![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > expp1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. When ๐ด is nonzero, this holds for all integers ๐, see expneg 13981. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
expp1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12420 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | seqp1 13927 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (โคโฅโ1) โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)))) | |
3 | nnuz 12811 | . . . . . . 7 โข โ = (โคโฅโ1) | |
4 | 2, 3 | eleq2s 2852 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)))) |
5 | 4 | adantl 483 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)))) |
6 | peano2nn 12170 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ (๐ + 1) โ โ) | |
7 | fvconst2g 7152 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง (๐ + 1) โ โ) โ ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)) = ๐ด) | |
8 | 6, 7 | sylan2 594 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1)) = ๐ด) |
9 | 8 | oveq2d 7374 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ((โ ร {๐ด})โ(๐ + 1))) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ๐ด)) |
10 | 5, 9 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ๐ด)) |
11 | expnnval 13976 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (๐ + 1) โ โ) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1))) | |
12 | 6, 11 | sylan2 594 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ(๐ + 1))) |
13 | expnnval 13976 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ดโ๐) = (seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐)) | |
14 | 13 | oveq1d 7373 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ดโ๐) ยท ๐ด) = ((seq1( ยท , (โ ร {๐ด}))โ๐) ยท ๐ด)) |
15 | 10, 12, 14 | 3eqtr4d 2783 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
16 | exp1 13979 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ1) = ๐ด) | |
17 | mulid2 11159 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) | |
18 | 16, 17 | eqtr4d 2776 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ1) = (1 ยท ๐ด)) |
19 | 18 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ1) = (1 ยท ๐ด)) |
20 | simpr 486 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ ๐ = 0) | |
21 | 20 | oveq1d 7373 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ + 1) = (0 + 1)) |
22 | 0p1e1 12280 | . . . . . 6 โข (0 + 1) = 1 | |
23 | 21, 22 | eqtrdi 2789 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ + 1) = 1) |
24 | 23 | oveq2d 7374 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = (๐ดโ1)) |
25 | oveq2 7366 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (๐ดโ๐) = (๐ดโ0)) | |
26 | exp0 13977 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ0) = 1) | |
27 | 25, 26 | sylan9eqr 2795 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ๐) = 1) |
28 | 27 | oveq1d 7373 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ ((๐ดโ๐) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด)) |
29 | 19, 24, 28 | 3eqtr4d 2783 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ = 0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
30 | 15, 29 | jaodan 957 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
31 | 1, 30 | sylan2b 595 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ดโ(๐ + 1)) = ((๐ดโ๐) ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โจ wo 846 = wceq 1542 โ wcel 2107 {csn 4587 ร cxp 5632 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11054 0cc0 11056 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 โcn 12158 โ0cn0 12418 โคโฅcuz 12768 seqcseq 13912 โcexp 13973 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-nn 12159 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-seq 13913 df-exp 13974 |
This theorem is referenced by: expcllem 13984 expm1t 14002 expeq0 14004 mulexp 14013 expadd 14016 expmul 14019 sqval 14026 expp1d 14058 leexp2r 14085 leexp1a 14086 cu2 14110 i3 14113 binom3 14133 bernneq 14138 modexp 14147 faclbnd 14196 faclbnd2 14197 faclbnd4lem1 14199 faclbnd6 14205 cjexp 15041 absexp 15195 binomlem 15719 climcndslem1 15739 climcndslem2 15740 pwdif 15758 geolim 15760 geo2sum 15763 efexp 15988 demoivreALT 16088 rpnnen2lem11 16111 pwp1fsum 16278 prmdvdsexp 16596 pcexp 16736 prmreclem6 16798 decexp2 16952 numexpp1 16955 2exp7 16965 cnfldexp 20846 expcn 24251 mbfi1fseqlem5 25100 dvexp 25333 aaliou3lem2 25719 tangtx 25878 cxpmul2 26060 mcubic 26213 cubic2 26214 binom4 26216 dquartlem2 26218 quart1lem 26221 quart1 26222 quartlem1 26223 log2cnv 26310 log2ublem2 26313 log2ub 26315 basellem3 26448 chtublem 26575 perfectlem1 26593 perfectlem2 26594 bclbnd 26644 bposlem8 26655 dchrisum0flblem1 26872 pntlemo 26971 qabvexp 26990 psgnfzto1st 32003 oddpwdc 33011 hgt750lem 33321 subfacval2 33838 sinccvglem 34317 heiborlem6 36321 bfplem1 36327 3lexlogpow5ineq1 40557 perfectALTVlem1 45999 perfectALTVlem2 46000 altgsumbcALT 46515 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |