![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nnm0r | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
nnm0r | โข (๐ด โ ฯ โ (โ ยทo ๐ด) = โ ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7421 | . . 3 โข (๐ฅ = โ โ (โ ยทo ๐ฅ) = (โ ยทo โ )) | |
2 | 1 | eqeq1d 2732 | . 2 โข (๐ฅ = โ โ ((โ ยทo ๐ฅ) = โ โ (โ ยทo โ ) = โ )) |
3 | oveq2 7421 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (โ ยทo ๐ฅ) = (โ ยทo ๐ฆ)) | |
4 | 3 | eqeq1d 2732 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ((โ ยทo ๐ฅ) = โ โ (โ ยทo ๐ฆ) = โ )) |
5 | oveq2 7421 | . . 3 โข (๐ฅ = suc ๐ฆ โ (โ ยทo ๐ฅ) = (โ ยทo suc ๐ฆ)) | |
6 | 5 | eqeq1d 2732 | . 2 โข (๐ฅ = suc ๐ฆ โ ((โ ยทo ๐ฅ) = โ โ (โ ยทo suc ๐ฆ) = โ )) |
7 | oveq2 7421 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ (โ ยทo ๐ฅ) = (โ ยทo ๐ด)) | |
8 | 7 | eqeq1d 2732 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((โ ยทo ๐ฅ) = โ โ (โ ยทo ๐ด) = โ )) |
9 | 0elon 6419 | . . 3 โข โ โ On | |
10 | om0 8521 | . . 3 โข (โ โ On โ (โ ยทo โ ) = โ ) | |
11 | 9, 10 | ax-mp 5 | . 2 โข (โ ยทo โ ) = โ |
12 | oveq1 7420 | . . . 4 โข ((โ ยทo ๐ฆ) = โ โ ((โ ยทo ๐ฆ) +o โ ) = (โ +o โ )) | |
13 | oa0 8520 | . . . . 5 โข (โ โ On โ (โ +o โ ) = โ ) | |
14 | 9, 13 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (โ +o โ ) = โ |
15 | 12, 14 | eqtrdi 2786 | . . 3 โข ((โ ยทo ๐ฆ) = โ โ ((โ ยทo ๐ฆ) +o โ ) = โ ) |
16 | peano1 7883 | . . . . 5 โข โ โ ฯ | |
17 | nnmsuc 8611 | . . . . 5 โข ((โ โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ) โ (โ ยทo suc ๐ฆ) = ((โ ยทo ๐ฆ) +o โ )) | |
18 | 16, 17 | mpan 686 | . . . 4 โข (๐ฆ โ ฯ โ (โ ยทo suc ๐ฆ) = ((โ ยทo ๐ฆ) +o โ )) |
19 | 18 | eqeq1d 2732 | . . 3 โข (๐ฆ โ ฯ โ ((โ ยทo suc ๐ฆ) = โ โ ((โ ยทo ๐ฆ) +o โ ) = โ )) |
20 | 15, 19 | imbitrrid 245 | . 2 โข (๐ฆ โ ฯ โ ((โ ยทo ๐ฆ) = โ โ (โ ยทo suc ๐ฆ) = โ )) |
21 | 2, 4, 6, 8, 11, 20 | finds 7893 | 1 โข (๐ด โ ฯ โ (โ ยทo ๐ด) = โ ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ c0 4323 Oncon0 6365 suc csuc 6367 (class class class)co 7413 ฯcom 7859 +o coa 8467 ยทo comu 8468 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pr 5428 ax-un 7729 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7860 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-oadd 8474 df-omul 8475 |
This theorem is referenced by: nnmcom 8630 nnmord 8636 nnmwordi 8639 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |