Theorem negsubdi2i 11571

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 1-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2i	⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)

Proof of Theorem negsubdi2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3i.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	negsubdii 11570	. 2 ⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 + 𝐵)
4	1	negcli 11553	. . 3 ⊢ -𝐴 ∈ ℂ
5	2, 1	negsubi 11563	. . 3 ⊢ (𝐵 + -𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
6	2, 4, 5	addcomli 11429	. 2 ⊢ (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)
7	3, 6	eqtri 2785	1 ⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11468  -cneg 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  zeo  12710  geo2sum2  15965  bpoly2  16147  bpoly3  16148  cos2bnd  16280  3dvds  16425  ppiub  27438  ax5seglem7  29378  ipasslem10  31306  norm3adifii  31615  lnophmlem2  32484  cos9thpiminplylem5  34283  ballotlem2  34987  lhe4.4ex1a  45140  stoweidlem26  46841  dirkertrigeqlem3  46915