MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musumsum 27074
Description: Evaluate a collapsing sum over the MΓΆbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1 (π‘š = 1 β†’ 𝐡 = 𝐢)
musumsum.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
musumsum.4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
musumsum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = 𝐢)
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝐴   π‘˜,𝑛,π‘š   πœ‘,π‘˜,π‘š   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘š,𝑛)   𝐢(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
21sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ β„•)
3 musum 27073 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) = if(π‘š = 1, 1, 0))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) = if(π‘š = 1, 1, 0))
54oveq1d 7419 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡))
6 fzfid 13941 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
7 dvdsssfz1 16265 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
96, 8ssfid 9266 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ∈ Fin)
10 musumsum.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
11 elrabi 3672 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
12 mucl 27023 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
1413zcnd 12668 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1514adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
169, 10, 15fsummulc1 15734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡))
17 ovif 7501 . . . . 5 (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡) = if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡))
18 velsn 4639 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ {1} ↔ π‘š = 1)
1918bicomi 223 . . . . . . . 8 (π‘š = 1 ↔ π‘š ∈ {1})
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘š = 1 ↔ π‘š ∈ {1}))
21 mullid 11214 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
22 mul02 11393 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝐡) = 0)
2320, 21, 22ifbieq12d 4551 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡)) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2410, 23syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡)) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2517, 24eqtrid 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
265, 16, 253eqtr3d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2726sumeq2dv 15652 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
28 musumsum.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐴)
2928snssd 4807 . . 3 (πœ‘ β†’ {1} βŠ† 𝐴)
3029sselda 3977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ {1}) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
3130, 10syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ {1}) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3231ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ {1}𝐡 ∈ β„‚)
33 musumsum.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3433olcd 871 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35 sumss2 15675 . . 3 ((({1} βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘š ∈ {1}𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
3629, 32, 34, 35syl21anc 835 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
37 musumsum.1 . . . . 5 (π‘š = 1 β†’ 𝐡 = 𝐢)
3837eleq1d 2812 . . . 4 (π‘š = 1 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
3910ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
4038, 39, 28rspcdva 3607 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4137sumsn 15695 . . 3 ((1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = 𝐢)
4228, 40, 41syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = 𝐢)
4327, 36, 423eqtr2d 2772 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„•cn 12213  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ...cfz 13487  Ξ£csu 15635   βˆ₯ cdvds 16201  ΞΌcmu 26977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16776  df-mu 26983
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27377  dchrvmasum2lem  27379  mudivsum  27413  mulogsum  27415  mulog2sumlem2  27418
  Copyright terms: Public domain W3C validator