HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocorth 31325
Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocorth (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem ocorth
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocel 31315 . . . . . 6 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)))
21simplbda 499 . . . . 5 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
32adantl 481 . . . 4 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
4 oveq2 7458 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝐴))
54eqeq1d 2742 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
65rspcv 3631 . . . . . 6 (𝐴𝐻 → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
76ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8 ssel2 4003 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9 ocss 31319 . . . . . . 7 (𝐻 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
109sselda 4008 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 orthcom 31142 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
128, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
137, 12sylibrd 259 . . . 4 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
143, 13mpd 15 . . 3 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1514anandis 677 . 2 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1615ex 412 1 (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  wss 3976  cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  chba 30953   ·ih csp 30956  cort 30964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-hilex 31033  ax-hfvadd 31034  ax-hv0cl 31037  ax-hfvmul 31039  ax-hvmul0 31044  ax-hfi 31113  ax-his1 31116  ax-his2 31117  ax-his3 31118
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-2 12358  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sh 31241  df-oc 31286
This theorem is referenced by:  shocorth  31326  ococss  31327  riesz3i  32096
  Copyright terms: Public domain W3C validator