Theorem dvcosax 44157

Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvcosax	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcosax

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))
3		cosf 16007	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → cos:ℂ⟶ℂ)
5	4	feqmptd 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
6		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
7	1, 2, 5, 6	fmptco 7075	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))))
8	7	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))) = (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))
9	8	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
10		cnelprrecn 11144	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12	1	fmpttd 7063	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
13		dvcos 25347	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
14	13	dmeqi 5860	. . . . . 6 ⊢ dom (ℂ D cos) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
15		dmmptg 6194	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘𝑥) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ)
16		sincl 16008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	negcld 11499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
18	15, 17	mprg 3070	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ
19	14, 18	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ dom (ℂ D cos) = ℂ
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D cos) = ℂ)
21		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		0red 11158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
23		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
24	11, 23	dvmptc 25322	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
25		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
26		1red 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
27	11	dvmptid 25321	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
28	11, 21, 22, 24, 25, 26, 27	dvmptmul 25325	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
29	28	dmeqd 5861	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
30		dmmptg 6194	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ)
31		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V)
33	30, 32	mprg 3070	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ
34	29, 33	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
35	11, 11, 4, 12, 20, 34	dvcof 25312	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
36		dvcos 25347	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦))
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦)))
38		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
39	38	negeqd 11395	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
40	1, 2, 37, 39	fmptco 7075	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
41	40	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
42		cnex 11132	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
43	42	mptex 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V
44		ovex 7390	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V
45		offval3 7915	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
46	43, 44, 45	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)))
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
48	1	sincld 16012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
49	48	negcld 11499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
50	49	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
51		dmmptg 6194	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
53	52, 34	ineq12d 4173	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ ∩ ℂ))
54		inidm 4178	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
55	53, 54	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
56		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
57	55	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
58	56, 57	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
60		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
61	60	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
62	61	negeqd 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 𝑦) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
64		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65		negex 11399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
67	59, 63, 64, 66	fvmptd 6955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
68	67	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
69	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
70		oveq2 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 · 𝑥) = (0 · 𝑦))
71	70	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)))
72		mul02 11333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0 · 𝑦) = 0)
73		mulid2 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
74	72, 73	oveqan12rd 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
75		addid2 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
77	74, 76	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
78	71, 77	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
79		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
80		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
81	69, 78, 79, 80	fvmptd 6955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = 𝐴)
82	68, 81	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴))
83		mulcl 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
84	83	sincld 16012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
85	84	negcld 11499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
86	85, 80	mulcomd 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
87	82, 86	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
88	58, 87	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
89	55, 88	mpteq12dva 5194	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
90	41, 47, 89	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
91	9, 35, 90	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
92		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
93	92	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
94	93	negeqd 11395	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
95	94	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
96	95	cbvmptv 5218	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
97	91, 96	eqtrdi 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∩ cin 3909  {cpr 4588   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386  sincsin 15946  cosccos 15947   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  itgsincmulx  44205