Theorem coshval 16352

Description: Value of the hyperbolic cosine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coshval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))

Proof of Theorem coshval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11286	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11311	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		cosval 16320	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / 2))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / 2))
6		negcl 11584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7		efcl 16277	. . . . 5 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ixi 11972	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
11	10	oveq1i 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = ( -1 · 𝐴)
12		mulass 11315	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
13	1, 1, 12	mp3an12 1481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
14		mulm1 11784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
15	11, 13, 14	3eqtr3a 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
16	15	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘ -𝐴))
17	1, 1	mulneg1i 11789	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -i · i) = -(i · i)
18	10	negeqi 11577	. . . . . . . . 9 ⊢ -(i · i) = - -1
19		negneg1e1 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ - -1 = 1
20	17, 18, 19	3eqtri 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ( -i · i) = 1
21	20	oveq1i 7453	. . . . . . 7 ⊢ (( -i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
22		negicn 11585	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
23		mulass 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
24	22, 1, 23	mp3an12 1481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
25		mullid 11334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	21, 24, 25	3eqtr3a 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
27	26	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
28	16, 27	oveq12d 7461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘ -𝐴) + (exp‘𝐴)))
29	8, 9, 28	comraddd 11551	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
30	29	oveq1d 7458	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / 2) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
31	5, 30	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228  ici 11229   + caddc 11230   · cmul 11232   -cneg 11569   / cdiv 12000  2c2 12424  expce 16256  cosccos 16259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-cos 16265

This theorem is used by:  rpcoshcl  16354  tanhlt1  16357  sinhpcosh  51113