MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaword 8545
Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
oaword ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem oaword
StepHypRef Expression
1 oaord 8543 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
213com12 1120 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
32notbid 318 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
4 ontri1 6389 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
543adant3 1129 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
6 oacl 8531 . . . . 5 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
873adant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
9 oacl 8531 . . . . 5 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
109ancoms 458 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
11103adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
12 ontri1 6389 . . 3 (((𝐶 +o 𝐴) ∈ On ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ On) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
138, 11, 12syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
143, 5, 133bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1084  wcel 2098  wss 3941  Oncon0 6355  (class class class)co 7402   +o coa 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466
This theorem is referenced by:  oaword1  8548  oaass  8557  omwordri  8568  omlimcl  8574  oaabs2  8645  oasubex  42550  oaabsb  42558  omabs2  42596
  Copyright terms: Public domain W3C validator