Theorem dgrid 26259

Description: The degree of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrid	⊢ (deg‘Xp) = 1

Proof of Theorem dgrid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11196	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 11207	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
3		1nn0 12526	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		mptresid 6051	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
5		df-idp 26183	. . . 4 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
6		exp1 14091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑1) = 𝑧)
7	6	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = (1 · 𝑧))
8		mullid 11243	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · 𝑧) = 𝑧)
9	7, 8	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = 𝑧)
10	9	mpteq2ia 5227	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
11	4, 5, 10	3eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1)))
12	11	dgr1term 26254	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (deg‘Xp) = 1)
13	1, 2, 3, 12	mp3an 1462	1 ⊢ (deg‘Xp) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ↦ cmpt 5207   I cid 5559   ↾ cres 5669  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143  ℕ₀cn0 12510  ↑cexp 14085  X_pcidp 26179  degcdgr 26181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-0p 25660  df-ply 26182  df-idp 26183  df-coe 26184  df-dgr 26185

This theorem is referenced by:  plyremlem  26301