Theorem ang180lem3 27139

Description: Lemma for ang180 27142. Since ang180lem1 27137 shows that 𝑁 is an integer and ang180lem2 27138 shows that 𝑁 is strictly between -2 and 1, it follows that 𝑁 ∈ { -1, 0}, and these two cases correspond to the two possible values for 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ang180lem1.2	⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
ang180lem1.3	⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))

Assertion

Ref	Expression
ang180lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ { -(i · π), (i · π)})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ang180lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ang180lem1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
2		ang.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3		ang180lem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
4	2, 3, 1	ang180lem2 27138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ( -2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1))
5	4	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < 1)
6		1e0p1 12861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0 + 1)
7	5, 6	breqtrdi 5145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < (0 + 1))
8	2, 3, 1	ang180lem1 27137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ))
9	8	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		0z 12704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		zleltp1 12747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
12	9, 10, 11	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
13	7, 12	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ≤ 0)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
15		zlem1lt 12748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁))
16	10, 9, 15	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁))
17		df-neg 11544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 = (0 − 1)
18	17	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( -1 < 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁)
19	16, 18	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ 𝑁 ↔ -1 < 𝑁))
20	19	biimpar 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
21	9	zred 12803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		0re 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		letri3 11395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
25	22, 23, 24	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
26	14, 20, 25	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 = 0)
27	1, 26	eqtr3id 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0)
28		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		subcl 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
33	32	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
34		subeq0 11584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
35	28, 29, 34	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
36	35	necon3bid 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
37	33, 36	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
38	31, 37	reccld 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
39	31, 37	recne0d 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0)
40	38, 39	logcld 26898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
41		subcl 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
42	29, 28, 41	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
43		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 0)
44	42, 29, 43	divcld 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ)
45		subeq0 11584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
46	29, 28, 45	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
47	46	necon3bid 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
48	32, 47	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
49	42, 29, 48, 43	divne0d 12109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0)
50	44, 49	logcld 26898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ)
51	40, 50	addcld 11328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ)
52		logcl 26896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
54	51, 53	addcld 11328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	3, 54	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ ℂ)
56		ax-icn 11259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ∈ ℂ)
58		ine0 11751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ≠ 0)
60	55, 57, 59	divcld 12093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
61		2cn 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
62		picn 26785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
63	61, 62	mulcli 11316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℂ)
65		2ne0 12449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
66		pire 26783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≠ 0
69	61, 62, 65, 68	mulne0i 11959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · π) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ≠ 0)
71	60, 64, 70	divcld 12093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ)
72	71	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ)
73		halfcn 12560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
74		subeq0 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2)))
75	72, 73, 74	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2)))
76	27, 75	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2))
77	60	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
78	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (2 · π) ∈ ℂ)
79	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℂ)
80	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (2 · π) ≠ 0)
81	77, 78, 79, 80	divmuld 12115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2) ↔ ((2 · π) · (1 / 2)) = (𝑇 / i)))
82	76, 81	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((2 · π) · (1 / 2)) = (𝑇 / i))
83	63, 61, 65	divreci 12062	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) / 2) = ((2 · π) · (1 / 2))
84	62, 61, 65	divcan3i 12063	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) / 2) = π
85	83, 84	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) · (1 / 2)) = π
86	82, 85	eqtr3di 2810	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 / i) = π)
87	55	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑇 ∈ ℂ)
88	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → i ∈ ℂ)
89	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → π ∈ ℂ)
90	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → i ≠ 0)
91	87, 88, 89, 90	divmuld 12115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) = π ↔ (i · π) = 𝑇))
92	86, 91	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (i · π) = 𝑇)
93	92	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑇 = (i · π))
94	93	olcd 888	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
95	62, 56	mulneg1i 11762	. . . . . . 7 ⊢ ( -π · i) = -(π · i)
96	62, 56	mulcomi 11317	. . . . . . . 8 ⊢ (π · i) = (i · π)
97	96	negeqi 11550	. . . . . . 7 ⊢ -(π · i) = -(i · π)
98	95, 97	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ( -π · i) = -(i · π)
99	73, 63	mulneg1i 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -(1 / 2) · (2 · π)) = -((1 / 2) · (2 · π))
100	28, 61, 65	divcan1i 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
101	100	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2) · 2) · π) = (1 · π)
102	73, 61, 62	mulassi 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2) · 2) · π) = ((1 / 2) · (2 · π))
103	62	mullidi 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
104	101, 102, 103	3eqtr3i 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = π
105	104	negeqi 11550	. . . . . . . . . 10 ⊢ -((1 / 2) · (2 · π)) = -π
106	99, 105	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(1 / 2) · (2 · π)) = -π
107	28, 73	negsubdii 11643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = ( -1 + (1 / 2))
108		1mhlfehlf 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
109	108	negeqi 11550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = -(1 / 2)
110	107, 109	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -1 + (1 / 2)) = -(1 / 2)
111		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -1 = 𝑁)
112	111, 1	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -1 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)))
113	112	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ( -1 + (1 / 2)) = ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)))
114	110, 113	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(1 / 2) = ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)))
115		npcan 11566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
116	71, 73, 115	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
117	116	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
118	114, 117	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(1 / 2) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
119	118	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ( -(1 / 2) · (2 · π)) = (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)))
120	106, 119	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -π = (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)))
121	60, 64, 70	divcan1d 12094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑇 / i))
122	121	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑇 / i))
123	120, 122	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -π = (𝑇 / i))
124	123	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ( -π · i) = ((𝑇 / i) · i))
125	98, 124	eqtr3id 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(i · π) = ((𝑇 / i) · i))
126	55, 57, 59	divcan1d 12094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) · i) = 𝑇)
127	126	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ((𝑇 / i) · i) = 𝑇)
128	125, 127	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → 𝑇 = -(i · π))
129	128	orcd 887	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
130		df-2 12405	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
131	130	negeqi 11550	. . . . . . 7 ⊢ -2 = -(1 + 1)
132		negdi2 11616	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = ( -1 − 1))
133	28, 28, 132	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ -(1 + 1) = ( -1 − 1)
134	131, 133	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ -2 = ( -1 − 1)
135	4	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 < 𝑁)
136	134, 135	eqbrtrrid 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ( -1 − 1) < 𝑁)
137		neg1z 12732	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
138		zlem1lt 12748	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1 ≤ 𝑁 ↔ ( -1 − 1) < 𝑁))
139	137, 9, 138	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ( -1 ≤ 𝑁 ↔ ( -1 − 1) < 𝑁))
140	136, 139	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -1 ≤ 𝑁)
141		neg1rr 12306	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
142		leloe 11396	. . . . 5 ⊢ (( -1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ( -1 ≤ 𝑁 ↔ ( -1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁)))
143	141, 21, 142	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ( -1 ≤ 𝑁 ↔ ( -1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁)))
144	140, 143	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ( -1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁))
145	94, 129, 144	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
146	3	ovexi 7454	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
147	146	elpr 4608	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ { -(i · π), (i · π)} ↔ (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
148	145, 147	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ { -(i · π), (i · π)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤcz 12693  ℑcim 15265  πcpi 16232  logclog 26882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884

This theorem is used by:  ang180lem4  27140