Theorem ocorth 31227

Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocorth	⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem ocorth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocel 31217	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)))
2	1	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
4		oveq2 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝐴))
5	4	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	rspcv 3593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
7	6	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8		ssel2 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9		ocss 31221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sselda 3954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		orthcom 31044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
12	8, 10, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
13	7, 12	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	3, 13	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
15	14	anandis 678	. 2 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	15	ex 412	1 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046   ⊆ wss 3922  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  0cc0 11086   ℋchba 30855   ·_ih csp 30858  ⊥cort 30866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hv0cl 30939  ax-hfvmul 30941  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sh 31143  df-oc 31188

This theorem is referenced by:  shocorth  31228  ococss  31229  riesz3i  31998