MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefac1 15143
Description: The value of rising factorial at one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefac1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac 1) = 𝐴)

Proof of Theorem risefac1
StepHypRef Expression
1 0p1e1 11487 . . 3 (0 + 1) = 1
21oveq2i 6921 . 2 (𝐴 RiseFac (0 + 1)) = (𝐴 RiseFac 1)
3 0nn0 11642 . . . 4 0 ∈ ℕ0
4 risefacp1 15139 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (0 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 0) · (𝐴 + 0)))
53, 4mpan2 682 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac (0 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 0) · (𝐴 + 0)))
6 risefac0 15137 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac 0) = 1)
7 addid1 10542 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
86, 7oveq12d 6928 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 RiseFac 0) · (𝐴 + 0)) = (1 · 𝐴))
9 mulid2 10362 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
105, 8, 93eqtrd 2865 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac (0 + 1)) = 𝐴)
112, 10syl5eqr 2875 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  (class class class)co 6910  cc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  0cn0 11625   RiseFac crisefac 15115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-prod 15016  df-risefac 15116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator