MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2sum 15825
Description: The value of the finite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... + 2โ†‘-๐‘, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12597 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
2 nnz 12583 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 simplr 766 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 2nn 12289 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
6 elfznn 13536 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
76adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
87nnnn0d 12536 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9 nnexpcl 14045 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
105, 8, 9sylancr 586 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12232 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1210nnne0d 12266 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
134, 11, 12divcld 11994 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
14 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘(๐‘— + 1)))
1514oveq2d 7421 . . 3 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 15733 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
17 1m1e0 12288 . . . . 5 (1 โˆ’ 1) = 0
1817oveq1i 7415 . . . 4 ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
1918sumeq1i 15650 . . 3 ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1)))
20 halfcn 12431 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
21 elfznn0 13600 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
23 expcl 14050 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2420, 22, 23sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
25 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12320 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 2 โ‰  0)
2824, 25, 27divrecd 11997 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
29 expp1 14039 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
3020, 22, 29sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
31 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
3231peano2zd 12673 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„ค)
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„ค)
3425, 27, 33exprecd 14124 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
3528, 30, 343eqtr2rd 2773 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2))
3635oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1)))) = (๐ด ยท (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2)))
37 simplr 766 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
38 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
3922, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
40 nnexpcl 14045 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„•)
415, 39, 40sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12232 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
4341nnne0d 12266 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โ‰  0)
4437, 42, 43divrecd 11997 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (๐ด ยท (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1)))))
4524, 37, 25, 27div12d 12030 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (๐ด ยท (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2)))
4636, 44, 453eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
4746sumeq2dv 15655 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
48 fzfid 13944 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
49 halfcl 12441 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
5049adantl 481 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
5148, 50, 24fsummulc1 15737 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
5247, 51eqtr4d 2769 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
5319, 52eqtrid 2778 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
54 2cnd 12294 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5526a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โ‰  0)
5654, 55, 3exprecd 14124 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘) = (1 / (2โ†‘๐‘)))
5756oveq2d 7421 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) = (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))))
58 1mhlfehlf 12435 . . . . . . 7 (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2)
5958a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2))
6057, 59oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)))
61 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6261, 54, 55divrec2d 11998 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / 2) = ((1 / 2) ยท ๐ด))
6360, 62oveq12d 7423 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)) = (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท ((1 / 2) ยท ๐ด)))
64 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
65 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6665adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
67 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
685, 66, 67sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
6968nnrecred 12267 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
7069recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
71 subcl 11463 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
7264, 70, 71sylancr 586 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
7320a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
74 0re 11220 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
75 halfgt0 12432 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
7674, 75gtneii 11330 . . . . . . 7 (1 / 2) โ‰  0
7776a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
7872, 73, 77divcld 11994 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
7978, 73, 61mulassd 11241 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) ยท ๐ด) = (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท ((1 / 2) ยท ๐ด)))
8072, 73, 77divcan1d 11995 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) = (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))))
8180oveq1d 7420 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) ยท ๐ด) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
8263, 79, 813eqtr2d 2772 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
83 halfre 12430 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„
84 halflt1 12434 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
8583, 84ltneii 11331 . . . . . 6 (1 / 2) โ‰  1
8685a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โ‰  1)
8773, 86, 66geoser 15819 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) = ((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))))
8887oveq1d 7420 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)))
89 mullid 11217 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
9089adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
9190eqcomd 2732 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = (1 ยท ๐ด))
9268nncnd 12232 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
9368nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰  0)
9461, 92, 93divrec2d 11998 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘)) = ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด))
9591, 94oveq12d 7423 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด)))
9664a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9796, 70, 61subdird 11675 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด)))
9895, 97eqtr4d 2769 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
9982, 88, 983eqtr4d 2776 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
10016, 53, 993eqtrd 2770 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  geo2lim  15827  ovollb2lem  25372  ovoliunlem1  25386
  Copyright terms: Public domain W3C validator