MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180lem3 26161
Description: Lemma for ang180 26164. Since ang180lem1 26159 shows that 𝑁 is an integer and ang180lem2 26160 shows that 𝑁 is strictly between -2 and 1, it follows that 𝑁 ∈ {-1, 0}, and these two cases correspond to the two possible values for 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ang180lem1.2 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
ang180lem1.3 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
ang180lem3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ {-(i · π), (i · π)})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180lem3
StepHypRef Expression
1 ang180lem1.3 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
2 ang.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
42, 3, 1ang180lem2 26160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 < 𝑁𝑁 < 1))
54simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < 1)
6 1e0p1 12660 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0 + 1)
75, 6breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < (0 + 1))
82, 3, 1ang180lem1 26159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ))
98simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 0z 12510 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
11 zleltp1 12554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
129, 10, 11sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
137, 12mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ≤ 0)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
15 zlem1lt 12555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁))
1610, 9, 15sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁))
17 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 = (0 − 1)
1817breq1i 5112 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 < 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁)
1916, 18bitr4di 288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ 𝑁 ↔ -1 < 𝑁))
2019biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
219zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 0re 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
24 letri3 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
2522, 23, 24sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
2614, 20, 25mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 = 0)
271, 26eqtr3id 2790 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0)
28 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
29 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
30 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
3128, 29, 30sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
32 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
3332necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
34 subeq0 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
3528, 29, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
3635necon3bid 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
3733, 36mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
3831, 37reccld 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
3931, 37recne0d 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0)
4038, 39logcld 25926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
41 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
4229, 28, 41sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
43 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 0)
4442, 29, 43divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ)
45 subeq0 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4629, 28, 45sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4746necon3bid 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
4832, 47mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
4942, 29, 48, 43divne0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0)
5044, 49logcld 25926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ)
5140, 50addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ)
52 logcl 25924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
53523adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5451, 53addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
553, 54eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ ℂ)
56 ax-icn 11110 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ∈ ℂ)
58 ine0 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 i ≠ 0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ≠ 0)
6055, 57, 59divcld 11931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
61 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
62 picn 25816 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
6361, 62mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) ∈ ℂ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℂ)
65 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
66 pire 25815 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
67 pipos 25817 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
6866, 67gt0ne0ii 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 π ≠ 0
6961, 62, 65, 68mulne0i 11798 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ≠ 0)
7160, 64, 70divcld 11931 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ)
7271adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ)
73 halfcn 12368 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
74 subeq0 11427 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2)))
7572, 73, 74sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2)))
7627, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2))
7760adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
7863a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (2 · π) ∈ ℂ)
7973a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℂ)
8069a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (2 · π) ≠ 0)
8177, 78, 79, 80divmuld 11953 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2) ↔ ((2 · π) · (1 / 2)) = (𝑇 / i)))
8276, 81mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((2 · π) · (1 / 2)) = (𝑇 / i))
8363, 61, 65divreci 11900 . . . . . . . 8 ((2 · π) / 2) = ((2 · π) · (1 / 2))
8462, 61, 65divcan3i 11901 . . . . . . . 8 ((2 · π) / 2) = π
8583, 84eqtr3i 2766 . . . . . . 7 ((2 · π) · (1 / 2)) = π
8682, 85eqtr3di 2791 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 / i) = π)
8755adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑇 ∈ ℂ)
8856a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → i ∈ ℂ)
8962a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → π ∈ ℂ)
9058a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → i ≠ 0)
9187, 88, 89, 90divmuld 11953 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) = π ↔ (i · π) = 𝑇))
9286, 91mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (i · π) = 𝑇)
9392eqcomd 2742 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑇 = (i · π))
9493olcd 872 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
9562, 56mulneg1i 11601 . . . . . . 7 (-π · i) = -(π · i)
9662, 56mulcomi 11163 . . . . . . . 8 (π · i) = (i · π)
9796negeqi 11394 . . . . . . 7 -(π · i) = -(i · π)
9895, 97eqtri 2764 . . . . . 6 (-π · i) = -(i · π)
9973, 63mulneg1i 11601 . . . . . . . . . 10 (-(1 / 2) · (2 · π)) = -((1 / 2) · (2 · π))
10028, 61, 65divcan1i 11899 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) · 2) = 1
101100oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) · 2) · π) = (1 · π)
10273, 61, 62mulassi 11166 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) · 2) · π) = ((1 / 2) · (2 · π))
10362mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . 12 (1 · π) = π
104101, 102, 1033eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) · (2 · π)) = π
105104negeqi 11394 . . . . . . . . . 10 -((1 / 2) · (2 · π)) = -π
10699, 105eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (-(1 / 2) · (2 · π)) = -π
10728, 73negsubdii 11486 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 − (1 / 2)) = (-1 + (1 / 2))
108 1mhlfehlf 12372 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
109108negeqi 11394 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 − (1 / 2)) = -(1 / 2)
110107, 109eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . 12 (-1 + (1 / 2)) = -(1 / 2)
111 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -1 = 𝑁)
112111, 1eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -1 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)))
113112oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (-1 + (1 / 2)) = ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)))
114110, 113eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(1 / 2) = ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)))
115 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
11671, 73, 115sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
117116adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
118114, 117eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(1 / 2) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
119118oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (-(1 / 2) · (2 · π)) = (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)))
120106, 119eqtr3id 2790 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -π = (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)))
12160, 64, 70divcan1d 11932 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑇 / i))
122121adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑇 / i))
123120, 122eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -π = (𝑇 / i))
124123oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (-π · i) = ((𝑇 / i) · i))
12598, 124eqtr3id 2790 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(i · π) = ((𝑇 / i) · i))
12655, 57, 59divcan1d 11932 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) · i) = 𝑇)
127126adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ((𝑇 / i) · i) = 𝑇)
128125, 127eqtr2d 2777 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → 𝑇 = -(i · π))
129128orcd 871 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
130 df-2 12216 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
131130negeqi 11394 . . . . . . 7 -2 = -(1 + 1)
132 negdi2 11459 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
13328, 28, 132mp2an 690 . . . . . . 7 -(1 + 1) = (-1 − 1)
134131, 133eqtri 2764 . . . . . 6 -2 = (-1 − 1)
1354simpld 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 < 𝑁)
136134, 135eqbrtrrid 5141 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 − 1) < 𝑁)
137 neg1z 12539 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
138 zlem1lt 12555 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 − 1) < 𝑁))
139137, 9, 138sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 − 1) < 𝑁))
140136, 139mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -1 ≤ 𝑁)
141 neg1rr 12268 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
142 leloe 11241 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁)))
143141, 21, 142sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁)))
144140, 143mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁))
14594, 129, 144mpjaodan 957 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
1463ovexi 7391 . . 3 𝑇 ∈ V
147146elpr 4609 . 2 (𝑇 ∈ {-(i · π), (i · π)} ↔ (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
148145, 147sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ {-(i · π), (i · π)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  cz 12499  cim 14983  πcpi 15949  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912
This theorem is referenced by:  ang180lem4  26162
  Copyright terms: Public domain W3C validator