Theorem recan 15048

Description: Cancellation law involving the real part of a complex number. (Contributed by NM, 12-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem recan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		fvoveq1 7298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
3		fvoveq1 7298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
4	2, 3	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
5	4	rspcv 3557	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
7		negicn 11222	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		fvoveq1 7298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
9		fvoveq1 7298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
10	8, 9	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -i → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
11	10	rspcv 3557	. . . . . 6 ⊢ (-i ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
13	12	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
14	6, 13	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
15		replim 14827	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16		mulid2 10974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (1 · 𝐴))
18	17	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
19		imre 14819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))))
21	18, 20	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
22	15, 21	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
23		replim 14827	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
24		mulid2 10974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
25	24	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = (1 · 𝐵))
26	25	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
27		imre 14819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
28	27	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐵)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
29	26, 28	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
30	23, 29	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
31	22, 30	eqeqan12d 2752	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))))
32	14, 31	syl5ibr 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7283	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐵))
34	33	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
35	34	ralrimivw 3104	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
36	32, 35	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876  -cneg 11206  ℜcre 14808  ℑcim 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812

This theorem is referenced by:  lnopunilem2  30373