Theorem oaword 8476

Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
oaword	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem oaword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaord 8474	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
2	1	3com12 1124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
4		ontri1 6350	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
6		oacl 8462	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
7	6	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
8	7	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
9		oacl 8462	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
10	9	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
11	10	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
12		ontri1 6350	. . 3 ⊢ (((𝐶 +o 𝐴) ∈ On ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ On) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
13	8, 11, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
14	3, 5, 13	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  Oncon0 6316  (class class class)co 7358   +_o coa 8394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-oadd 8401

This theorem is referenced by:  oaword1  8479  oaass  8488  omwordri  8499  omlimcl  8505  oaabs2  8577  oasubex  43565  oaabsb  43573  omabs2  43611