Theorem musumsum 26693

Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
musumsum.1	⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
musumsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
musumsum.4	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
musumsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝐴   𝑘,𝑛,𝑚   𝜑,𝑘,𝑚   𝐵,𝑘   𝐶,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem musumsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		musumsum.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2	1	sselda 3982	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
3		musum 26692	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
5	4	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵))
6		fzfid 13937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (1...𝑚) ∈ Fin)
7		dvdsssfz1 16260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
9	6, 8	ssfid 9266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
10		musumsum.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elrabi 3677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
12		mucl 26642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12666	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
16	9, 10, 15	fsummulc1 15730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵))
17		ovif 7505	. . . . 5 ⊢ (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵))
18		velsn 4644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ {1} ↔ 𝑚 = 1)
19	18	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1})
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1}))
21		mullid 11212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22		mul02 11391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
23	20, 21, 22	ifbieq12d 4556	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
24	10, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
25	17, 24	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
26	5, 16, 25	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
27	26	sumeq2dv 15648	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
28		musumsum.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
29	28	snssd 4812	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1} ⊆ 𝐴)
30	29	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝑚 ∈ 𝐴)
31	30, 10	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ)
33		musumsum.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	olcd 872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35		sumss2 15671	. . 3 ⊢ ((({1} ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
36	29, 32, 34, 35	syl21anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
37		musumsum.1	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
38	37	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
39	10	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
40	38, 39, 28	rspcdva 3613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
41	37	sumsn 15691	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
42	28, 40, 41	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
43	27, 36, 42	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114  ℕcn 12211  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483  Σcsu 15631   ∥ cdvds 16196  μcmu 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-mu 26602

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26994  dchrvmasum2lem  26996  mudivsum  27030  mulogsum  27032  mulog2sumlem2  27035