Theorem recdiv 11912

Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
recdiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem recdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1div1e1 11896	. . . 4 ⊢ (1 / 1) = 1
2	1	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐴 / 𝐵))
3		ax-1cn 11146	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 11157	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	3, 4	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
6		divdivdiv 11907	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
7	3, 5, 6	mpanl12 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 / 1) / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
8	2, 7	eqtr3id 2814	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)))
9		mullid 11195	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
10		mullid 11195	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	9, 10	oveqan12rd 7420	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
12	11	ad2ant2r 759	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 · 𝐵) / (1 · 𝐴)) = (𝐵 / 𝐴))
13	8, 12	eqtrd 2800	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  divcan6  11913  recdivd  11999  ledivdiv  12095  ege2le3  16134  ang180lem1  26932  log2tlbnd  27068  basellem5  27207  chebbnd1  27594  chebbnd2  27599  dchrisum0lem2a  27639  mulogsumlem  27653  blocnilem  31065  minvecolem3  31137  nmcexi  32287  poimirlem29  38160  wallispi  46642  reccot  50387  rectan  50388