Theorem recan 15261

Description: Cancellation law involving the real part of a complex number. (Contributed by NM, 12-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem recan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11085	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		fvoveq1 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
3		fvoveq1 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
5	4	rspcv 3561	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
7		negicn 11382	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		fvoveq1 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
9		fvoveq1 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -i → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
11	10	rspcv 3561	. . . . . 6 ⊢ (-i ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
13	12	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
14	6, 13	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
15		replim 15040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16		mullid 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (1 · 𝐴))
18	17	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
19		imre 15032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))))
21	18, 20	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
22	15, 21	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
23		replim 15040	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
24		mullid 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
25	24	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = (1 · 𝐵))
26	25	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
27		imre 15032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
28	27	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐵)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
29	26, 28	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
30	23, 29	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
31	22, 30	eqeqan12d 2751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))))
32	14, 31	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐵))
34	33	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
35	34	ralrimivw 3134	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
36	32, 35	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  1c1 11028  ici 11029   + caddc 11030   · cmul 11032  -cneg 11366  ℜcre 15021  ℑcim 15022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025

This theorem is referenced by:  lnopunilem2  32071