Theorem oldf 28006

Description: The older function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldf	⊢ O :On⟶𝒫 No

Proof of Theorem oldf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-old 27997	. 2 ⊢ O = (𝑥 ∈ On ↦ ∪ ( M “ 𝑥))
2		imassrn 6073	. . . . . . . 8 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ ran M
3		madef 28005	. . . . . . . . 9 ⊢ M :On⟶𝒫 No
4		frn 6713	. . . . . . . . 9 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → ran M ⊆ 𝒫 No )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran M ⊆ 𝒫 No
6	2, 5	sstri 3945	. . . . . . 7 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ 𝒫 No
7	6	sseli 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 No )
8	7	elpwid 4570	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ⊆ No )
9	8	rgen 3079	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
11		ffun 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun M
13		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	funimaex 6623	. . . . . . 7 ⊢ (Fun M → ( M “ 𝑥) ∈ V)
15	12, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( M “ 𝑥) ∈ V
16	15	uniex 7739	. . . . 5 ⊢ ∪ ( M “ 𝑥) ∈ V
17	16	elpw 4565	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No )
18		unissb 4905	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
19	17, 18	bitri 278	. . 3 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
20	10, 19	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No )
21	1, 20	fmpti 7107	1 ⊢ O :On⟶𝒫 No

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871  ran crn 5662   “ cima 5664  Oncon0 6360  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532   No csur 27780   M cmade 27991   O cold 27992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8452  df-2o 8453  df-no 27783  df-lts 27784  df-bday 27785  df-slts 27927  df-cuts 27929  df-made 27996  df-old 27997

This theorem is referenced by:  oldssno  28010  leftf  28024  rightf  28025  oldssmade  28036  oldss  28039  oldlim  28056  oldbdayim  28058