Theorem lrcut 28290

Description: A surreal is equal to the cut of its left and right sets. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lrcut	⊢ (𝑋 ∈ No → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem lrcut

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayon 28138	. . . . 5 ⊢ (bday‘𝑋) ∈ On
2	1	oneli 6478	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (bday‘𝑋) → 𝑏 ∈ On)
3		madebday 28286	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No) → (𝑦 ∈ (M‘𝑏) ↔ (bday‘𝑦) ⊆ 𝑏))
4	3	biimprd 251	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No) → ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
5	2, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ (bday‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ No) → ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
6	5	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ (bday‘𝑋)∀𝑦 ∈ No ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏))
7		madebdaylemlrcut 28285	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (bday‘𝑋)∀𝑦 ∈ No ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)) ∧ 𝑋 ∈ No) → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)
8	6, 7	mpan 703	1 ⊢ (𝑋 ∈ No → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 27997  bdaycbday 27999   |s ccuts 28145  Mcmade 28208  Lcleft 28211  Rcright 28212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-1o 8476  df-2o 8477  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217

This theorem is used by:  cutsfo  28291  ltsn0  28292  ltslpss  28294  leslss  28295  bdayiun  28301  cutpos  28319  cutminmax  28322  addsrid  28350  addsasslem1  28389  addsasslem2  28390  negsid  28427  mulsrid  28499  addsdilem1  28537  mulsasslem1  28549  mulsasslem2  28550  elons2  28644  oncutleft  28649  oncutlt  28650  onsbnd  28667  n0fincut  28741  halfcut  28844  elreno2  28881