HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocorth 31114
Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocorth (๐ป โІ โ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))

Proof of Theorem ocorth
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocel 31104 . . . . . 6 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป) โ†” (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)))
21simplbda 499 . . . . 5 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)
32adantl 481 . . . 4 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0)
4 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = (๐ต ยทih ๐ด))
54eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
65rspcv 3605 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐ป โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
76ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
8 ssel2 3975 . . . . . 6 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
9 ocss 31108 . . . . . . 7 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) โІ โ„‹)
109sselda 3980 . . . . . 6 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
11 orthcom 30931 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
128, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = 0 โ†” (๐ต ยทih ๐ด) = 0))
137, 12sylibrd 259 . . . 4 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (๐ต ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
143, 13mpd 15 . . 3 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ป) โˆง (๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)
1514anandis 677 . 2 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป))) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0)
1615ex 412 1 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ป โˆง ๐ต โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ป)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058   โІ wss 3947  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139   โ„‹chba 30742   ยทih csp 30745  โŠฅcort 30753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hv0cl 30826  ax-hfvmul 30828  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his2 30906  ax-his3 30907
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sh 31030  df-oc 31075
This theorem is referenced by:  shocorth  31115  ococss  31116  riesz3i  31885
  Copyright terms: Public domain W3C validator