Theorem ocorth 31314

Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocorth	⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem ocorth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocel 31304	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)))
2	1	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
4		oveq2 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝐴))
5	4	eqeq1d 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	rspcv 3627	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
7	6	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8		ssel2 3997	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9		ocss 31308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sselda 4002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		orthcom 31131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
12	8, 10, 11	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
13	7, 12	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	3, 13	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
15	14	anandis 677	. 2 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	15	ex 412	1 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ∀wral 3063   ⊆ wss 3970  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180   ℋchba 30942   ·_ih csp 30945  ⊥cort 30953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-hilex 31022  ax-hfvadd 31023  ax-hv0cl 31026  ax-hfvmul 31028  ax-hvmul0 31033  ax-hfi 31102  ax-his1 31105  ax-his2 31106  ax-his3 31107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-2 12352  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sh 31230  df-oc 31275

This theorem is referenced by:  shocorth  31315  ococss  31316  riesz3i  32085