MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expp1 13642
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 12092 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 seqp1 13589 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3 nnuz 12477 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3eleq2s 2856 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
54adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6 peano2nn 11842 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7 fvconst2g 7017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
86, 7sylan2 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
98oveq2d 7229 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
105, 9eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11 expnnval 13638 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
126, 11sylan2 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13 expnnval 13638 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
1413oveq1d 7228 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
1510, 12, 143eqtr4d 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
16 exp1 13641 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17 mulid2 10832 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1816, 17eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
1918adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2120oveq1d 7228 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 11952 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2321, 22eqtrdi 2794 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
2423oveq2d 7229 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25 oveq2 7221 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
26 exp0 13639 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2725, 26sylan9eqr 2800 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
2827oveq1d 7228 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
2919, 24, 283eqtr4d 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
3015, 29jaodan 958 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
311, 30sylan2b 597 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  {csn 4541   × cxp 5549  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cn 11830  0cn0 12090  cuz 12438  seqcseq 13574  cexp 13635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636
This theorem is referenced by:  expcllem  13646  expm1t  13663  expeq0  13665  mulexp  13674  expadd  13677  expmul  13680  sqval  13687  expp1d  13717  leexp2r  13744  leexp1a  13745  cu2  13769  i3  13772  binom3  13791  bernneq  13796  modexp  13805  faclbnd  13856  faclbnd2  13857  faclbnd4lem1  13859  faclbnd6  13865  cjexp  14713  absexp  14868  binomlem  15393  climcndslem1  15413  climcndslem2  15414  pwdif  15432  geolim  15434  geo2sum  15437  efexp  15662  demoivreALT  15762  rpnnen2lem11  15785  pwp1fsum  15952  prmdvdsexp  16272  pcexp  16412  prmreclem6  16474  decexp2  16628  numexpp1  16631  2exp7  16641  cnfldexp  20396  expcn  23769  mbfi1fseqlem5  24617  dvexp  24850  aaliou3lem2  25236  tangtx  25395  cxpmul2  25577  mcubic  25730  cubic2  25731  binom4  25733  dquartlem2  25735  quart1lem  25738  quart1  25739  quartlem1  25740  log2cnv  25827  log2ublem2  25830  log2ub  25832  basellem3  25965  chtublem  26092  perfectlem1  26110  perfectlem2  26111  bclbnd  26161  bposlem8  26172  dchrisum0flblem1  26389  pntlemo  26488  qabvexp  26507  psgnfzto1st  31091  oddpwdc  32033  hgt750lem  32343  subfacval2  32862  sinccvglem  33343  heiborlem6  35711  bfplem1  35717  3lexlogpow5ineq1  39796  perfectALTVlem1  44846  perfectALTVlem2  44847  altgsumbcALT  45362
  Copyright terms: Public domain W3C validator