Theorem coshval 16066

Description: Value of the hyperbolic cosine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coshval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem coshval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11072	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11097	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		cosval 16034	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
6		negcl 11367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7		efcl 15991	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 15991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ixi 11753	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
11	10	oveq1i 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
12		mulass 11101	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
13	1, 1, 12	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
14		mulm1 11565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
15	11, 13, 14	3eqtr3a 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
16	15	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
17	1, 1	mulneg1i 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
18	10	negeqi 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ -(i · i) = --1
19		negneg1e1 12121	. . . . . . . . 9 ⊢ --1 = 1
20	17, 18, 19	3eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · i) = 1
21	20	oveq1i 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
22		negicn 11368	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
23		mulass 11101	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
24	22, 1, 23	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
25		mullid 11118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	21, 24, 25	3eqtr3a 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
27	26	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
28	16, 27	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) + (exp‘𝐴)))
29	8, 9, 28	comraddd 11334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
30	29	oveq1d 7367	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
31	5, 30	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  1c1 11014  ici 11015   + caddc 11016   · cmul 11018  -cneg 11352   / cdiv 11781  2c2 12187  expce 15970  cosccos 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-cos 15979

This theorem is referenced by:  rpcoshcl  16068  tanhlt1  16071  sinhpcosh  49865