MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdadd 15469
Description: The GCD of two numbers is the same as the GCD of the left and their sum. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdadd ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem gcdadd
StepHypRef Expression
1 1z 11676 . . 3 1 ∈ ℤ
2 gcdaddm 15468 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (1 · 𝑀))))
31, 2mp3an1 1565 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (1 · 𝑀))))
4 zcn 11651 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5 mulid2 10327 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℂ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
65oveq2d 6893 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑁 + (1 · 𝑀)) = (𝑁 + 𝑀))
76oveq2d 6893 . . . 4 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 gcd (𝑁 + (1 · 𝑀))) = (𝑀 gcd (𝑁 + 𝑀)))
84, 7syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd (𝑁 + (1 · 𝑀))) = (𝑀 gcd (𝑁 + 𝑀)))
98adantr 468 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑁 + (1 · 𝑀))) = (𝑀 gcd (𝑁 + 𝑀)))
103, 9eqtrd 2847 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  (class class class)co 6877  cc 10222  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  cz 11646   gcd cgcd 15438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-seq 13028  df-exp 13087  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-dvds 15207  df-gcd 15439
This theorem is referenced by:  6gcd4e2  15477  3lcm2e6woprm  15550  pythagtriplem3  15743  ex-gcd  27651
  Copyright terms: Public domain W3C validator