Theorem recdiv 12050

Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
recdiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem recdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1div1e1 12034	. . . 4 ⊢ (1 / 1) = 1
2	1	oveq1i 7453	. . 3 ⊢ ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐴 / 𝐵))
3		ax-1cn 11285	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 11296	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	3, 4	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
6		divdivdiv 12045	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
7	3, 5, 6	mpanl12 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
8	2, 7	eqtr3id 2812	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
9		mullid 11334	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
10		mullid 11334	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	9, 10	oveqan12rd 7463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
12	11	ad2ant2r 760	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
13	8, 12	eqtrd 2798	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  divcan6  12051  recdivd  12137  ledivdiv  12233  ege2le3  16285  ang180lem1  27167  log2tlbnd  27303  basellem5  27442  chebbnd1  27829  chebbnd2  27834  dchrisum0lem2a  27874  mulogsumlem  27888  blocnilem  31436  minvecolem3  31508  nmcexi  32658  poimirlem29  38759  wallispi  47285  reccot  51131  rectan  51132