MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaword 8586
Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
oaword ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem oaword
StepHypRef Expression
1 oaord 8584 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
213com12 1122 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
32notbid 318 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
4 ontri1 6420 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
543adant3 1131 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
6 oacl 8572 . . . . 5 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
873adant2 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ On)
9 oacl 8572 . . . . 5 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
109ancoms 458 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
11103adant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ On)
12 ontri1 6420 . . 3 (((𝐶 +o 𝐴) ∈ On ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ On) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
138, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
143, 5, 133bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1086  wcel 2106  wss 3963  Oncon0 6386  (class class class)co 7431   +o coa 8502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-oadd 8509
This theorem is referenced by:  oaword1  8589  oaass  8598  omwordri  8609  omlimcl  8615  oaabs2  8686  oasubex  43276  oaabsb  43284  omabs2  43322
  Copyright terms: Public domain W3C validator