Theorem expp1 14078

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. When 𝐴 is nonzero, this holds for all integers 𝑁, see expneg 14079. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
expp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12480	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		seqp1 14026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3		nnuz 12875	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	eleq2s 2879	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
5	4	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6		peano2nn 12219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7		fvconst2g 7182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
8	6, 7	sylan2 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
9	8	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
10	5, 9	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11		expnnval 14074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
12	6, 11	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13		expnnval 14074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14	13	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
15	10, 12, 14	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
16		exp1 14077	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17		mullid 11177	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
21	20	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 12335	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
24	23	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
26		exp0 14075	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
27	25, 26	sylan9eqr 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
28	27	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
29	19, 24, 28	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
30	15, 29	jaodan 970	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
31	1, 30	sylan2b 603	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ℤ_≥cuz 12836  seqcseq 14011  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  expcllem  14082  expm1t  14100  expeq0  14102  mulexp  14111  expadd  14114  expmul  14117  sqval  14124  expp1d  14157  leexp2r  14184  leexp1a  14185  cu2  14210  i3  14213  binom3  14234  bernneq  14239  modexp  14248  faclbnd  14300  faclbnd2  14301  faclbnd4lem1  14303  faclbnd6  14309  cjexp  15160  absexp  15314  binomlem  15842  climcndslem1  15862  climcndslem2  15863  pwdif  15881  geolim  15883  geo2sum  15886  efexp  16116  demoivreALT  16216  rpnnen2lem11  16239  pwp1fsum  16408  prmdvdsexp  16733  pcexp  16878  prmreclem6  16940  numexpp1  17096  2exp7  17106  cnfldexp  21437  expcn  24914  mbfi1fseqlem5  25761  dvexp  25995  aaliou3lem2  26384  tangtx  26547  cxpmul2  26731  mcubic  26889  cubic2  26890  binom4  26892  dquartlem2  26894  quart1lem  26897  quart1  26898  quartlem1  26899  log2cnv  26986  log2ublem2  26989  log2ub  26991  basellem3  27124  chtublem  27252  perfectlem1  27270  perfectlem2  27271  bclbnd  27321  bposlem8  27332  dchrisum0flblem1  27549  pntlemo  27648  qabvexp  27667  psgnfzto1st  33246  oddpwdc  34612  hgt750lem  34909  subfacval2  35501  sinccvglem  35986  heiborlem6  38279  bfplem1  38285  3lexlogpow5ineq1  42635  perfectALTVlem1  48307  perfectALTVlem2  48308  altgsumbcALT  48939