MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180lem3 26659
Description: Lemma for ang180 26662. Since ang180lem1 26657 shows that ๐‘ is an integer and ang180lem2 26658 shows that ๐‘ is strictly between -2 and 1, it follows that ๐‘ โˆˆ {-1, 0}, and these two cases correspond to the two possible values for ๐‘‡. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
ang180lem1.2 ๐‘‡ = (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))
ang180lem1.3 ๐‘ = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
ang180lem3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ {-(i ยท ฯ€), (i ยท ฯ€)})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem ang180lem3
StepHypRef Expression
1 ang180lem1.3 . . . . . . . . . 10 ๐‘ = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))
2 ang.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
3 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‡ = (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))
42, 3, 1ang180lem2 26658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-2 < ๐‘ โˆง ๐‘ < 1))
54simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ < 1)
6 1e0p1 12716 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0 + 1)
75, 6breqtrdi 5179 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ < (0 + 1))
82, 3, 1ang180lem1 26657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„))
98simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 0z 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
11 zleltp1 12610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†” ๐‘ < (0 + 1)))
129, 10, 11sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†” ๐‘ < (0 + 1)))
137, 12mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ โ‰ค 0)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค 0)
15 zlem1lt 12611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” (0 โˆ’ 1) < ๐‘))
1610, 9, 15sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” (0 โˆ’ 1) < ๐‘))
17 df-neg 11444 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 = (0 โˆ’ 1)
1817breq1i 5145 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 < ๐‘ โ†” (0 โˆ’ 1) < ๐‘)
1916, 18bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” -1 < ๐‘))
2019biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
219zred 12663 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
23 0re 11213 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
24 letri3 11296 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐‘)))
2522, 23, 24sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ๐‘)))
2614, 20, 25mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ๐‘ = 0)
271, 26eqtr3id 2778 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) = 0)
28 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
29 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 subcl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3128, 29, 30sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
32 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  1)
3332necomd 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
34 subeq0 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
3528, 29, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
3635necon3bid 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ด))
3733, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
3831, 37reccld 11980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3931, 37recne0d 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
4038, 39logcld 26421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
41 subcl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4229, 28, 41sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
43 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  0)
4442, 29, 43divcld 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
45 subeq0 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) = 0 โ†” ๐ด = 1))
4629, 28, 45sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) = 0 โ†” ๐ด = 1))
4746necon3bid 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  1))
4832, 47mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰  0)
4942, 29, 48, 43divne0d 12003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โ‰  0)
5044, 49logcld 26421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5140, 50addcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
52 logcl 26419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
53523adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5451, 53addcld 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
553, 54eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
56 ax-icn 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 i โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
58 ine0 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 i โ‰  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ i โ‰  0)
6055, 57, 59divcld 11987 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„‚)
61 2cn 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
62 picn 26311 . . . . . . . . . . . . . 14 ฯ€ โˆˆ โ„‚
6361, 62mulcli 11218 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
65 2ne0 12313 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
66 pire 26310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ฯ€ โˆˆ โ„
67 pipos 26312 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < ฯ€
6866, 67gt0ne0ii 11747 . . . . . . . . . . . . . 14 ฯ€ โ‰  0
6961, 62, 65, 68mulne0i 11854 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท ฯ€) โ‰  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
7160, 64, 70divcld 11987 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
73 halfcn 12424 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
74 subeq0 11483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) = 0 โ†” ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) = (1 / 2)))
7572, 73, 74sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) = 0 โ†” ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) = (1 / 2)))
7627, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) = (1 / 2))
7760adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„‚)
7863a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
7973a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
8069a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
8177, 78, 79, 80divmuld 12009 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) = (1 / 2) โ†” ((2 ยท ฯ€) ยท (1 / 2)) = (๐‘‡ / i)))
