MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdi2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubdi2i 11542
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 1-Oct-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
negsubdi2i -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)

Proof of Theorem negsubdi2i
StepHypRef Expression
1 negidi.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
2 pncan3i.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
31, 2negsubdii 11541 . 2 -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵)
41negcli 11524 . . 3 -𝐴 ∈ ℂ
52, 1negsubi 11534 . . 3 (𝐵 + -𝐴) = (𝐵𝐴)
62, 4, 5addcomli 11402 . 2 (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵𝐴)
73, 6eqtri 2760 1 -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7405  cc 11104   + caddc 11109  cmin 11440  -cneg 11441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443
This theorem is referenced by:  zeo  12644  geo2sum2  15816  bpoly2  15997  bpoly3  15998  cos2bnd  16127  3dvds  16270  ppiub  26696  ax5seglem7  28182  ipasslem10  30079  norm3adifii  30388  lnophmlem2  31257  ballotlem2  33475  lhe4.4ex1a  43073  stoweidlem26  44728  dirkertrigeqlem3  44802
  Copyright terms: Public domain W3C validator