![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divdiv2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Division by a fraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2008.) |
Ref | Expression |
---|---|
divdiv2 | โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1cn 11190 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | ax-1ne0 11201 | . . . . 5 โข 1 โ 0 | |
3 | 1, 2 | pm3.2i 470 | . . . 4 โข (1 โ โ โง 1 โ 0) |
4 | divdivdiv 11939 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง (1 โ โ โง 1 โ 0)) โง ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0))) โ ((๐ด / 1) / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (1 ยท ๐ต))) | |
5 | 3, 4 | mpanl2 700 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0))) โ ((๐ด / 1) / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (1 ยท ๐ต))) |
6 | 5 | 3impb 1113 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / 1) / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (1 ยท ๐ต))) |
7 | div1 11927 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด / 1) = ๐ด) | |
8 | 7 | 3ad2ant1 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด / 1) = ๐ด) |
9 | 8 | oveq1d 7429 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / 1) / (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / (๐ต / ๐ถ))) |
10 | mullid 11237 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) | |
11 | 10 | ad2antrl 727 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) |
12 | 11 | 3adant3 1130 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) |
13 | 12 | oveq2d 7430 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) / (1 ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต)) |
14 | 6, 9, 13 | 3eqtr3d 2776 | 1 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2936 (class class class)co 7414 โcc 11130 0cc0 11132 1c1 11133 ยท cmul 11137 / cdiv 11895 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 |
This theorem is referenced by: divdiv2d 12046 aaliou3lem3 26272 chebbnd2 27403 dchrmusum2 27420 dchrvmasumlem2 27424 mulog2sumlem2 27461 pntibndlem3 27518 pntlemb 27523 pntlemn 27526 pntlemj 27529 pntlemf 27531 ofdivdiv2 43759 expgrowth 43766 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |