Theorem ang180lem3 26794

Description: Lemma for ang180 26797. Since ang180lem1 26792 shows that 𝑁 is an integer and ang180lem2 26793 shows that 𝑁 is strictly between -2 and 1, it follows that 𝑁 ∈ {-1, 0}, and these two cases correspond to the two possible values for 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ang180lem1.2	⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
ang180lem1.3	⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))

Assertion

Ref	Expression
ang180lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ {-(i · π), (i · π)})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ang180lem1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
2		ang.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3		ang180lem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
4	2, 3, 1	ang180lem2 26793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1))
5	4	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < 1)
6		1e0p1 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0 + 1)
7	5, 6	breqtrdi 5141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < (0 + 1))
8	2, 3, 1	ang180lem1 26792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ))
9	8	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		0z 12513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		zleltp1 12556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
12	9, 10, 11	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
13	7, 12	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ≤ 0)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
15		zlem1lt 12557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁))
16	10, 9, 15	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁))
17		df-neg 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 = (0 − 1)
18	17	breq1i 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 < 𝑁 ↔ (0 − 1) < 𝑁)
19	16, 18	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ 𝑁 ↔ -1 < 𝑁))
20	19	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
21	9	zred 12610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		0re 11148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		letri3 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
25	22, 23, 24	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
26	14, 20, 25	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑁 = 0)
27	1, 26	eqtr3id 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0)
28		ax-1cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		subcl 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
33	32	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
34		subeq0 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
35	28, 29, 34	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
36	35	necon3bid 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
38	31, 37	reccld 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
39	31, 37	recne0d 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0)
40	38, 39	logcld 26552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
41		subcl 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
42	29, 28, 41	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
43		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 0)
44	42, 29, 43	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ)
45		subeq0 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
46	29, 28, 45	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
47	46	necon3bid 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
48	32, 47	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
49	42, 29, 48, 43	divne0d 11947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0)
50	44, 49	logcld 26552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ)
51	40, 50	addcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ)
52		logcl 26550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
54	51, 53	addcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	3, 54	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ ℂ)
56		ax-icn 11099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ∈ ℂ)
58		ine0 11586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ≠ 0)
60	55, 57, 59	divcld 11931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
61		2cn 12234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
62		picn 26440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
63	61, 62	mulcli 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℂ)
65		2ne0 12263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
66		pire 26439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≠ 0
69	61, 62, 65, 68	mulne0i 11794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · π) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ≠ 0)
71	60, 64, 70	divcld 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ)
73		halfcn 12369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
74		subeq0 11421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2)))
75	72, 73, 74	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = 0 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2)))
76	27, 75	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2))
77	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
78	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (2 · π) ∈ ℂ)
79	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℂ)
80	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (2 · π) ≠ 0)
81	77, 78, 79, 80	divmuld 11953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) = (1 / 2) ↔ ((2 · π) · (1 / 2)) = (𝑇 / i)))
82	76, 81	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((2 · π) · (1 / 2)) = (𝑇 / i))
83	63, 61, 65	divreci 11900	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) / 2) = ((2 · π) · (1 / 2))
84	62, 61, 65	divcan3i 11901	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) / 2) = π
85	83, 84	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) · (1 / 2)) = π
86	82, 85	eqtr3di 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 / i) = π)
87	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑇 ∈ ℂ)
88	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → i ∈ ℂ)
89	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → π ∈ ℂ)
90	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → i ≠ 0)
91	87, 88, 89, 90	divmuld 11953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → ((𝑇 / i) = π ↔ (i · π) = 𝑇))
92	86, 91	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (i · π) = 𝑇)
93	92	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → 𝑇 = (i · π))
94	93	olcd 875	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 < 𝑁) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
95	62, 56	mulneg1i 11597	. . . . . . 7 ⊢ (-π · i) = -(π · i)
96	62, 56	mulcomi 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (π · i) = (i · π)
97	96	negeqi 11387	. . . . . . 7 ⊢ -(π · i) = -(i · π)
98	95, 97	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (-π · i) = -(i · π)
99	73, 63	mulneg1i 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(1 / 2) · (2 · π)) = -((1 / 2) · (2 · π))
100	28, 61, 65	divcan1i 11899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
101	100	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2) · 2) · π) = (1 · π)
102	73, 61, 62	mulassi 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2) · 2) · π) = ((1 / 2) · (2 · π))
103	62	mullidi 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
104	101, 102, 103	3eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = π
105	104	negeqi 11387	. . . . . . . . . 10 ⊢ -((1 / 2) · (2 · π)) = -π
106	99, 105	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(1 / 2) · (2 · π)) = -π
107	28, 73	negsubdii 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = (-1 + (1 / 2))
108		1mhlfehlf 12374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
109	108	negeqi 11387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = -(1 / 2)
110	107, 109	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 + (1 / 2)) = -(1 / 2)
111		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -1 = 𝑁)
112	111, 1	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -1 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)))
113	112	oveq1d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (-1 + (1 / 2)) = ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)))
114	110, 113	eqtr3id 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(1 / 2) = ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)))
115		npcan 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
116	71, 73, 115	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
118	114, 117	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(1 / 2) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
119	118	oveq1d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (-(1 / 2) · (2 · π)) = (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)))
120	106, 119	eqtr3id 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -π = (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)))
121	60, 64, 70	divcan1d 11932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑇 / i))
122	121	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑇 / i))
123	120, 122	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -π = (𝑇 / i))
124	123	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (-π · i) = ((𝑇 / i) · i))
125	98, 124	eqtr3id 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → -(i · π) = ((𝑇 / i) · i))
126	55, 57, 59	divcan1d 11932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) · i) = 𝑇)
127	126	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → ((𝑇 / i) · i) = 𝑇)
128	125, 127	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → 𝑇 = -(i · π))
129	128	orcd 874	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ -1 = 𝑁) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
130		df-2 12222	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
131	130	negeqi 11387	. . . . . . 7 ⊢ -2 = -(1 + 1)
132		negdi2 11453	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
133	28, 28, 132	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ -(1 + 1) = (-1 − 1)
134	131, 133	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ -2 = (-1 − 1)
135	4	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 < 𝑁)
136	134, 135	eqbrtrrid 5136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 − 1) < 𝑁)
137		neg1z 12541	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
138		zlem1lt 12557	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 − 1) < 𝑁))
139	137, 9, 138	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 − 1) < 𝑁))
140	136, 139	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -1 ≤ 𝑁)
141		neg1rr 12145	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
142		leloe 11233	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁)))
143	141, 21, 142	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 ≤ 𝑁 ↔ (-1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁)))
144	140, 143	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 < 𝑁 ∨ -1 = 𝑁))
145	94, 129, 144	mpjaodan 961	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
146	3	ovexi 7404	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
147	146	elpr 4607	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ {-(i · π), (i · π)} ↔ (𝑇 = -(i · π) ∨ 𝑇 = (i · π)))
148	145, 147	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ {-(i · π), (i · π)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041  ici 11042   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  -cneg 11379   / cdiv 11808  2c2 12214  ℤcz 12502  ℑcim 15035  πcpi 16003  logclog 26536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 15004  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-ef 16004  df-sin 16006  df-cos 16007  df-pi 16009  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-haus 23276  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-limc 25840  df-dv 25841  df-log 26538

This theorem is referenced by:  ang180lem4  26795