MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musumsum 26564
Description: Evaluate a collapsing sum over the MΓΆbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1 (π‘š = 1 β†’ 𝐡 = 𝐢)
musumsum.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
musumsum.4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
musumsum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = 𝐢)
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝐴   π‘˜,𝑛,π‘š   πœ‘,π‘˜,π‘š   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘š,𝑛)   𝐢(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
21sselda 3948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ β„•)
3 musum 26563 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) = if(π‘š = 1, 1, 0))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) = if(π‘š = 1, 1, 0))
54oveq1d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡))
6 fzfid 13887 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
7 dvdsssfz1 16208 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
96, 8ssfid 9217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ∈ Fin)
10 musumsum.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
11 elrabi 3643 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
12 mucl 26513 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
1413zcnd 12616 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1514adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
169, 10, 15fsummulc1 15678 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} (ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡))
17 ovif 7458 . . . . 5 (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡) = if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡))
18 velsn 4606 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ {1} ↔ π‘š = 1)
1918bicomi 223 . . . . . . . 8 (π‘š = 1 ↔ π‘š ∈ {1})
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘š = 1 ↔ π‘š ∈ {1}))
21 mulid2 11162 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
22 mul02 11341 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝐡) = 0)
2320, 21, 22ifbieq12d 4518 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡)) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2410, 23syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š = 1, (1 Β· 𝐡), (0 Β· 𝐡)) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2517, 24eqtrid 2785 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘š = 1, 1, 0) Β· 𝐡) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
265, 16, 253eqtr3d 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
2726sumeq2dv 15596 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
28 musumsum.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐴)
2928snssd 4773 . . 3 (πœ‘ β†’ {1} βŠ† 𝐴)
3029sselda 3948 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ {1}) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
3130, 10syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ {1}) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3231ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ {1}𝐡 ∈ β„‚)
33 musumsum.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3433olcd 873 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35 sumss2 15619 . . 3 ((({1} βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘š ∈ {1}𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
3629, 32, 34, 35syl21anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 if(π‘š ∈ {1}, 𝐡, 0))
37 musumsum.1 . . . . 5 (π‘š = 1 β†’ 𝐡 = 𝐢)
3837eleq1d 2819 . . . 4 (π‘š = 1 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
3910ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
4038, 39, 28rspcdva 3584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4137sumsn 15639 . . 3 ((1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = 𝐢)
4228, 40, 41syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ {1}𝐡 = 𝐢)
4327, 36, 423eqtr2d 2779 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 Ξ£π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝑛 βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘˜) Β· 𝐡) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433  Ξ£csu 15579   βˆ₯ cdvds 16144  ΞΌcmu 26467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-mu 26473
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26865  dchrvmasum2lem  26867  mudivsum  26901  mulogsum  26903  mulog2sumlem2  26906
  Copyright terms: Public domain W3C validator