Theorem div1 11950

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
div1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullid 11259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2		ax-1cn 11212	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		ax-1ne0 11223	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
4	2, 3	pm3.2i 469	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
5		divmul 11922	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)) → ((𝐴 / 1) = 𝐴 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
6	4, 5	mp3an3 1446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 1) = 𝐴 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
7	6	anidms 565	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 1) = 𝐴 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
8	1, 7	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7423  ℂcc 11152  0cc0 11154  1c1 11155   · cmul 11159   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918

This theorem is referenced by:  1div1e1  11951  divdiv1  11972  divdiv2  11973  div1i  11989  div1d  12029  ef4p  16110  efgt1p2  16111  efgt1p  16112  dveflem  25994  logneg2  26634