Theorem recan 15262

Description: Cancellation law involving the real part of a complex number. (Contributed by NM, 12-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem recan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11086	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		fvoveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
3		fvoveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
4	2, 3	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
5	4	rspcv 3575	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
7		negicn 11382	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		fvoveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
9		fvoveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
10	8, 9	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -i → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
11	10	rspcv 3575	. . . . . 6 ⊢ (-i ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
13	12	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
14	6, 13	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
15		replim 15041	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16		mullid 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (1 · 𝐴))
18	17	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
19		imre 15033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))))
21	18, 20	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
22	15, 21	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
23		replim 15041	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
24		mullid 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
25	24	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = (1 · 𝐵))
26	25	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
27		imre 15033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
28	27	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐵)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
29	26, 28	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
30	23, 29	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
31	22, 30	eqeqan12d 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))))
32	14, 31	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐵))
34	33	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
35	34	ralrimivw 3125	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
36	32, 35	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033  -cneg 11366  ℜcre 15022  ℑcim 15023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026

This theorem is referenced by:  lnopunilem2  31973