Theorem musumsum 27356

Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
musumsum.1	⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
musumsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
musumsum.4	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
musumsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝐴   𝑘,𝑛,𝑚   𝜑,𝑘,𝑚   𝐵,𝑘   𝐶,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem musumsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		musumsum.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2	1	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
3		musum 27355	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
5	4	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵))
6		fzfid 14005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (1...𝑚) ∈ Fin)
7		dvdsssfz1 16371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
8	2, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
9	6, 8	ssfid 9225	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
10		musumsum.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elrabi 3646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
12		mucl 27305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
16	9, 10, 15	fsummulc1 15832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵))
17		ovif 7508	. . . . 5 ⊢ (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵))
18		velsn 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ {1} ↔ 𝑚 = 1)
19	18	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1})
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1}))
21		mullid 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22		mul02 11383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
23	20, 21, 22	ifbieq12d 4516	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
24	10, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
25	17, 24	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
26	5, 16, 25	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
27	26	sumeq2dv 15749	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
28		musumsum.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
29	28	snssd 4752	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1} ⊆ 𝐴)
30	29	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝑚 ∈ 𝐴)
31	30, 10	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ)
33		musumsum.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	olcd 887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35		sumss2 15773	. . 3 ⊢ ((({1} ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
36	29, 32, 34, 35	syl21anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
37		musumsum.1	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
38	37	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
39	10	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
40	38, 39, 28	rspcdva 3582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
41	37	sumsn 15793	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
42	28, 40, 41	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
43	27, 36, 42	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100  ℕcn 12228  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  Σcsu 15733   ∥ cdvds 16305  μcmu 27259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-pc 16892  df-mu 27265

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27658  dchrvmasum2lem  27660  mudivsum  27694  mulogsum  27696  mulog2sumlem2  27699