Theorem musumsum 27135

Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
musumsum.1	⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
musumsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
musumsum.4	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
musumsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝐴   𝑘,𝑛,𝑚   𝜑,𝑘,𝑚   𝐵,𝑘   𝐶,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem musumsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		musumsum.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2	1	sselda 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
3		musum 27134	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
5	4	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵))
6		fzfid 13914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (1...𝑚) ∈ Fin)
7		dvdsssfz1 16264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
9	6, 8	ssfid 9188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
10		musumsum.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elrabi 3651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
12		mucl 27084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
16	9, 10, 15	fsummulc1 15727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵))
17		ovif 7467	. . . . 5 ⊢ (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵))
18		velsn 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ {1} ↔ 𝑚 = 1)
19	18	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1})
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1}))
21		mullid 11149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22		mul02 11328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
23	20, 21, 22	ifbieq12d 4513	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
24	10, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
25	17, 24	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
26	5, 16, 25	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
27	26	sumeq2dv 15644	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
28		musumsum.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
29	28	snssd 4769	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1} ⊆ 𝐴)
30	29	sselda 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝑚 ∈ 𝐴)
31	30, 10	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ)
33		musumsum.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	olcd 874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35		sumss2 15668	. . 3 ⊢ ((({1} ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
36	29, 32, 34, 35	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
37		musumsum.1	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
38	37	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
39	10	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
40	38, 39, 28	rspcdva 3586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
41	37	sumsn 15688	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
42	28, 40, 41	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
43	27, 36, 42	3eqtr2d 2770	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  Σcsu 15628   ∥ cdvds 16198  μcmu 27038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-pc 16784  df-mu 27044

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27438  dchrvmasum2lem  27440  mudivsum  27474  mulogsum  27476  mulog2sumlem2  27479