MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musumsum 26541
Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1 (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
musumsum.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
musumsum.4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
musumsum (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝐴   𝑘,𝑛,𝑚   𝜑,𝑘,𝑚   𝐵,𝑘   𝐶,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
21sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
3 musum 26540 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
54oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵))
6 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → (1...𝑚) ∈ Fin)
7 dvdsssfz1 16200 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ⊆ (1...𝑚))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ⊆ (1...𝑚))
96, 8ssfid 9211 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ∈ Fin)
10 musumsum.5 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 elrabi 3639 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
12 mucl 26490 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1413zcnd 12608 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
1514adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
169, 10, 15fsummulc1 15670 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵))
17 ovif 7454 . . . . 5 (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵))
18 velsn 4602 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ {1} ↔ 𝑚 = 1)
1918bicomi 223 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1})
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1}))
21 mulid2 11154 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22 mul02 11333 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2320, 21, 22ifbieq12d 4514 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2410, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2517, 24eqtrid 2788 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
265, 16, 253eqtr3d 2784 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2726sumeq2dv 15588 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
28 musumsum.4 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
2928snssd 4769 . . 3 (𝜑 → {1} ⊆ 𝐴)
3029sselda 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {1}) → 𝑚𝐴)
3130, 10syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
3231ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ)
33 musumsum.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3433olcd 872 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35 sumss2 15611 . . 3 ((({1} ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
3629, 32, 34, 35syl21anc 836 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
37 musumsum.1 . . . . 5 (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
3837eleq1d 2822 . . . 4 (𝑚 = 1 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
3910ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4038, 39, 28rspcdva 3582 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4137sumsn 15631 . . 3 ((1 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
4228, 40, 41syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
4327, 36, 423eqtr2d 2782 1 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  Σcsu 15570  cdvds 16136  μcmu 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-mu 26450
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26842  dchrvmasum2lem  26844  mudivsum  26878  mulogsum  26880  mulog2sumlem2  26883
  Copyright terms: Public domain W3C validator