Theorem negsubi 11614

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Nov-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
negsubi	⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)

Proof of Theorem negsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3i.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		negsub 11584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  negsubdii  11621  negsubdi2i  11622  crreczi  14277  modsubi  17119  cosq14gt0  26570  cosq14ge0  26571  cosne0  26589  resinf1o  26596  eff1o  26609  1cubrlem  26902  acosbnd  26961  atanlogsublem  26976  dvatan  26996  log2cnv  27005  lgsdir2lem1  27387  addsqnreup  27505  ax5seglem7  28968  normlem9  31150  normpari  31186  polid2i  31189  lnophmlem2  32049  ballotlem2  34453  quad3  35638  cosnegpi  45788  dirkertrigeqlem3  46021  3exp4mod41  47490  zlmodzxzequap  48228