Theorem oacan 8341

Description: Left cancellation law for ordinal addition. Corollary 8.5 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oacan	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem oacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaord 8340	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
2	1	3comr 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
3		oaord 8340	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	3com13 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	orbi12d 915	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
6	5	notbid 317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
7		eloni 6261	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8		eloni 6261	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
9		ordtri3 6287	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11	10	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12		oacl 8327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
13		eloni 6261	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐵))
15		oacl 8327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐶) ∈ On)
16		eloni 6261	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐶) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐶))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐶))
18		ordtri3 6287	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐴 +o 𝐵) ∧ Ord (𝐴 +o 𝐶)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
19	14, 17, 18	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
20	19	3impdi 1348	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
21	6, 11, 20	3bitr4rd 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Ord word 6250  Oncon0 6251  (class class class)co 7255   +_o coa 8264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-oadd 8271

This theorem is referenced by:  oawordeulem  8347