Theorem coshval 16173

Description: Value of the hyperbolic cosine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coshval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem coshval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11188	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11213	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		cosval 16141	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
6		negcl 11482	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7		efcl 16098	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16098	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ixi 11866	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
11	10	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
12		mulass 11217	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
13	1, 1, 12	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
14		mulm1 11678	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
15	11, 13, 14	3eqtr3a 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
16	15	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
17	1, 1	mulneg1i 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
18	10	negeqi 11475	. . . . . . . . 9 ⊢ -(i · i) = --1
19		negneg1e1 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ --1 = 1
20	17, 18, 19	3eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · i) = 1
21	20	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
22		negicn 11483	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
23		mulass 11217	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
24	22, 1, 23	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
25		mullid 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	21, 24, 25	3eqtr3a 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
27	26	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
28	16, 27	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) + (exp‘𝐴)))
29	8, 9, 28	comraddd 11449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
30	29	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
31	5, 30	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130  ici 11131   + caddc 11132   · cmul 11134  -cneg 11467   / cdiv 11894  2c2 12295  expce 16077  cosccos 16080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-cos 16086

This theorem is referenced by:  rpcoshcl  16175  tanhlt1  16178  sinhpcosh  49604