Theorem oacan 8473

Description: Left cancellation law for ordinal addition. Corollary 8.5 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oacan	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem oacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaord 8472	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
2	1	3comr 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
3		oaord 8472	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	3com13 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	orbi12d 918	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
7		eloni 6325	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8		eloni 6325	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
9		ordtri3 6351	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11	10	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12		oacl 8460	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
13		eloni 6325	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐵))
15		oacl 8460	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐶) ∈ On)
16		eloni 6325	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐶) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐶))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐶))
18		ordtri3 6351	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐴 +o 𝐵) ∧ Ord (𝐴 +o 𝐶)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
19	14, 17, 18	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
20	19	3impdi 1351	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
21	6, 11, 20	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ord word 6314  Oncon0 6315  (class class class)co 7356   +_o coa 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-oadd 8399

This theorem is referenced by:  oawordeulem  8479  tfsconcatrn  43526