Theorem musumsum 27249

Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
musumsum.1	⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
musumsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
musumsum.4	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
musumsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝐴   𝑘,𝑛,𝑚   𝜑,𝑘,𝑚   𝐵,𝑘   𝐶,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem musumsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		musumsum.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2	1	sselda 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
3		musum 27248	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
5	4	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵))
6		fzfid 14010	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (1...𝑚) ∈ Fin)
7		dvdsssfz1 16351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
9	6, 8	ssfid 9298	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
10		musumsum.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elrabi 3689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
12		mucl 27198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12720	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
16	9, 10, 15	fsummulc1 15817	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵))
17		ovif 7530	. . . . 5 ⊢ (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵))
18		velsn 4646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ {1} ↔ 𝑚 = 1)
19	18	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1})
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1}))
21		mullid 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22		mul02 11436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
23	20, 21, 22	ifbieq12d 4558	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
24	10, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
25	17, 24	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
26	5, 16, 25	3eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
27	26	sumeq2dv 15734	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
28		musumsum.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
29	28	snssd 4813	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1} ⊆ 𝐴)
30	29	sselda 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝑚 ∈ 𝐴)
31	30, 10	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ)
33		musumsum.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	olcd 874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
35		sumss2 15758	. . 3 ⊢ ((({1} ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
36	29, 32, 34, 35	syl21anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
37		musumsum.1	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
38	37	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
39	10	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
40	38, 39, 28	rspcdva 3622	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
41	37	sumsn 15778	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
42	28, 40, 41	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
43	27, 36, 42	3eqtr2d 2780	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  {crab 3432   ⊆ wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  ℕcn 12263  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  Σcsu 15718   ∥ cdvds 16286  μcmu 27152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-mu 27158

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27552  dchrvmasum2lem  27554  mudivsum  27588  mulogsum  27590  mulog2sumlem2  27593