MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coshval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coshval 16105
Description: Value of the hyperbolic cosine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
coshval (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem coshval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11171 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 11196 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 687 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 cosval 16073 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
53, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
6 negcl 11464 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7 efcl 16032 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
9 efcl 16032 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
10 ixi 11847 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
1110oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
12 mulass 11200 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
131, 1, 12mp3an12 1447 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
14 mulm1 11659 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
1511, 13, 143eqtr3a 2790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
1615fveq2d 6889 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
171, 1mulneg1i 11664 . . . . . . . . 9 (-i · i) = -(i · i)
1810negeqi 11457 . . . . . . . . 9 -(i · i) = --1
19 negneg1e1 12334 . . . . . . . . 9 --1 = 1
2017, 18, 193eqtri 2758 . . . . . . . 8 (-i · i) = 1
2120oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
22 negicn 11465 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
23 mulass 11200 . . . . . . . 8 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
2422, 1, 23mp3an12 1447 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
25 mullid 11217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2621, 24, 253eqtr3a 2790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2726fveq2d 6889 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
2816, 27oveq12d 7423 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) + (exp‘𝐴)))
298, 9, 28comraddd 11432 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
3029oveq1d 7420 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
315, 30eqtrd 2766 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   · cmul 11117  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  expce 16011  cosccos 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-cos 16020
This theorem is referenced by:  rpcoshcl  16107  tanhlt1  16110  sinhpcosh  48056
  Copyright terms: Public domain W3C validator