MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubdii 11544
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 6-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
negsubdii -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem negsubdii
StepHypRef Expression
1 negidi.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
2 pncan3i.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
32negcli 11527 . . 3 -𝐵 ∈ ℂ
41, 3negdii 11543 . 2 -(𝐴 + -𝐵) = (-𝐴 + --𝐵)
51, 2negsubi 11537 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵)
65negeqi 11452 . 2 -(𝐴 + -𝐵) = -(𝐴𝐵)
72negnegi 11529 . . 3 --𝐵 = 𝐵
87oveq2i 7419 . 2 (-𝐴 + --𝐵) = (-𝐴 + 𝐵)
94, 6, 83eqtr3i 2768 1 -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7408  cc 11107   + caddc 11112  cmin 11443  -cneg 11444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446
This theorem is referenced by:  negsubdi2i  11545  ang180lem2  26312  ang180lem3  26313  archirngz  32330
  Copyright terms: Public domain W3C validator