Theorem coshval 15218

Description: Value of the hyperbolic cosine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coshval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem coshval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10281	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 10306	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 682	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		cosval 15186	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
6		ixi 10946	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
7	6	oveq1i 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
8		mulass 10310	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
9	1, 1, 8	mp3an12 1576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
10		mulm1 10761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtr3a 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
12	11	fveq2d 6413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
13	1, 1	mulneg1i 10766	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
14	6	negeqi 10563	. . . . . . . . 9 ⊢ -(i · i) = --1
15		negneg1e1 11434	. . . . . . . . 9 ⊢ --1 = 1
16	13, 14, 15	3eqtri 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · i) = 1
17	16	oveq1i 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
18		negicn 10571	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
19		mulass 10310	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
20	18, 1, 19	mp3an12 1576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
21		mulid2 10325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	17, 20, 21	3eqtr3a 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
23	22	fveq2d 6413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
24	12, 23	oveq12d 6894	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) + (exp‘𝐴)))
25		negcl 10570	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
26		efcl 15146	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
28		efcl 15146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
29	27, 28	addcomd 10526	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) + (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
30	24, 29	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
31	30	oveq1d 6891	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
32	5, 31	eqtrd 2831	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ℂcc 10220  1c1 10223  ici 10224   + caddc 10225   · cmul 10227  -cneg 10555   / cdiv 10974  2c2 11364  expce 15125  cosccos 15128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-ico 12426  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-seq 13052  df-exp 13111  df-fac 13310  df-hash 13367  df-shft 14145  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-limsup 14540  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-ef 15131  df-cos 15134

This theorem is referenced by:  rpcoshcl  15220  tanhlt1  15223  sinhpcosh  43271