8276, 81mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ((2 ยท ฯ€) ยท (1 / 2)) = (๐‘‡ / i))
8363, 61, 65divreci 11956 . . . . . . . 8 ((2 ยท ฯ€) / 2) = ((2 ยท ฯ€) ยท (1 / 2))
8462, 61, 65divcan3i 11957 . . . . . . . 8 ((2 ยท ฯ€) / 2) = ฯ€
8583, 84eqtr3i 2754 . . . . . . 7 ((2 ยท ฯ€) ยท (1 / 2)) = ฯ€
8682, 85eqtr3di 2779 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (๐‘‡ / i) = ฯ€)
8755adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
8856a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
8962a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
9058a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ i โ‰  0)
9187, 88, 89, 90divmuld 12009 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ((๐‘‡ / i) = ฯ€ โ†” (i ยท ฯ€) = ๐‘‡))
9286, 91mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (i ยท ฯ€) = ๐‘‡)
9392eqcomd 2730 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ ๐‘‡ = (i ยท ฯ€))
9493olcd 871 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 < ๐‘) โ†’ (๐‘‡ = -(i ยท ฯ€) โˆจ ๐‘‡ = (i ยท ฯ€)))
9562, 56mulneg1i 11657 . . . . . . 7 (-ฯ€ ยท i) = -(ฯ€ ยท i)
9662, 56mulcomi 11219 . . . . . . . 8 (ฯ€ ยท i) = (i ยท ฯ€)
9796negeqi 11450 . . . . . . 7 -(ฯ€ ยท i) = -(i ยท ฯ€)
9895, 97eqtri 2752 . . . . . 6 (-ฯ€ ยท i) = -(i ยท ฯ€)
9973, 63mulneg1i 11657 . . . . . . . . . 10 (-(1 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = -((1 / 2) ยท (2 ยท ฯ€))
10028, 61, 65divcan1i 11955 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) ยท 2) = 1
101100oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ยท 2) ยท ฯ€) = (1 ยท ฯ€)
10273, 61, 62mulassi 11222 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ยท 2) ยท ฯ€) = ((1 / 2) ยท (2 ยท ฯ€))
10362mullidi 11216 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท ฯ€) = ฯ€
104101, 102, 1033eqtr3i 2760 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = ฯ€
105104negeqi 11450 . . . . . . . . . 10 -((1 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = -ฯ€
10699, 105eqtri 2752 . . . . . . . . 9 (-(1 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = -ฯ€
10728, 73negsubdii 11542 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 โˆ’ (1 / 2)) = (-1 + (1 / 2))
108 1mhlfehlf 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2)
109108negeqi 11450 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 โˆ’ (1 / 2)) = -(1 / 2)
110107, 109eqtr3i 2754 . . . . . . . . . . . 12 (-1 + (1 / 2)) = -(1 / 2)
111 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ -1 = ๐‘)
112111, 1eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ -1 = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)))
113112oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ (-1 + (1 / 2)) = ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2)))
114110, 113eqtr3id 2778 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ -(1 / 2) = ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2)))
115 npcan 11466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
11671, 73, 115sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
117116adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
118114, 117eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ -(1 / 2) = ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
119118oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ (-(1 / 2) ยท (2 ยท ฯ€)) = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) ยท (2 ยท ฯ€)))
120106, 119eqtr3id 2778 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ -ฯ€ = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) ยท (2 ยท ฯ€)))
12160, 64, 70divcan1d 11988 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) ยท (2 ยท ฯ€)) = (๐‘‡ / i))
122121adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) ยท (2 ยท ฯ€)) = (๐‘‡ / i))
123120, 122eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ -ฯ€ = (๐‘‡ / i))
124123oveq1d 7416 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ (-ฯ€ ยท i) = ((๐‘‡ / i) ยท i))
12598, 124eqtr3id 2778 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ -(i ยท ฯ€) = ((๐‘‡ / i) ยท i))
12655, 57, 59divcan1d 11988 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) ยท i) = ๐‘‡)
127126adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ ((๐‘‡ / i) ยท i) = ๐‘‡)
128125, 127eqtr2d 2765 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ ๐‘‡ = -(i ยท ฯ€))
129128orcd 870 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โˆง -1 = ๐‘) โ†’ (๐‘‡ = -(i ยท ฯ€) โˆจ ๐‘‡ = (i ยท ฯ€)))
130 df-2 12272 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
131130negeqi 11450 . . . . . . 7 -2 = -(1 + 1)
132 negdi2 11515 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -(1 + 1) = (-1 โˆ’ 1))
13328, 28, 132mp2an 689 . . . . . . 7 -(1 + 1) = (-1 โˆ’ 1)
134131, 133eqtri 2752 . . . . . 6 -2 = (-1 โˆ’ 1)
1354simpld 494 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -2 < ๐‘)
136134, 135eqbrtrrid 5174 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-1 โˆ’ 1) < ๐‘)
137 neg1z 12595 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„ค
138 zlem1lt 12611 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1 โ‰ค ๐‘ โ†” (-1 โˆ’ 1) < ๐‘))
139137, 9, 138sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-1 โ‰ค ๐‘ โ†” (-1 โˆ’ 1) < ๐‘))
140136, 139mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -1 โ‰ค ๐‘)
141 neg1rr 12324 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„
142 leloe 11297 . . . . 5 ((-1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (-1 โ‰ค ๐‘ โ†” (-1 < ๐‘ โˆจ -1 = ๐‘)))
143141, 21, 142sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-1 โ‰ค ๐‘ โ†” (-1 < ๐‘ โˆจ -1 = ๐‘)))
144140, 143mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-1 < ๐‘ โˆจ -1 = ๐‘))
14594, 129, 144mpjaodan 955 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ = -(i ยท ฯ€) โˆจ ๐‘‡ = (i ยท ฯ€)))
1463ovexi 7435 . . 3 ๐‘‡ โˆˆ V
147146elpr 4643 . 2 (๐‘‡ โˆˆ {-(i ยท ฯ€), (i ยท ฯ€)} โ†” (๐‘‡ = -(i ยท ฯ€) โˆจ ๐‘‡ = (i ยท ฯ€)))
148145, 147sylibr 233 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ {-(i ยท ฯ€), (i ยท ฯ€)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   โˆ– cdif 3937  {csn 4620  {cpr 4622   class class class wbr 5138  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   โˆˆ cmpo 7403  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  โ„คcz 12555  โ„‘cim 15042  ฯ€cpi 16007  logclog 26405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407
This theorem is referenced by:  ang180lem4  26660
  Copyright terms: Public domain W3C validator