MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem2 26434
Description: Lemma for ax5seg 26443. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1207 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 fveecn 26407 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
31, 2sylancom 580 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
4 simpl2r 1208 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 fveecn 26407 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
64, 5sylancom 580 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7 elicc01 12669 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
87simp1bi 1126 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
98recnd 10467 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
109adantr 473 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
11103ad2ant3 1116 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
1211adantr 473 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13 fveq2 6497 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
14 fveq2 6497 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
1514oveq2d 6991 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)))
16 fveq2 6497 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
1716oveq2d 6991 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (𝑇 · (𝐶𝑗)))
1815, 17oveq12d 6993 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
1913, 18eqeq12d 2788 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2019rspccva 3529 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
2120adantll 702 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
22213ad2antl3 1168 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
23 oveq1 6982 . . . . . 6 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) = ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗)))
2423oveq1d 6990 . . . . 5 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗))↑2))
25 ax-1cn 10392 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
26 subcl 10684 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
2725, 26mpan 678 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
28273ad2ant3 1116 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
29 simp1 1117 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3028, 29mulcld 10459 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
31 simp3 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
32 simp2 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
3331, 32mulcld 10459 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
3430, 33, 32addsubassd 10817 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗)) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶𝑗)) − (𝐶𝑗))))
35 subdi 10873 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))))
3627, 35syl3an1 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))))
37363coml 1108 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))))
38 subdir 10874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
3925, 38mp3an1 1428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
4039ancoms 451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
41403adant1 1111 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
42 mulid2 10437 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐶𝑗)) = (𝐶𝑗))
4342oveq1d 6990 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
44433ad2ant2 1115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
4541, 44eqtrd 2809 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
4645oveq2d 6991 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
4730, 32, 33subsub2d 10826 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗)))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶𝑗)) − (𝐶𝑗))))
4837, 46, 473eqtrd 2813 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶𝑗)) − (𝐶𝑗))))
4934, 48eqtr4d 2812 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))))
5049oveq1d 6990 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2))
51 subcl 10684 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
52513adant3 1113 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5328, 52sqmuld 13336 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
5450, 53eqtrd 2809 . . . . 5 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
5524, 54sylan9eqr 2831 . . . 4 ((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
563, 6, 12, 22, 55syl31anc 1354 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
5756sumeq2dv 14919 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
58 fzfid 13155 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
59 1re 10438 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
60 resubcl 10750 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
6159, 8, 60sylancr 579 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
6261resqcld 13425 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℝ)
6362recnd 10467 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
6463adantr 473 . . . 4 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
65643ad2ant3 1116 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
6623adant1 1111 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
67663adant2r 1160 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6853adant1 1111 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
69683adant2l 1159 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7067, 69subcld 10797 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7170sqcld 13322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
72713expa 1099 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
73723adantl3 1149 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
7458, 65, 73fsummulc2 14998 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
7557, 74eqtr4d 2812 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083   class class class wbr 4926  cfv 6186  (class class class)co 6975  cc 10332  cr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   · cmul 10339  cle 10474  cmin 10669  cn 11438  2c2 11494  [,]cicc 12556  ...cfz 12707  cexp 13243  Σcsu 14902  𝔼cee 26393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-exp 13244  df-hash 13505  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-clim 14705  df-sum 14903  df-ee 26396
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  26436
  Copyright terms: Public domain W3C validator