MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdivcomb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdivcomb2 11938
Description: Bring a term in a subtraction into the numerator. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
subdivcomb2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ ๐ต))

Proof of Theorem subdivcomb2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2mulcld 11262 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 divsubdir 11936 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
53, 4syld3an2 1408 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
6 simprl 769 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7 simpl 481 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 simpr 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
9 div23 11919 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต))
106, 7, 8, 9syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต))
11 divid 11929 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ถ) = 1)
1211oveq1d 7430 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
13 mullid 11241 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
1412, 13sylan9eqr 2787 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ / ๐ถ) ยท ๐ต) = ๐ต)
1510, 14eqtrd 2765 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
16153adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
1716oveq2d 7431 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ ๐ต))
185, 17eqtrd 2765 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900
This theorem is referenced by:  eenglngeehlnmlem2  47922
  Copyright terms: Public domain W3C validator