Theorem dgrid 26186

Description: The degree of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrid	⊢ (deg‘Xp) = 1

Proof of Theorem dgrid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11086	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 11097	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
3		1nn0 12418	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		mptresid 6006	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
5		df-idp 26110	. . . 4 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
6		exp1 13992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑1) = 𝑧)
7	6	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = (1 · 𝑧))
8		mullid 11133	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · 𝑧) = 𝑧)
9	7, 8	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = 𝑧)
10	9	mpteq2ia 5190	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
11	4, 5, 10	3eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1)))
12	11	dgr1term 26181	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (deg‘Xp) = 1)
13	1, 2, 3, 12	mp3an 1463	1 ⊢ (deg‘Xp) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ↦ cmpt 5176   I cid 5517   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986  X_pcidp 26106  degcdgr 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-0p 25587  df-ply 26109  df-idp 26110  df-coe 26111  df-dgr 26112

This theorem is referenced by:  plyremlem  26228  cjnpoly  46874