MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfac1 15601
Description: The value of falling factorial at one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfac1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac 1) = 𝐴)

Proof of Theorem fallfac1
StepHypRef Expression
1 0p1e1 11957 . . 3 (0 + 1) = 1
21oveq2i 7229 . 2 (𝐴 FallFac (0 + 1)) = (𝐴 FallFac 1)
3 0nn0 12110 . . . 4 0 ∈ ℕ0
4 fallfacp1 15597 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (0 + 1)) = ((𝐴 FallFac 0) · (𝐴 − 0)))
53, 4mpan2 691 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac (0 + 1)) = ((𝐴 FallFac 0) · (𝐴 − 0)))
6 fallfac0 15595 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac 0) = 1)
7 subid1 11103 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
86, 7oveq12d 7236 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 FallFac 0) · (𝐴 − 0)) = (1 · 𝐴))
9 mulid2 10837 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
105, 8, 93eqtrd 2781 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac (0 + 1)) = 𝐴)
112, 10eqtr3id 2792 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7218  cc 10732  0cc0 10734  1c1 10735   + caddc 10737   · cmul 10739  cmin 11067  0cn0 12095   FallFac cfallfac 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-inf2 9261  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811  ax-pre-sup 10812
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-int 4865  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-isom 6394  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-er 8396  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-sup 9063  df-oi 9131  df-card 9560  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-div 11495  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-n0 12096  df-z 12182  df-uz 12444  df-rp 12592  df-fz 13101  df-fzo 13244  df-seq 13580  df-exp 13641  df-hash 13902  df-cj 14667  df-re 14668  df-im 14669  df-sqrt 14803  df-abs 14804  df-clim 15054  df-prod 15473  df-risefac 15573  df-fallfac 15574
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator