Theorem newbdayim 27841

Description: One direction of the biconditional in newbday 27840. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
newbdayim	⊢ (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) = 𝐴)

Proof of Theorem newbdayim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6851	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom N )
2		newf 27792	. . . . 5 ⊢ N :On⟶𝒫 No
3		fdm 6656	. . . . 5 ⊢ ( N :On⟶𝒫 No → dom N = On)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom N = On
5	1, 4	eleqtrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
6		newssno 27796	. . . 4 ⊢ ( N ‘𝐴) ⊆ No
7	6	sseli 3928	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) → 𝑋 ∈ No )
8		newbday 27840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ No ) → (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) ↔ ( bday ‘𝑋) = 𝐴))
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) → (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) ↔ ( bday ‘𝑋) = 𝐴))
10	9	ibi 267	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( N ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  𝒫 cpw 4548  dom cdm 5614  Oncon0 6302  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477   No csur 27571   bday cbday 27573   N cnew 27778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-1o 8380  df-2o 8381  df-no 27574  df-slt 27575  df-bday 27576  df-sslt 27714  df-scut 27716  df-made 27781  df-old 27782  df-new 27783  df-left 27784  df-right 27785

This theorem is referenced by: (None)