Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosax 45941
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11239 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))
3 cosf 16161 . . . . . . . 8 cos:ℂ⟶ℂ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → cos:ℂ⟶ℂ)
54feqmptd 6977 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
6 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
71, 2, 5, 6fmptco 7149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))))
87eqcomd 2743 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))) = (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))
98oveq2d 7447 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
10 cnelprrecn 11248 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
121fmpttd 7135 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
13 dvcos 26021 . . . . . . 7 (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
1413dmeqi 5915 . . . . . 6 dom (ℂ D cos) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
15 dmmptg 6262 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘𝑥) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ)
16 sincl 16162 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1716negcld 11607 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1815, 17mprg 3067 . . . . . 6 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ
1914, 18eqtri 2765 . . . . 5 dom (ℂ D cos) = ℂ
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D cos) = ℂ)
21 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 0red 11264 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
23 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2411, 23dvmptc 25996 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
25 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
26 1red 11262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
2711dvmptid 25995 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
2811, 21, 22, 24, 25, 26, 27dvmptmul 25999 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
2928dmeqd 5916 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
30 dmmptg 6262 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℂ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ)
31 ovex 7464 . . . . . . 7 ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V)
3330, 32mprg 3067 . . . . 5 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ
3429, 33eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
3511, 11, 4, 12, 20, 34dvcof 25986 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
36 dvcos 26021 . . . . . . 7 (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦))
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦)))
38 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
3938negeqd 11502 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
401, 2, 37, 39fmptco 7149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
4140oveq1d 7446 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
42 cnex 11236 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
4342mptex 7243 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V
44 ovex 7464 . . . . . 6 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V
45 offval3 8007 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
4643, 44, 45mp2an 692 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)))
4746a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
481sincld 16166 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
4948negcld 11607 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5049ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
51 dmmptg 6262 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
5352, 34ineq12d 4221 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ ∩ ℂ))
54 inidm 4227 . . . . . 6 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
5553, 54eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
56 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
5755adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
5856, 57eleqtrd 2843 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
60 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
6160fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6261negeqd 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6362adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 𝑦) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
64 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65 negex 11506 . . . . . . . . . . 11 -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
6759, 63, 64, 66fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6867adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
70 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (0 · 𝑥) = (0 · 𝑦))
7170oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)))
72 mul02 11439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (0 · 𝑦) = 0)
73 mullid 11260 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
7472, 73oveqan12rd 7451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
75 addlid 11444 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7774, 76eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
7871, 77sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
79 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
80 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8169, 78, 79, 80fvmptd 7023 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = 𝐴)
8268, 81oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴))
83 mulcl 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
8483sincld 16166 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8584negcld 11607 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8685, 80mulcomd 11282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8782, 86eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8858, 87syldan 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8955, 88mpteq12dva 5231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
9041, 47, 893eqtrd 2781 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
919, 35, 903eqtrd 2781 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
92 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
9392fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
9493negeqd 11502 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
9594oveq2d 7447 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
9695cbvmptv 5255 . 2 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
9791, 96eqtrdi 2793 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cin 3950  {cpr 4628  cmpt 5225  dom cdm 5685  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493  sincsin 16099  cosccos 16100   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  45989
  Copyright terms: Public domain W3C validator