![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ocorth | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ocorth | โข (๐ป โ โ โ ((๐ด โ ๐ป โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ocel 31039 | . . . . . 6 โข (๐ป โ โ โ (๐ต โ (โฅโ๐ป) โ (๐ต โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0))) | |
2 | 1 | simplbda 499 | . . . . 5 โข ((๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0) |
3 | 2 | adantl 481 | . . . 4 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0) |
4 | oveq2 7412 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ต ยทih ๐ฅ) = (๐ต ยทih ๐ด)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2728 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
6 | 5 | rspcv 3602 | . . . . . 6 โข (๐ด โ ๐ป โ (โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
7 | 6 | ad2antlr 724 | . . . . 5 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
8 | ssel2 3972 | . . . . . 6 โข ((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โ ๐ด โ โ) | |
9 | ocss 31043 | . . . . . . 7 โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) โ โ) | |
10 | 9 | sselda 3977 | . . . . . 6 โข ((๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ ๐ต โ โ) |
11 | orthcom 30866 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) | |
12 | 8, 10, 11 | syl2an 595 | . . . . 5 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
13 | 7, 12 | sylibrd 259 | . . . 4 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
14 | 3, 13 | mpd 15 | . . 3 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0) |
15 | 14 | anandis 675 | . 2 โข ((๐ป โ โ โง (๐ด โ ๐ป โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0) |
16 | 15 | ex 412 | 1 โข (๐ป โ โ โ ((๐ด โ ๐ป โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3055 โ wss 3943 โcfv 6536 (class class class)co 7404 0cc0 11109 โchba 30677 ยทih csp 30680 โฅcort 30688 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-hilex 30757 ax-hfvadd 30758 ax-hv0cl 30761 ax-hfvmul 30763 ax-hvmul0 30768 ax-hfi 30837 ax-his1 30840 ax-his2 30841 ax-his3 30842 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-2 12276 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sh 30965 df-oc 31010 |
This theorem is referenced by: shocorth 31050 ococss 31051 riesz3i 31820 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |