Theorem ax5seglem2 28998

Description: Lemma for ax5seg 29007. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2l 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		fveecn 28971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylancom 589	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
4		simpl2r 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveecn 28971	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylancom 589	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
7		elicc01 13419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
8	7	simp1bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
13		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
14		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
15	14	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)))
16		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑗))
17	16	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))
18	15, 17	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
19	13, 18	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
20	19	rspccva 3563	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
21	20	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
22	21	3ad2antl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
23		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) = ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗)))
24	23	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗))↑2))
25		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		subcl 11392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
27	25, 26	mpan 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
29		simp1 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
30	28, 29	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
31		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
32		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
34	30, 33, 32	addsubassd 11525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗)) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶‘𝑗)) − (𝐶‘𝑗))))
35		subdi 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))))
36	27, 35	syl3an1 1164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))))
37	36	3coml 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))))
38		subdir 11584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
39	25, 38	mp3an1 1451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
40	39	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
41	40	3adant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
42		mullid 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐶‘𝑗)) = (𝐶‘𝑗))
43	42	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
44	43	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
45	41, 44	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
46	45	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
47	30, 32, 33	subsub2d 11534	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑗) − (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶‘𝑗)) − (𝐶‘𝑗))))
48	37, 46, 47	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶‘𝑗)) − (𝐶‘𝑗))))
49	34, 48	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))))
50	49	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2))
51		subcl 11392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
52	51	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
53	28, 52	sqmuld 14120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
54	50, 53	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
55	24, 54	sylan9eqr 2793	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
56	3, 6, 12, 22, 55	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
57	56	sumeq2dv 15664	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
58		fzfid 13935	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
59		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
60		resubcl 11458	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
61	59, 8, 60	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
62	61	resqcld 14087	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
64	63	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
65	64	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
66	2	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
67	66	3adant2r 1181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
68	5	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
69	68	3adant2l 1180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
70	67, 69	subcld 11505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
71	70	sqcld 14106	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
72	71	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
73	72	3adantl3 1170	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
74	58, 65, 73	fsummulc2 15746	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
75	57, 74	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  [,]cicc 13301  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  Σcsu 15648  𝔼cee 28956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-ee 28959

This theorem is referenced by:  ax5seglem3  29000