Theorem oacan 8547

Description: Left cancellation law for ordinal addition. Corollary 8.5 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oacan	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem oacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaord 8546	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
2	1	3comr 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
3		oaord 8546	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	3com13 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	orbi12d 917	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
6	5	notbid 317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
7		eloni 6374	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8		eloni 6374	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
9		ordtri3 6400	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11	10	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12		oacl 8534	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
13		eloni 6374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐵))
15		oacl 8534	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐶) ∈ On)
16		eloni 6374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝐶) ∈ On → Ord (𝐴 +o 𝐶))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord (𝐴 +o 𝐶))
18		ordtri3 6400	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐴 +o 𝐵) ∧ Ord (𝐴 +o 𝐶)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
19	14, 17, 18	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On)) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
20	19	3impdi 1350	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶) ∨ (𝐴 +o 𝐶) ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
21	6, 11, 20	3bitr4rd 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7408   +_o coa 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-oadd 8469

This theorem is referenced by:  oawordeulem  8553  tfsconcatrn  42082