Theorem negsubdi2i 11421

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 1-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2i	⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)

Proof of Theorem negsubdi2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3i.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	negsubdii 11420	. 2 ⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 + 𝐵)
4	1	negcli 11403	. . 3 ⊢ -𝐴 ∈ ℂ
5	2, 1	negsubi 11413	. . 3 ⊢ (𝐵 + -𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
6	2, 4, 5	addcomli 11281	. 2 ⊢ (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)
7	3, 6	eqtri 2766	1 ⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7350  ℂcc 10983   + caddc 10988   − cmin 11319  -cneg 11320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-sub 11321  df-neg 11322

This theorem is referenced by:  zeo  12523  geo2sum2  15695  bpoly2  15876  bpoly3  15877  cos2bnd  16006  3dvds  16149  ppiub  26480  ax5seglem7  27689  ipasslem10  29586  norm3adifii  29895  lnophmlem2  30764  ballotlem2  32868  lhe4.4ex1a  42410  stoweidlem26  44058  dirkertrigeqlem3  44132