HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocorth 30275
Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocorth (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))

Proof of Theorem ocorth
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocel 30265 . . . . . 6 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป) โ†” (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)))
21simplbda 501 . . . . 5 ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)
32adantl 483 . . . 4 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)
4 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = (๐ต ยทih ๐ด))
54eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
65rspcv 3580 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐ป โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
76ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
8 ssel2 3944 . . . . . 6 ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
9 ocss 30269 . . . . . . 7 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) โŠ† โ„‹)
109sselda 3949 . . . . . 6 ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
11 orthcom 30092 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
128, 10, 11syl2an 597 . . . . 5 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
137, 12sylibrd 259 . . . 4 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
143, 13mpd 15 . . 3 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)
1514anandis 677 . 2 ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)
1615ex 414 1 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โŠ† wss 3915  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   โ„‹chba 29903   ยทih csp 29906  โŠฅcort 29914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sh 30191  df-oc 30236
This theorem is referenced by:  shocorth  30276  ococss  30277  riesz3i  31046
  Copyright terms: Public domain W3C validator