Theorem ocorth 31347

Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocorth	⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem ocorth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocel 31337	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)))
2	1	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
4		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝐴))
5	4	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	rspcv 3571	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
7	6	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8		ssel2 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9		ocss 31341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sselda 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		orthcom 31164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
12	8, 10, 11	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
13	7, 12	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	3, 13	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
15	14	anandis 679	. 2 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	15	ex 412	1 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028   ℋchba 30975   ·_ih csp 30978  ⊥cort 30986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-hilex 31055  ax-hfvadd 31056  ax-hv0cl 31059  ax-hfvmul 31061  ax-hvmul0 31066  ax-hfi 31135  ax-his1 31138  ax-his2 31139  ax-his3 31140

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sh 31263  df-oc 31308

This theorem is referenced by:  shocorth  31348  ococss  31349  riesz3i  32118