MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2sum 15859
Description: The value of the finite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... + 2โ†‘-๐‘, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12631 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
2 nnz 12617 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32adantr 479 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 simplr 767 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 2nn 12323 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
6 elfznn 13570 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
76adantl 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
87nnnn0d 12570 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9 nnexpcl 14079 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
105, 8, 9sylancr 585 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12266 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1210nnne0d 12300 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
134, 11, 12divcld 12028 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
14 oveq2 7434 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘(๐‘— + 1)))
1514oveq2d 7442 . . 3 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 15767 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
17 1m1e0 12322 . . . . 5 (1 โˆ’ 1) = 0
1817oveq1i 7436 . . . 4 ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
1918sumeq1i 15684 . . 3 ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1)))
20 halfcn 12465 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
21 elfznn0 13634 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2221adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
23 expcl 14084 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2420, 22, 23sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
25 2cnd 12328 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12354 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 2 โ‰  0)
2824, 25, 27divrecd 12031 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
29 expp1 14073 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
3020, 22, 29sylancr 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
31 elfzelz 13541 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
3231peano2zd 12707 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„ค)
3332adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„ค)
3425, 27, 33exprecd 14158 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
3528, 30, 343eqtr2rd 2775 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2))
3635oveq2d 7442 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1)))) = (๐ด ยท (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2)))
37 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
38 peano2nn0 12550 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
3922, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
40 nnexpcl 14079 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„•)
415, 39, 40sylancr 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12266 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
4341nnne0d 12300 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โ‰  0)
4437, 42, 43divrecd 12031 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (๐ด ยท (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1)))))
4524, 37, 25, 27div12d 12064 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (๐ด ยท (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2)))
4636, 44, 453eqtr4d 2778 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
4746sumeq2dv 15689 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
48 fzfid 13978 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
49 halfcl 12475 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
5049adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
5148, 50, 24fsummulc1 15771 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
5247, 51eqtr4d 2771 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
5319, 52eqtrid 2780 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
54 2cnd 12328 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5526a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โ‰  0)
5654, 55, 3exprecd 14158 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘) = (1 / (2โ†‘๐‘)))
5756oveq2d 7442 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) = (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))))
58 1mhlfehlf 12469 . . . . . . 7 (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2)
5958a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2))
6057, 59oveq12d 7444 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)))
61 simpr 483 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6261, 54, 55divrec2d 12032 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / 2) = ((1 / 2) ยท ๐ด))
6360, 62oveq12d 7444 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)) = (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท ((1 / 2) ยท ๐ด)))
64 ax-1cn 11204 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
65 nnnn0 12517 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6665adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
67 nnexpcl 14079 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
685, 66, 67sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
6968nnrecred 12301 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
7069recnd 11280 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
71 subcl 11497 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
7264, 70, 71sylancr 585 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
7320a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
74 0re 11254 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
75 halfgt0 12466 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
7674, 75gtneii 11364 . . . . . . 7 (1 / 2) โ‰  0
7776a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
7872, 73, 77divcld 12028 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
7978, 73, 61mulassd 11275 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) ยท ๐ด) = (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท ((1 / 2) ยท ๐ด)))
8072, 73, 77divcan1d 12029 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) = (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))))
8180oveq1d 7441 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) ยท ๐ด) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
8263, 79, 813eqtr2d 2774 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
83 halfre 12464 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„
84 halflt1 12468 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
8583, 84ltneii 11365 . . . . . 6 (1 / 2) โ‰  1
8685a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โ‰  1)
8773, 86, 66geoser 15853 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) = ((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))))
8887oveq1d 7441 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)))
89 mullid 11251 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
9089adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
9190eqcomd 2734 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = (1 ยท ๐ด))
9268nncnd 12266 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
9368nnne0d 12300 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰  0)
9461, 92, 93divrec2d 12032 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘)) = ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด))
9591, 94oveq12d 7444 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด)))
9664a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9796, 70, 61subdird 11709 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด)))
9895, 97eqtr4d 2771 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
9982, 88, 983eqtr4d 2778 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
10016, 53, 993eqtrd 2772 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  ...cfz 13524  โ†‘cexp 14066  ฮฃcsu 15672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673
This theorem is referenced by:  geo2lim  15861  ovollb2lem  25437  ovoliunlem1  25451
  Copyright terms: Public domain W3C validator