MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expp1 13074
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11540 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 seqp1 13023 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3 nnuz 11923 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3eleq2s 2862 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
54adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6 peano2nn 11288 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7 fvconst2g 6660 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
86, 7sylan2 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
98oveq2d 6858 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
105, 9eqtrd 2799 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11 expnnval 13070 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
126, 11sylan2 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13 expnnval 13070 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
1413oveq1d 6857 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
1510, 12, 143eqtr4d 2809 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
16 exp1 13073 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17 mulid2 10292 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1816, 17eqtr4d 2802 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
1918adantr 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2120oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 11401 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2321, 22syl6eq 2815 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
2423oveq2d 6858 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
26 exp0 13071 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2725, 26sylan9eqr 2821 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
2827oveq1d 6857 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
2919, 24, 283eqtr4d 2809 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
3015, 29jaodan 980 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
311, 30sylan2b 587 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  {csn 4334   × cxp 5275  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cn 11274  0cn0 11538  cuz 11886  seqcseq 13008  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  expcllem  13078  expm1t  13095  expeq0  13097  mulexp  13106  expadd  13109  expmul  13112  leexp2r  13125  leexp1a  13126  sqval  13129  cu2  13170  i3  13173  binom3  13192  bernneq  13197  modexp  13206  expp1d  13216  faclbnd  13281  faclbnd2  13282  faclbnd4lem1  13284  faclbnd6  13290  cjexp  14177  absexp  14331  binomlem  14847  climcndslem1  14867  climcndslem2  14868  geolim  14887  geo2sum  14890  efexp  15115  demoivreALT  15215  rpnnen2lem11  15237  pwp1fsum  15398  prmdvdsexp  15708  pcexp  15845  prmreclem6  15906  decexp2  16060  numexpp1  16063  cnfldexp  20052  expcn  22954  mbfi1fseqlem5  23777  dvexp  24007  aaliou3lem2  24389  tangtx  24549  cxpmul2  24726  mcubic  24865  cubic2  24866  binom4  24868  dquartlem2  24870  quart1lem  24873  quart1  24874  quartlem1  24875  log2cnv  24962  log2ublem2  24965  log2ub  24967  basellem3  25100  chtublem  25227  perfectlem1  25245  perfectlem2  25246  bclbnd  25296  bposlem8  25307  dchrisum0flblem1  25488  pntlemo  25587  qabvexp  25606  psgnfzto1st  30237  oddpwdc  30798  hgt750lem  31112  subfacval2  31549  sinccvglem  31944  heiborlem6  33969  bfplem1  33975  pwdif  42109  2exp7  42122  perfectALTVlem1  42238  perfectALTVlem2  42239  altgsumbcALT  42732
  Copyright terms: Public domain W3C validator