Theorem divdiv2 11830

Description: Division by a fraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
divdiv2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐵))

Proof of Theorem divdiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11061	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 11072	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
4		divdivdiv 11819	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)))
5	3, 4	mpanl2 701	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)))
6	5	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)))
7		div1 11808	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 1) / (𝐵 / 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 / 𝐶)))
10		mullid 11108	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
11	10	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
12	11	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq2d 7362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐶) / (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐵))
14	6, 9, 13	3eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  divdiv2d  11926  aaliou3lem3  26277  chebbnd2  27413  dchrmusum2  27430  dchrvmasumlem2  27434  mulog2sumlem2  27471  pntibndlem3  27528  pntlemb  27533  pntlemn  27536  pntlemj  27539  pntlemf  27541  ofdivdiv2  44360  expgrowth  44367