Theorem lrcut 27742

Description: A surreal is equal to the cut of its left and right sets. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lrcut	⊢ (𝑋 ∈ No → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem lrcut

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayelon 27622	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝑋) ∈ On
2	1	oneli 6478	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ( bday ‘𝑋) → 𝑏 ∈ On)
3		madebday 27739	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑦 ∈ ( M ‘𝑏) ↔ ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑏))
4	3	biimprd 247	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No ) → (( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ ( M ‘𝑏)))
5	2, 4	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ( bday ‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ No ) → (( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ ( M ‘𝑏)))
6	5	rgen2 3196	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ ( bday ‘𝑋)∀𝑦 ∈ No (( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ ( M ‘𝑏))
7		madebdaylemlrcut 27738	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ ( bday ‘𝑋)∀𝑦 ∈ No (( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ ( M ‘𝑏)) ∧ 𝑋 ∈ No ) → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)
8	6, 7	mpan 687	1 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948  Oncon0 6364  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   No csur 27486   bday cbday 27488   |s cscut 27628   M cmade 27682   L cleft 27685   R cright 27686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-2o 8473  df-no 27489  df-slt 27490  df-bday 27491  df-sslt 27627  df-scut 27629  df-made 27687  df-old 27688  df-left 27690  df-right 27691

This theorem is referenced by:  scutfo  27743  sltn0  27744  sltlpss  27746  slelss  27747  cutpos  27766  addsrid  27794  addsasslem1  27833  addsasslem2  27834  negsid  27866  mulsrid  27926  addsdilem1  27964  mulsasslem1  27976  mulsasslem2  27977  elons2  28064  onscutleft  28068