MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2sum 15765
Description: The value of the finite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... + 2โ†‘-๐‘, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12541 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
2 nnz 12527 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 simplr 768 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 2nn 12233 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
6 elfznn 13477 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
76adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
87nnnn0d 12480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9 nnexpcl 13987 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
105, 8, 9sylancr 588 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12176 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1210nnne0d 12210 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
134, 11, 12divcld 11938 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
14 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘(๐‘— + 1)))
1514oveq2d 7378 . . 3 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 15673 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
17 1m1e0 12232 . . . . 5 (1 โˆ’ 1) = 0
1817oveq1i 7372 . . . 4 ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
1918sumeq1i 15590 . . 3 ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1)))
20 halfcn 12375 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
21 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2221adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
23 expcl 13992 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2420, 22, 23sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
25 2cnd 12238 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12264 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 2 โ‰  0)
2824, 25, 27divrecd 11941 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
29 expp1 13981 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
3020, 22, 29sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (1 / 2)))
31 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
3231peano2zd 12617 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„ค)
3332adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„ค)
3425, 27, 33exprecd 14066 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘— + 1)) = (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1))))
3528, 30, 343eqtr2rd 2784 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2))
3635oveq2d 7378 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1)))) = (๐ด ยท (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2)))
37 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
38 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
3922, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
40 nnexpcl 13987 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„•)
415, 39, 40sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12176 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
4341nnne0d 12210 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) โ‰  0)
4437, 42, 43divrecd 11941 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (๐ด ยท (1 / (2โ†‘(๐‘— + 1)))))
4524, 37, 25, 27div12d 11974 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (๐ด ยท (((1 / 2)โ†‘๐‘—) / 2)))
4636, 44, 453eqtr4d 2787 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
4746sumeq2dv 15595 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
48 fzfid 13885 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
49 halfcl 12385 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
5049adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
5148, 50, 24fsummulc1 15677 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
5247, 51eqtr4d 2780 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
5319, 52eqtrid 2789 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด / (2โ†‘(๐‘— + 1))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)))
54 2cnd 12238 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5526a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โ‰  0)
5654, 55, 3exprecd 14066 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘) = (1 / (2โ†‘๐‘)))
5756oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) = (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))))
58 1mhlfehlf 12379 . . . . . . 7 (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2)
5958a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2))
6057, 59oveq12d 7380 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)))
61 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6261, 54, 55divrec2d 11942 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / 2) = ((1 / 2) ยท ๐ด))
6360, 62oveq12d 7380 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)) = (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท ((1 / 2) ยท ๐ด)))
64 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
65 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6665adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
67 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
685, 66, 67sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
6968nnrecred 12211 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
7069recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
71 subcl 11407 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
7264, 70, 71sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
7320a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
74 0re 11164 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
75 halfgt0 12376 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
7674, 75gtneii 11274 . . . . . . 7 (1 / 2) โ‰  0
7776a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
7872, 73, 77divcld 11938 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
7978, 73, 61mulassd 11185 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) ยท ๐ด) = (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท ((1 / 2) ยท ๐ด)))
8072, 73, 77divcan1d 11939 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) = (1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))))
8180oveq1d 7377 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) / (1 / 2)) ยท (1 / 2)) ยท ๐ด) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
8263, 79, 813eqtr2d 2783 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
83 halfre 12374 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„
84 halflt1 12378 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
8583, 84ltneii 11275 . . . . . 6 (1 / 2) โ‰  1
8685a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / 2) โ‰  1)
8773, 86, 66geoser 15759 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) = ((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))))
8887oveq1d 7377 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (((1 โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ (1 / 2))) ยท (๐ด / 2)))
89 mulid2 11161 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
9089adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
9190eqcomd 2743 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = (1 ยท ๐ด))
9268nncnd 12176 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
9368nnne0d 12210 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰  0)
9461, 92, 93divrec2d 11942 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘)) = ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด))
9591, 94oveq12d 7380 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด)))
9664a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9796, 70, 61subdird 11619 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / (2โ†‘๐‘)) ยท ๐ด)))
9895, 97eqtr4d 2780 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = ((1 โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘))) ยท ๐ด))
9982, 88, 983eqtr4d 2787 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 / 2)โ†‘๐‘—) ยท (๐ด / 2)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
10016, 53, 993eqtrd 2781 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  geo2lim  15767  ovollb2lem  24868  ovoliunlem1  24882
  Copyright terms: Public domain W3C validator