HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocorth 31049
Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocorth (๐ป โІ โ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))

Proof of Theorem ocorth
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocel 31039 . . . . . 6 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป) โ†” (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)))
21simplbda 499 . . . . 5 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)
32adantl 481 . . . 4 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)
4 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = (๐ต ยทih ๐ด))
54eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
65rspcv 3602 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐ป โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
76ad2antlr 724 . . . . 5 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
8 ssel2 3972 . . . . . 6 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
9 ocss 31043 . . . . . . 7 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) โІ โ„‹)
109sselda 3977 . . . . . 6 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
11 orthcom 30866 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
128, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
137, 12sylibrd 259 . . . 4 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
143, 13mpd 15 . . 3 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)
1514anandis 675 . 2 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)
1615ex 412 1 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โІ wss 3943  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109   โ„‹chba 30677   ยทih csp 30680  โŠฅcort 30688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hv0cl 30761  ax-hfvmul 30763  ax-hvmul0 30768  ax-hfi 30837  ax-his1 30840  ax-his2 30841  ax-his3 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sh 30965  df-oc 31010
This theorem is referenced by:  shocorth  31050  ococss  31051  riesz3i  31820
  Copyright terms: Public domain W3C validator