Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosax 44257
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11143 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))
3 cosf 16015 . . . . . . . 8 cos:β„‚βŸΆβ„‚
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ cos:β„‚βŸΆβ„‚)
54feqmptd 6914 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ cos = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘¦)))
6 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 Β· π‘₯) β†’ (cosβ€˜π‘¦) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
71, 2, 5, 6fmptco 7079 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
87eqcomd 2739 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))
98oveq2d 7377 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (β„‚ D (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
10 cnelprrecn 11152 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
1110a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
121fmpttd 7067 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
13 dvcos 25370 . . . . . . 7 (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))
1413dmeqi 5864 . . . . . 6 dom (β„‚ D cos) = dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))
15 dmmptg 6198 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)) = β„‚)
16 sincl 16016 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716negcld 11507 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1815, 17mprg 3067 . . . . . 6 dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)) = β„‚
1914, 18eqtri 2761 . . . . 5 dom (β„‚ D cos) = β„‚
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D cos) = β„‚)
21 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 0red 11166 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ℝ)
23 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2411, 23dvmptc 25345 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0))
25 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
26 1red 11164 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ ℝ)
2711dvmptid 25344 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
2811, 21, 22, 24, 25, 26, 27dvmptmul 25348 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))))
2928dmeqd 5865 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))))
30 dmmptg 6198 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))) = β„‚)
31 ovex 7394 . . . . . . 7 ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) ∈ V)
3330, 32mprg 3067 . . . . 5 dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))) = β„‚
3429, 33eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = β„‚)
3511, 11, 4, 12, 20, 34dvcof 25335 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
36 dvcos 25370 . . . . . . 7 (β„‚ D cos) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘¦))
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D cos) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘¦)))
38 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 Β· π‘₯) β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
3938negeqd 11403 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 Β· π‘₯) β†’ -(sinβ€˜π‘¦) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
401, 2, 37, 39fmptco 7079 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
4140oveq1d 7376 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
42 cnex 11140 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
4342mptex 7177 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V
44 ovex 7394 . . . . . 6 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V
45 offval3 7919 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V ∧ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦))))
4643, 44, 45mp2an 691 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)))
4746a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦))))
481sincld 16020 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
4948negcld 11507 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
5049ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
51 dmmptg 6198 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = β„‚)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = β„‚)
5352, 34ineq12d 4177 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (β„‚ ∩ β„‚))
54 inidm 4182 . . . . . 6 (β„‚ ∩ β„‚) = β„‚
5553, 54eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = β„‚)
56 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
5755adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = β„‚)
5856, 57eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
59 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
60 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 𝑦))
6160fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6261negeqd 11403 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6362adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
64 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
65 negex 11407 . . . . . . . . . . 11 -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V)
6759, 63, 64, 66fvmptd 6959 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6867adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6928adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))))
70 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (0 Β· π‘₯) = (0 Β· 𝑦))
7170oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) = ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)))
72 mul02 11341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝑦) = 0)
73 mulid2 11162 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
7472, 73oveqan12rd 7381 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = (0 + 𝐴))
75 addid2 11346 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 + 𝐴) = 𝐴)
7675adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 + 𝐴) = 𝐴)
7774, 76eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = 𝐴)
7871, 77sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) = 𝐴)
79 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
80 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8169, 78, 79, 80fvmptd 6959 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = 𝐴)
8268, 81oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (-(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴))
83 mulcl 11143 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
8483sincld 16020 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
8584negcld 11507 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
8685, 80mulcomd 11184 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (-(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
8782, 86eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
8858, 87syldan 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
8955, 88mpteq12dva 5198 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
9041, 47, 893eqtrd 2777 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
919, 35, 903eqtrd 2777 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
92 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· π‘₯))
9392fveq2d 6850 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
9493negeqd 11403 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
9594oveq2d 7377 . . 3 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
9695cbvmptv 5222 . 2 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
9791, 96eqtrdi 2789 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   ∩ cin 3913  {cpr 4592   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  -cneg 11394  sincsin 15954  cosccos 15955   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  44305
  Copyright terms: Public domain W3C validator