![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > recdiv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
recdiv | โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1div1e1 11901 | . . . 4 โข (1 / 1) = 1 | |
2 | 1 | oveq1i 7411 | . . 3 โข ((1 / 1) / (๐ด / ๐ต)) = (1 / (๐ด / ๐ต)) |
3 | ax-1cn 11164 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
4 | ax-1ne0 11175 | . . . . 5 โข 1 โ 0 | |
5 | 3, 4 | pm3.2i 470 | . . . 4 โข (1 โ โ โง 1 โ 0) |
6 | divdivdiv 11912 | . . . 4 โข (((1 โ โ โง (1 โ โ โง 1 โ 0)) โง ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0))) โ ((1 / 1) / (๐ด / ๐ต)) = ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด))) | |
7 | 3, 5, 6 | mpanl12 699 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((1 / 1) / (๐ด / ๐ต)) = ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด))) |
8 | 2, 7 | eqtr3id 2778 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด))) |
9 | mullid 11210 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) | |
10 | mullid 11210 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) | |
11 | 9, 10 | oveqan12rd 7421 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด)) = (๐ต / ๐ด)) |
12 | 11 | ad2ant2r 744 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((1 ยท ๐ต) / (1 ยท ๐ด)) = (๐ต / ๐ด)) |
13 | 8, 12 | eqtrd 2764 | 1 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 (class class class)co 7401 โcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 ยท cmul 11111 / cdiv 11868 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-id 5564 df-po 5578 df-so 5579 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 |
This theorem is referenced by: divcan6 11918 recdivd 12004 ledivdiv 12100 ege2le3 16030 ang180lem1 26657 log2tlbnd 26793 basellem5 26933 chebbnd1 27321 chebbnd2 27326 dchrisum0lem2a 27366 mulogsumlem 27380 blocnilem 30526 minvecolem3 30598 nmcexi 31748 poimirlem29 37007 wallispi 45271 reccot 47991 rectan 47992 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |