![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ocorth | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ocorth | โข (๐ป โ โ โ ((๐ด โ ๐ป โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ocel 31104 | . . . . . 6 โข (๐ป โ โ โ (๐ต โ (โฅโ๐ป) โ (๐ต โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0))) | |
2 | 1 | simplbda 499 | . . . . 5 โข ((๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0) |
3 | 2 | adantl 481 | . . . 4 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0) |
4 | oveq2 7428 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ต ยทih ๐ฅ) = (๐ต ยทih ๐ด)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2730 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
6 | 5 | rspcv 3605 | . . . . . 6 โข (๐ด โ ๐ป โ (โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
7 | 6 | ad2antlr 726 | . . . . 5 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
8 | ssel2 3975 | . . . . . 6 โข ((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โ ๐ด โ โ) | |
9 | ocss 31108 | . . . . . . 7 โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) โ โ) | |
10 | 9 | sselda 3980 | . . . . . 6 โข ((๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ ๐ต โ โ) |
11 | orthcom 30931 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) | |
12 | 8, 10, 11 | syl2an 595 | . . . . 5 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ (๐ต ยทih ๐ด) = 0)) |
13 | 7, 12 | sylibrd 259 | . . . 4 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (โ๐ฅ โ ๐ป (๐ต ยทih ๐ฅ) = 0 โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
14 | 3, 13 | mpd 15 | . . 3 โข (((๐ป โ โ โง ๐ด โ ๐ป) โง (๐ป โ โ โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0) |
15 | 14 | anandis 677 | . 2 โข ((๐ป โ โ โง (๐ด โ ๐ป โง ๐ต โ (โฅโ๐ป))) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0) |
16 | 15 | ex 412 | 1 โข (๐ป โ โ โ ((๐ด โ ๐ป โง ๐ต โ (โฅโ๐ป)) โ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwral 3058 โ wss 3947 โcfv 6548 (class class class)co 7420 0cc0 11139 โchba 30742 ยทih csp 30745 โฅcort 30753 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 ax-hilex 30822 ax-hfvadd 30823 ax-hv0cl 30826 ax-hfvmul 30828 ax-hvmul0 30833 ax-hfi 30902 ax-his1 30905 ax-his2 30906 ax-his3 30907 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 df-2 12306 df-cj 15079 df-re 15080 df-im 15081 df-sh 31030 df-oc 31075 |
This theorem is referenced by: shocorth 31115 ococss 31116 riesz3i 31885 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |