Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosax 45195
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11193 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2 eqidd 2727 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))
3 cosf 16073 . . . . . . . 8 cos:β„‚βŸΆβ„‚
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ cos:β„‚βŸΆβ„‚)
54feqmptd 6953 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ cos = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘¦)))
6 fveq2 6884 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 Β· π‘₯) β†’ (cosβ€˜π‘¦) = (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
71, 2, 5, 6fmptco 7122 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
87eqcomd 2732 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))
98oveq2d 7420 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (β„‚ D (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
10 cnelprrecn 11202 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
1110a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
121fmpttd 7109 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
13 dvcos 25866 . . . . . . 7 (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))
1413dmeqi 5897 . . . . . 6 dom (β„‚ D cos) = dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))
15 dmmptg 6234 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)) = β„‚)
16 sincl 16074 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716negcld 11559 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1815, 17mprg 3061 . . . . . 6 dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)) = β„‚
1914, 18eqtri 2754 . . . . 5 dom (β„‚ D cos) = β„‚
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D cos) = β„‚)
21 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 0red 11218 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ℝ)
23 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2411, 23dvmptc 25841 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0))
25 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
26 1red 11216 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ ℝ)
2711dvmptid 25840 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
2811, 21, 22, 24, 25, 26, 27dvmptmul 25844 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))))
2928dmeqd 5898 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))))
30 dmmptg 6234 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))) = β„‚)
31 ovex 7437 . . . . . . 7 ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) ∈ V)
3330, 32mprg 3061 . . . . 5 dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))) = β„‚
3429, 33eqtrdi 2782 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = β„‚)
3511, 11, 4, 12, 20, 34dvcof 25831 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (cos ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
36 dvcos 25866 . . . . . . 7 (β„‚ D cos) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘¦))
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D cos) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘¦)))
38 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 Β· π‘₯) β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
3938negeqd 11455 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 Β· π‘₯) β†’ -(sinβ€˜π‘¦) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
401, 2, 37, 39fmptco 7122 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
4140oveq1d 7419 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
42 cnex 11190 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
4342mptex 7219 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V
44 ovex 7437 . . . . . 6 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V
45 offval3 7965 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V ∧ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦))))
4643, 44, 45mp2an 689 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)))
4746a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦))))
481sincld 16078 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
4948negcld 11559 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
5049ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
51 dmmptg 6234 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = β„‚)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = β„‚)
5352, 34ineq12d 4208 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (β„‚ ∩ β„‚))
54 inidm 4213 . . . . . 6 (β„‚ ∩ β„‚) = β„‚
5553, 54eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = β„‚)
56 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))))
5755adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = β„‚)
5856, 57eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
59 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
60 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 𝑦))
6160fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6261negeqd 11455 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6362adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
64 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
65 negex 11459 . . . . . . . . . . 11 -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V)
6759, 63, 64, 66fvmptd 6998 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6867adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
6928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴))))
70 oveq2 7412 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (0 Β· π‘₯) = (0 Β· 𝑦))
7170oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) = ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)))
72 mul02 11393 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝑦) = 0)
73 mullid 11214 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
7472, 73oveqan12rd 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = (0 + 𝐴))
75 addlid 11398 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 + 𝐴) = 𝐴)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 + 𝐴) = 𝐴)
7774, 76eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = 𝐴)
7871, 77sylan9eqr 2788 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝐴)) = 𝐴)
79 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
80 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8169, 78, 79, 80fvmptd 6998 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) = 𝐴)
8268, 81oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (-(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴))
83 mulcl 11193 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
8483sincld 16078 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
8584negcld 11559 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
8685, 80mulcomd 11236 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (-(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
8782, 86eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
8858, 87syldan 590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))))) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦)) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
8955, 88mpteq12dva 5230 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∩ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) ↦ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦) Β· ((β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
9041, 47, 893eqtrd 2770 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D cos) ∘ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))) ∘f Β· (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
919, 35, 903eqtrd 2770 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
92 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· π‘₯))
9392fveq2d 6888 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
9493negeqd 11455 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
9594oveq2d 7420 . . 3 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
9695cbvmptv 5254 . 2 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))))
9791, 96eqtrdi 2782 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· -(sinβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   ∩ cin 3942  {cpr 4625   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  -cneg 11446  sincsin 16011  cosccos 16012   D cdv 25743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  45243
  Copyright terms: Public domain W3C validator