Theorem ocorth 31270

Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocorth	⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem ocorth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocel 31260	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)))
2	1	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
4		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝐴))
5	4	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	rspcv 3581	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
7	6	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8		ssel2 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9		ocss 31264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sselda 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		orthcom 31087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
12	8, 10, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
13	7, 12	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	3, 13	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
15	14	anandis 678	. 2 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	15	ex 412	1 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044   ℋchba 30898   ·_ih csp 30901  ⊥cort 30909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hv0cl 30982  ax-hfvmul 30984  ax-hvmul0 30989  ax-hfi 31058  ax-his1 31061  ax-his2 31062  ax-his3 31063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sh 31186  df-oc 31231

This theorem is referenced by:  shocorth  31271  ococss  31272  riesz3i  32041