Theorem recdiv 11919

Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
recdiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem recdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1div1e1 11903	. . . 4 ⊢ (1 / 1) = 1
2	1	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐴 / 𝐵))
3		ax-1cn 11167	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 11178	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	3, 4	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
6		divdivdiv 11914	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
7	3, 5, 6	mpanl12 700	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
8	2, 7	eqtr3id 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
9		mullid 11212	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
10		mullid 11212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	9, 10	oveqan12rd 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
12	11	ad2ant2r 745	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
13	8, 12	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   / cdiv 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871

This theorem is referenced by:  divcan6  11920  recdivd  12006  ledivdiv  12102  ege2le3  16032  ang180lem1  26311  log2tlbnd  26447  basellem5  26586  chebbnd1  26972  chebbnd2  26977  dchrisum0lem2a  27017  mulogsumlem  27031  blocnilem  30052  minvecolem3  30124  nmcexi  31274  poimirlem29  36512  wallispi  44776  reccot  47793  rectan  47794