MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnm0r 8614
Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm0r (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)

Proof of Theorem nnm0r
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo โˆ…))
21eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…))
3 oveq2 7421 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
43eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ…))
5 oveq2 7421 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ))
65eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ…))
7 oveq2 7421 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo ๐ด))
87eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…))
9 0elon 6419 . . 3 โˆ… โˆˆ On
10 om0 8521 . . 3 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…)
119, 10ax-mp 5 . 2 (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…
12 oveq1 7420 . . . 4 ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…) = (โˆ… +o โˆ…))
13 oa0 8520 . . . . 5 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… +o โˆ…) = โˆ…)
149, 13ax-mp 5 . . . 4 (โˆ… +o โˆ…) = โˆ…
1512, 14eqtrdi 2786 . . 3 ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…) = โˆ…)
16 peano1 7883 . . . . 5 โˆ… โˆˆ ฯ‰
17 nnmsuc 8611 . . . . 5 ((โˆ… โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…))
1816, 17mpan 686 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…))
1918eqeq1d 2732 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ… โ†” ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…) = โˆ…))
2015, 19imbitrrid 245 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ…))
212, 4, 6, 8, 11, 20finds 7893 1 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ…c0 4323  Oncon0 6365  suc csuc 6367  (class class class)co 7413  ฯ‰com 7859   +o coa 8467   ยทo comu 8468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-oadd 8474  df-omul 8475
This theorem is referenced by:  nnmcom  8630  nnmord  8636  nnmwordi  8639
  Copyright terms: Public domain W3C validator