MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expp1 13980
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. When ๐ด is nonzero, this holds for all integers ๐‘, see expneg 13981. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))

Proof of Theorem expp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 12420 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 seqp1 13927 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1))))
3 nnuz 12811 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
42, 3eleq2s 2852 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1))))
54adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1))))
6 peano2nn 12170 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
7 fvconst2g 7152 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1)) = ๐ด)
86, 7sylan2 594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1)) = ๐ด)
98oveq2d 7374 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘ + 1))) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ๐ด))
105, 9eqtrd 2773 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ๐ด))
11 expnnval 13976 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)))
126, 11sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘ + 1)))
13 expnnval 13976 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
1413oveq1d 7373 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) = ((seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) ยท ๐ด))
1510, 12, 143eqtr4d 2783 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
16 exp1 13979 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
17 mulid2 11159 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
1816, 17eqtr4d 2776 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = (1 ยท ๐ด))
1918adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘1) = (1 ยท ๐ด))
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
2120oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 12280 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2321, 22eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ + 1) = 1)
2423oveq2d 7374 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = (๐ดโ†‘1))
25 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
26 exp0 13977 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2725, 26sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = 1)
2827oveq1d 7373 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
2919, 24, 283eqtr4d 2783 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
3015, 29jaodan 957 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
311, 30sylan2b 595 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4587   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คโ‰ฅcuz 12768  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-exp 13974
This theorem is referenced by:  expcllem  13984  expm1t  14002  expeq0  14004  mulexp  14013  expadd  14016  expmul  14019  sqval  14026  expp1d  14058  leexp2r  14085  leexp1a  14086  cu2  14110  i3  14113  binom3  14133  bernneq  14138  modexp  14147  faclbnd  14196  faclbnd2  14197  faclbnd4lem1  14199  faclbnd6  14205  cjexp  15041  absexp  15195  binomlem  15719  climcndslem1  15739  climcndslem2  15740  pwdif  15758  geolim  15760  geo2sum  15763  efexp  15988  demoivreALT  16088  rpnnen2lem11  16111  pwp1fsum  16278  prmdvdsexp  16596  pcexp  16736  prmreclem6  16798  decexp2  16952  numexpp1  16955  2exp7  16965  cnfldexp  20846  expcn  24251  mbfi1fseqlem5  25100  dvexp  25333  aaliou3lem2  25719  tangtx  25878  cxpmul2  26060  mcubic  26213  cubic2  26214  binom4  26216  dquartlem2  26218  quart1lem  26221  quart1  26222  quartlem1  26223  log2cnv  26310  log2ublem2  26313  log2ub  26315  basellem3  26448  chtublem  26575  perfectlem1  26593  perfectlem2  26594  bclbnd  26644  bposlem8  26655  dchrisum0flblem1  26872  pntlemo  26971  qabvexp  26990  psgnfzto1st  32003  oddpwdc  33011  hgt750lem  33321  subfacval2  33838  sinccvglem  34317  heiborlem6  36321  bfplem1  36327  3lexlogpow5ineq1  40557  perfectALTVlem1  45999  perfectALTVlem2  46000  altgsumbcALT  46515
  Copyright terms: Public domain W3C validator