Theorem expp1 14214

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. When 𝐴 is nonzero, this holds for all integers 𝑁, see expneg 14215. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
expp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12611	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		seqp1 14162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3		nnuz 13007	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	eleq2s 2878	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6		peano2nn 12350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7		fvconst2g 7208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
8	6, 7	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
9	8	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
10	5, 9	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11		expnnval 14210	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
12	6, 11	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13		expnnval 14210	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14	13	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
15	10, 12, 14	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
16		exp1 14213	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17		mullid 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
21	20	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 12466	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
24	23	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
26		exp0 14211	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
27	25, 26	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
28	27	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
29	19, 24, 28	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
30	15, 29	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
31	1, 30	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ℤ_≥cuz 12968  seqcseq 14147  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  expcllem  14218  expm1t  14236  expeq0  14238  mulexp  14247  expadd  14250  expmul  14253  sqval  14260  expp1d  14293  leexp2r  14320  leexp1a  14321  cu2  14346  i3  14350  binom3  14371  bernneq  14376  modexp  14385  faclbnd  14437  faclbnd2  14438  faclbnd4lem1  14440  faclbnd6  14446  cjexp  15322  absexp  15476  binomlem  16003  climcndslem1  16023  climcndslem2  16024  pwdif  16042  geolim  16044  geo2sum  16047  efexp  16274  demoivreALT  16374  rpnnen2lem11  16397  pwp1fsum  16566  prmdvdsexp  16896  pcexp  17042  prmreclem6  17104  numexpp1  17260  2exp7  17270  cnfldexp  21716  expcn  25198  mbfi1fseqlem5  26045  dvexp  26278  aaliou3lem2  26675  tangtx  26839  cxpmul2  27022  mcubic  27180  cubic2  27181  binom4  27183  dquartlem2  27185  quart1lem  27188  quart1  27189  quartlem1  27190  log2cnv  27277  log2ublem2  27280  log2ub  27282  basellem3  27415  chtublem  27543  perfectlem1  27561  perfectlem2  27562  bclbnd  27612  bposlem8  27623  dchrisum0flblem1  27840  pntlemo  27939  qabvexp  27958  psgnfzto1st  33712  oddpwdc  35032  hgt750lem  35326  subfacval2  36038  sinccvglem  36523  heiborlem6  38843  bfplem1  38849  3lexlogpow5ineq1  43197  goldpolyfactor  48020  perfectALTVlem1  48912  perfectALTVlem2  48913  altgsumbcALT  49558