MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musumsum 25929
Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1 (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
musumsum.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
musumsum.4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
musumsum (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝐴   𝑘,𝑛,𝑚   𝜑,𝑘,𝑚   𝐵,𝑘   𝐶,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
21sselda 3877 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
3 musum 25928 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
54oveq1d 7185 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵))
6 fzfid 13432 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → (1...𝑚) ∈ Fin)
7 dvdsssfz1 15763 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ⊆ (1...𝑚))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ⊆ (1...𝑚))
96, 8ssfid 8819 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ∈ Fin)
10 musumsum.5 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 elrabi 3582 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
12 mucl 25878 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1413zcnd 12169 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
1514adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
169, 10, 15fsummulc1 15233 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵))
17 ovif 7265 . . . . 5 (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵))
18 velsn 4532 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ {1} ↔ 𝑚 = 1)
1918bicomi 227 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1})
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1}))
21 mulid2 10718 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22 mul02 10896 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2320, 21, 22ifbieq12d 4442 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2410, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2517, 24syl5eq 2785 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
265, 16, 253eqtr3d 2781 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2726sumeq2dv 15153 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
28 musumsum.4 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
2928snssd 4697 . . 3 (𝜑 → {1} ⊆ 𝐴)
3029sselda 3877 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {1}) → 𝑚𝐴)
3130, 10syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
3231ralrimiva 3096 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ)
33 musumsum.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3433olcd 873 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35 sumss2 15176 . . 3 ((({1} ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
3629, 32, 34, 35syl21anc 837 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
37 musumsum.1 . . . . 5 (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
3837eleq1d 2817 . . . 4 (𝑚 = 1 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
3910ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4038, 39, 28rspcdva 3528 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4137sumsn 15194 . . 3 ((1 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
4228, 40, 41syl2anc 587 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
4327, 36, 423eqtr2d 2779 1 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  {crab 3057  wss 3843  ifcif 4414  {csn 4516   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620  cn 11716  cz 12062  cuz 12324  ...cfz 12981  Σcsu 15135  cdvds 15699  μcmu 25832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-prm 16113  df-pc 16274  df-mu 25838
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26230  dchrvmasum2lem  26232  mudivsum  26266  mulogsum  26268  mulog2sumlem2  26271
  Copyright terms: Public domain W3C validator