MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2sum 15758
Description: The value of the finite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... + 2↑-𝑁, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12534 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
2 nnz 12520 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 simplr 767 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 2nn 12226 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
6 elfznn 13470 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
76adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87nnnn0d 12473 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 nnexpcl 13980 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
105, 8, 9sylancr 587 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
1110nncnd 12169 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
1210nnne0d 12203 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2↑𝑘) ≠ 0)
134, 11, 12divcld 11931 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
14 oveq2 7365 . . . 4 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑗 + 1)))
1514oveq2d 7373 . . 3 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 15666 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))))
17 1m1e0 12225 . . . . 5 (1 − 1) = 0
1817oveq1i 7367 . . . 4 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
1918sumeq1i 15583 . . 3 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1)))
20 halfcn 12368 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
21 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2221adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23 expcl 13985 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
2420, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
25 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ ℂ)
26 2ne0 12257 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 2 ≠ 0)
2824, 25, 27divrecd 11934 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) / 2) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
29 expp1 13974 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
3020, 22, 29sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (((1 / 2)↑𝑗) · (1 / 2)))
31 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
3231peano2zd 12610 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
3425, 27, 33exprecd 14059 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((1 / 2)↑(𝑗 + 1)) = (1 / (2↑(𝑗 + 1))))
3528, 30, 343eqtr2rd 2783 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) / 2))
3635oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
37 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
38 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3922, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
40 nnexpcl 13980 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
415, 39, 40sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
4241nncnd 12169 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
4341nnne0d 12203 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
4437, 42, 43divrecd 11934 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (𝐴 · (1 / (2↑(𝑗 + 1)))))
4524, 37, 25, 27div12d 11967 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 · (((1 / 2)↑𝑗) / 2)))
4636, 44, 453eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
4746sumeq2dv 15588 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
48 fzfid 13878 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
49 halfcl 12378 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
5049adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
5148, 50, 24fsummulc1 15670 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
5247, 51eqtr4d 2779 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
5319, 52eqtrid 2788 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 / (2↑(𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)))
54 2cnd 12231 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
5526a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
5654, 55, 3exprecd 14059 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 2)↑𝑁) = (1 / (2↑𝑁)))
5756oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − ((1 / 2)↑𝑁)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
58 1mhlfehlf 12372 . . . . . . 7 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
5958a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
6057, 59oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)))
61 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6261, 54, 55divrec2d 11935 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
6360, 62oveq12d 7375 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
64 ax-1cn 11109 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
65 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6665adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
67 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
685, 66, 67sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6968nnrecred 12204 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
7069recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
71 subcl 11400 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
7264, 70, 71sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
7320a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
74 0re 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
75 halfgt0 12369 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
7674, 75gtneii 11267 . . . . . . 7 (1 / 2) ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) ≠ 0)
7872, 73, 77divcld 11931 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) ∈ ℂ)
7978, 73, 61mulassd 11178 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · ((1 / 2) · 𝐴)))
8072, 73, 77divcan1d 11932 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) = (1 − (1 / (2↑𝑁))))
8180oveq1d 7372 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((1 − (1 / (2↑𝑁))) / (1 / 2)) · (1 / 2)) · 𝐴) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
8263, 79, 813eqtr2d 2782 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
83 halfre 12367 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
84 halflt1 12371 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
8583, 84ltneii 11268 . . . . . 6 (1 / 2) ≠ 1
8685a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 / 2) ≠ 1)
8773, 86, 66geoser 15752 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) = ((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))))
8887oveq1d 7372 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (((1 − ((1 / 2)↑𝑁)) / (1 − (1 / 2))) · (𝐴 / 2)))
89 mulid2 11154 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9089adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9190eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
9268nncnd 12169 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
9368nnne0d 12203 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2↑𝑁) ≠ 0)
9461, 92, 93divrec2d 11935 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) = ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴))
9591, 94oveq12d 7375 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
9664a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
9796, 70, 61subdird 11612 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − ((1 / (2↑𝑁)) · 𝐴)))
9895, 97eqtr4d 2779 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))) = ((1 − (1 / (2↑𝑁))) · 𝐴))
9982, 88, 983eqtr4d 2786 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 / 2)↑𝑗) · (𝐴 / 2)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))
10016, 53, 993eqtrd 2780 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  cexp 13967  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  geo2lim  15760  ovollb2lem  24852  ovoliunlem1  24866
  Copyright terms: Public domain W3C validator