Theorem ax5seglem2 26434

Description: Lemma for ax5seg 26443. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2l 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		fveecn 26407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylancom 580	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
4		simpl2r 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveecn 26407	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylancom 580	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
7		elicc01 12669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
8	7	simp1bi 1126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	recnd 10467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
10	9	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
12	11	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13		fveq2 6497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
14		fveq2 6497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
15	14	oveq2d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)))
16		fveq2 6497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑗))
17	16	oveq2d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))
18	15, 17	oveq12d 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
19	13, 18	eqeq12d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
20	19	rspccva 3529	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
21	20	adantll 702	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
22	21	3ad2antl3 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
23		oveq1 6982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) = ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗)))
24	23	oveq1d 6990	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗))↑2))
25		ax-1cn 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		subcl 10684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
27	25, 26	mpan 678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant3 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
29		simp1 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
30	28, 29	mulcld 10459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
31		simp3 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
32		simp2 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 10459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
34	30, 33, 32	addsubassd 10817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗)) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶‘𝑗)) − (𝐶‘𝑗))))
35		subdi 10873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))))
36	27, 35	syl3an1 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))))
37	36	3coml 1108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))))
38		subdir 10874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
39	25, 38	mp3an1 1428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
40	39	ancoms 451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
41	40	3adant1 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
42		mulid2 10437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐶‘𝑗)) = (𝐶‘𝑗))
43	42	oveq1d 6990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
44	43	3ad2ant2 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
45	41, 44	eqtrd 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
46	45	oveq2d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
47	30, 32, 33	subsub2d 10826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶‘𝑗)) − (𝐶‘𝑗))))
48	37, 46, 47	3eqtrd 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶‘𝑗)) − (𝐶‘𝑗))))
49	34, 48	eqtr4d 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))))
50	49	oveq1d 6990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2))
51		subcl 10684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
52	51	3adant3 1113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
53	28, 52	sqmuld 13336	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
54	50, 53	eqtrd 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
55	24, 54	sylan9eqr 2831	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
56	3, 6, 12, 22, 55	syl31anc 1354	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
57	56	sumeq2dv 14919	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
58		fzfid 13155	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
59		1re 10438	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
60		resubcl 10750	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
61	59, 8, 60	sylancr 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
62	61	resqcld 13425	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℝ)
63	62	recnd 10467	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
64	63	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
65	64	3ad2ant3 1116	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
66	2	3adant1 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
67	66	3adant2r 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
68	5	3adant1 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
69	68	3adant2l 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
70	67, 69	subcld 10797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
71	70	sqcld 13322	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
72	71	3expa 1099	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
73	72	3adantl3 1149	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
74	58, 65, 73	fsummulc2 14998	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
75	57, 74	eqtr4d 2812	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3083   class class class wbr 4926  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℂcc 10332  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   · cmul 10339   ≤ cle 10474   − cmin 10669  ℕcn 11438  2c2 11494  [,]cicc 12556  ...cfz 12707  ↑cexp 13243  Σcsu 14902  𝔼cee 26393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-exp 13244  df-hash 13505  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-clim 14705  df-sum 14903  df-ee 26396

This theorem is referenced by:  ax5seglem3  26436