Theorem coshval 16328

Description: Value of the hyperbolic cosine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coshval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))

Proof of Theorem coshval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11262	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11287	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		cosval 16296	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / 2))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / 2))
6		negcl 11560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7		efcl 16253	. . . . 5 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16253	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ixi 11948	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
11	10	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = ( -1 · 𝐴)
12		mulass 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
13	1, 1, 12	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
14		mulm1 11760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
15	11, 13, 14	3eqtr3a 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
16	15	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘ -𝐴))
17	1, 1	mulneg1i 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -i · i) = -(i · i)
18	10	negeqi 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ -(i · i) = - -1
19		negneg1e1 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ - -1 = 1
20	17, 18, 19	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ( -i · i) = 1
21	20	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (( -i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
22		negicn 11561	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
23		mulass 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
24	22, 1, 23	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
25		mullid 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	21, 24, 25	3eqtr3a 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
27	26	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
28	16, 27	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘ -𝐴) + (exp‘𝐴)))
29	8, 9, 28	comraddd 11527	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
30	29	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / 2) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
31	5, 30	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  expce 16232  cosccos 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-cos 16241

This theorem is used by:  rpcoshcl  16330  tanhlt1  16333  sinhpcosh  51001