MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musumsum 27144
Description: Evaluate a collapsing sum over the MΓΆbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1 (π‘š = 1 β†’ 𝐡 = 𝐢)
musumsum.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
musumsum.4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
musumsum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = 𝐢)
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝐴   π‘˜,𝑛,π‘š   πœ‘,π‘˜,π‘š   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘š,𝑛)   𝐢(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
21sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ β„•)
3 musum 27143 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) = if(π‘š = 1, 1, 0))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) = if(π‘š = 1, 1, 0))
54oveq1d 7441 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡))
6 fzfid 13978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
7 dvdsssfz1 16302 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
96, 8ssfid 9298 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ∈ Fin)
10 musumsum.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
11 elrabi 3678 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
12 mucl 27093 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
1413zcnd 12705 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1514adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
169, 10, 15fsummulc1 15771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡))
17 ovif 7524 . . . . 5 (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡) = if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡))
18 velsn 4648 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ {1} ↔ π‘š = 1)
1918bicomi 223 . . . . . . . 8 (π‘š = 1 ↔ π‘š ∈ {1})
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘š = 1 ↔ π‘š ∈ {1}))
21 mullid 11251 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
22 mul02 11430 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝐡) = 0)
2320, 21, 22ifbieq12d 4560 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡)) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2410, 23syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡)) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2517, 24eqtrid 2780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
265, 16, 253eqtr3d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2726sumeq2dv 15689 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
28 musumsum.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐴)
2928snssd 4817 . . 3 (πœ‘ β†’ {1} βŠ† 𝐴)
3029sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ {1}) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
3130, 10syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ {1}) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3231ralrimiva 3143 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ {1}𝐡 ∈ β„‚)
33 musumsum.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3433olcd 872 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35 sumss2 15712 . . 3 ((({1} βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘š ∈ {1}𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
3629, 32, 34, 35syl21anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
37 musumsum.1 . . . . 5 (π‘š = 1 β†’ 𝐡 = 𝐢)
3837eleq1d 2814 . . . 4 (π‘š = 1 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
3910ralrimiva 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
4038, 39, 28rspcdva 3612 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4137sumsn 15732 . . 3 ((1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = 𝐢)
4228, 40, 41syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = 𝐢)
4327, 36, 423eqtr2d 2774 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   Β· cmul 11151  β„•cn 12250  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  ...cfz 13524  Ξ£csu 15672   βˆ₯ cdvds 16238  ΞΌcmu 27047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-pc 16813  df-mu 27053
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27447  dchrvmasum2lem  27449  mudivsum  27483  mulogsum  27485  mulog2sumlem2  27488
  Copyright terms: Public domain W3C validator