Theorem coeidp 24556

Description: The coefficients of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coeidp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((coeff‘Xp)‘𝐴) = if(𝐴 = 1, 1, 0))

Proof of Theorem coeidp

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10393	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		1nn0 11725	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		mptresid 5762	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧) = ( I ↾ ℂ)
4		exp1 13250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑1) = 𝑧)
5	4	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = (1 · 𝑧))
6		mulid2 10438	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · 𝑧) = 𝑧)
7	5, 6	eqtrd 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = 𝑧)
8	7	mpteq2ia 5018	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
9		df-idp 24482	. . . 4 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
10	3, 8, 9	3eqtr4ri 2814	. . 3 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1)))
11	10	coe1term 24552	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((coeff‘Xp)‘𝐴) = if(𝐴 = 1, 1, 0))
12	1, 2, 11	mp3an12 1430	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((coeff‘Xp)‘𝐴) = if(𝐴 = 1, 1, 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ifcif 4350   ↦ cmpt 5008   I cid 5311   ↾ cres 5409  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340  ℕ₀cn0 11707  ↑cexp 13244  X_pcidp 24478  coeffccoe 24479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-0p 23974  df-ply 24481  df-idp 24482  df-coe 24483  df-dgr 24484

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  24603  plymulx0  31460