Theorem expp1 13975

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. When 𝐴 is nonzero, this holds for all integers 𝑁, see expneg 13976. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
expp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12383	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		seqp1 13923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3		nnuz 12775	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	eleq2s 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6		peano2nn 12137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7		fvconst2g 7136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
9	8	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
10	5, 9	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11		expnnval 13971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
12	6, 11	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13		expnnval 13971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14	13	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
15	10, 12, 14	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
16		exp1 13974	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17		mullid 11111	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
21	20	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 12242	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
24	23	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
26		exp0 13972	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
27	25, 26	sylan9eqr 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
28	27	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
29	19, 24, 28	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
30	15, 29	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
31	1, 30	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4576   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤ_≥cuz 12732  seqcseq 13908  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  expcllem  13979  expm1t  13997  expeq0  13999  mulexp  14008  expadd  14011  expmul  14014  sqval  14021  expp1d  14054  leexp2r  14081  leexp1a  14082  cu2  14107  i3  14110  binom3  14131  bernneq  14136  modexp  14145  faclbnd  14197  faclbnd2  14198  faclbnd4lem1  14200  faclbnd6  14206  cjexp  15057  absexp  15211  binomlem  15736  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  pwdif  15775  geolim  15777  geo2sum  15780  efexp  16010  demoivreALT  16110  rpnnen2lem11  16133  pwp1fsum  16302  prmdvdsexp  16626  pcexp  16771  prmreclem6  16833  numexpp1  16989  2exp7  16999  cnfldexp  21342  expcn  24791  expcnOLD  24793  mbfi1fseqlem5  25648  dvexp  25885  aaliou3lem2  26279  tangtx  26442  cxpmul2  26626  mcubic  26785  cubic2  26786  binom4  26788  dquartlem2  26790  quart1lem  26793  quart1  26794  quartlem1  26795  log2cnv  26882  log2ublem2  26885  log2ub  26887  basellem3  27021  chtublem  27150  perfectlem1  27168  perfectlem2  27169  bclbnd  27219  bposlem8  27230  dchrisum0flblem1  27447  pntlemo  27546  qabvexp  27565  psgnfzto1st  33072  oddpwdc  34365  hgt750lem  34662  subfacval2  35229  sinccvglem  35714  heiborlem6  37862  bfplem1  37868  3lexlogpow5ineq1  42093  perfectALTVlem1  47758  perfectALTVlem2  47759  altgsumbcALT  48390