Theorem lrcut 28323

Description: A surreal is equal to the cut of its left and right sets. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lrcut	⊢ (𝑋 ∈ No → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem lrcut

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayon 28171	. . . . 5 ⊢ (bday‘𝑋) ∈ On
2	1	oneli 6499	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (bday‘𝑋) → 𝑏 ∈ On)
3		madebday 28319	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No) → (𝑦 ∈ (M‘𝑏) ↔ (bday‘𝑦) ⊆ 𝑏))
4	3	biimprd 251	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No) → ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
5	2, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ (bday‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ No) → ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
6	5	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ (bday‘𝑋)∀𝑦 ∈ No ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏))
7		madebdaylemlrcut 28318	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (bday‘𝑋)∀𝑦 ∈ No ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)) ∧ 𝑋 ∈ No) → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)
8	6, 7	mpan 703	1 ⊢ (𝑋 ∈ No → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  Oncon0 6383  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Nocsur 28030  bdaycbday 28032   |s ccuts 28178  Mcmade 28241  Lcleft 28244  Rcright 28245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249  df-right 28250

This theorem is used by:  cutsfo  28324  ltsn0  28325  ltslpss  28327  leslss  28328  bdayiun  28334  cutpos  28352  cutminmax  28355  addsrid  28383  addsasslem1  28422  addsasslem2  28423  negsid  28460  mulsrid  28532  addsdilem1  28570  mulsasslem1  28582  mulsasslem2  28583  elons2  28677  oncutleft  28682  oncutlt  28683  onsbnd  28700  n0fincut  28774  halfcut  28877  elreno2  28914