd 14250 faclbnd2 14251 faclbnd4lem1 14253 faclbnd6 14259 cjexp 15097 absexp 15251 binomlem 15775 climcndslem1 15795 climcndslem2 15796 pwdif 15814 geolim 15816 geo2sum 15819 efexp 16044 demoivreALT 16144 rpnnen2lem11 16167 pwp1fsum 16334 prmdvdsexp 16652 pcexp 16792 prmreclem6 16854 decexp2 17008 numexpp1 17011 2exp7 17021 cnfldexp 20978 expcn 24388 mbfi1fseqlem5 25237 dvexp 25470 aaliou3lem2 25856 tangtx 26015 cxpmul2 26197 mcubic 26352 cubic2 26353 binom4 26355 dquartlem2 26357 quart1lem 26360 quart1 26361 quartlem1 26362 log2cnv 26449 log2ublem2 26452 log2ub 26454 basellem3 26587 chtublem 26714 perfectlem1 26732 perfectlem2 26733 bclbnd 26783 bposlem8 26794 dchrisum0flblem1 27011 pntlemo 27110 qabvexp 27129 psgnfzto1st 32264 oddpwdc 33353 hgt750lem 33663 subfacval2 34178 sinccvglem 34657 gg-expcn 35164 heiborlem6 36684 bfplem1 36690 3lexlogpow5ineq1 40919 perfectALTVlem1 46389 perfectALTVlem2 46390 altgsumbcALT 47029 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |