Theorem oacan 8556

Description: Left cancellation law for ordinal addition. Corollary 8.5 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oacan	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem oacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaord 8555	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
2	1	3comr 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
3		oaord 8555	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	3com13 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	orbi12d 932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
6	5	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
7		eloni 6372	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8		eloni 6372	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
9		ordtri3 6399	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11	10	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12		oacl 8543	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
13		eloni 6372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐵))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐵))
15		oacl 8543	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐶) ∈ On)
16		eloni 6372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐶) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐶))
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐶))
18		ordtri3 6399	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐴 +o 𝐵) ∧ Ord (𝐴 +o 𝐶)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
19	14, 17, 18	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
20	19	3impdi 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
21	6, 11, 20	3bitr4rd 315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ord word 6361  Oncon0 6362  (class class class)co 7420   +_o coa 8473

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-oadd 8480

This theorem is used by:  oawordeulem  8562  tfsconcatrn  44344