Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosax 44157
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))
3 cosf 16007 . . . . . . . 8 cos:ℂ⟶ℂ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → cos:ℂ⟶ℂ)
54feqmptd 6910 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
6 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
71, 2, 5, 6fmptco 7075 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))))
87eqcomd 2742 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))) = (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))
98oveq2d 7373 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
10 cnelprrecn 11144 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
121fmpttd 7063 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
13 dvcos 25347 . . . . . . 7 (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
1413dmeqi 5860 . . . . . 6 dom (ℂ D cos) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
15 dmmptg 6194 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘𝑥) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ)
16 sincl 16008 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1716negcld 11499 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1815, 17mprg 3070 . . . . . 6 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ
1914, 18eqtri 2764 . . . . 5 dom (ℂ D cos) = ℂ
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D cos) = ℂ)
21 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 0red 11158 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
23 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2411, 23dvmptc 25322 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
25 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
26 1red 11156 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
2711dvmptid 25321 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
2811, 21, 22, 24, 25, 26, 27dvmptmul 25325 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
2928dmeqd 5861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
30 dmmptg 6194 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℂ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ)
31 ovex 7390 . . . . . . 7 ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V)
3330, 32mprg 3070 . . . . 5 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ
3429, 33eqtrdi 2792 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
3511, 11, 4, 12, 20, 34dvcof 25312 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
36 dvcos 25347 . . . . . . 7 (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦))
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦)))
38 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
3938negeqd 11395 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
401, 2, 37, 39fmptco 7075 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
4140oveq1d 7372 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
42 cnex 11132 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
4342mptex 7173 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V
44 ovex 7390 . . . . . 6 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V
45 offval3 7915 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
4643, 44, 45mp2an 690 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)))
4746a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
481sincld 16012 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
4948negcld 11499 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5049ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
51 dmmptg 6194 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
5352, 34ineq12d 4173 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ ∩ ℂ))
54 inidm 4178 . . . . . 6 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
5553, 54eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
56 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
5755adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
5856, 57eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
60 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
6160fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6261negeqd 11395 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6362adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 𝑦) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
64 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65 negex 11399 . . . . . . . . . . 11 -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
6759, 63, 64, 66fvmptd 6955 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6867adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
70 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (0 · 𝑥) = (0 · 𝑦))
7170oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)))
72 mul02 11333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (0 · 𝑦) = 0)
73 mulid2 11154 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
7472, 73oveqan12rd 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
75 addid2 11338 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7774, 76eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
7871, 77sylan9eqr 2798 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
79 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
80 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8169, 78, 79, 80fvmptd 6955 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = 𝐴)
8268, 81oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴))
83 mulcl 11135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
8483sincld 16012 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8584negcld 11499 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8685, 80mulcomd 11176 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8782, 86eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8858, 87syldan 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8955, 88mpteq12dva 5194 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
9041, 47, 893eqtrd 2780 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘f · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
919, 35, 903eqtrd 2780 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
92 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
9392fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
9493negeqd 11395 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
9594oveq2d 7373 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
9695cbvmptv 5218 . 2 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
9791, 96eqtrdi 2792 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  {cpr 4588  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386  sincsin 15946  cosccos 15947   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  44205
  Copyright terms: Public domain W3C validator