![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subdivcomb2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Bring a term in a subtraction into the numerator. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
subdivcomb2 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด โ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โ ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp3l 1198 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ถ โ โ) | |
2 | simp2 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ต โ โ) | |
3 | 1, 2 | mulcld 11262 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
4 | divsubdir 11936 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ ยท ๐ต) โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด โ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ))) | |
5 | 3, 4 | syld3an2 1408 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด โ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ))) |
6 | simprl 769 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ถ โ โ) | |
7 | simpl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ต โ โ) | |
8 | simpr 483 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) | |
9 | div23 11919 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต)) | |
10 | 6, 7, 8, 9 | syl3anc 1368 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต)) |
11 | divid 11929 | . . . . . . 7 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (๐ถ / ๐ถ) = 1) | |
12 | 11 | oveq1d 7430 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต)) |
13 | mullid 11241 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) | |
14 | 12, 13 | sylan9eqr 2787 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต) = ๐ต) |
15 | 10, 14 | eqtrd 2765 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
16 | 15 | 3adant1 1127 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
17 | 16 | oveq2d 7431 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)) = ((๐ด / ๐ถ) โ ๐ต)) |
18 | 5, 17 | eqtrd 2765 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด โ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โ ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 (class class class)co 7415 โcc 11134 0cc0 11136 1c1 11137 ยท cmul 11141 โ cmin 11472 / cdiv 11899 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-er 8721 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-div 11900 |
This theorem is referenced by: eenglngeehlnmlem2 47922 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |