Theorem oldf 28253

Description: The older function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldf	⊢ O:On⟶𝒫 No

Proof of Theorem oldf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-old 28244	. 2 ⊢ O = (𝑥 ∈ On ↦ ∪ (M “ 𝑥))
2		imassrn 6210	. . . . . . . 8 ⊢ (M “ 𝑥) ⊆ ran M
3		madef 28252	. . . . . . . . 9 ⊢ M:On⟶𝒫 No
4		frn 6739	. . . . . . . . 9 ⊢ (M:On⟶𝒫 No → ran M ⊆ 𝒫 No)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran M ⊆ 𝒫 No
6	2, 5	sstri 3922	. . . . . . 7 ⊢ (M “ 𝑥) ⊆ 𝒫 No
7	6	sseli 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (M “ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 No)
8	7	elpwid 4569	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (M “ 𝑥) → 𝑦 ⊆ No)
9	8	rgen 3082	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ (M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No)
11		ffun 6734	. . . . . . . 8 ⊢ (M:On⟶𝒫 No → Fun M)
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun M
13		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	funimaex 6649	. . . . . . 7 ⊢ (Fun M → (M “ 𝑥) ∈ V)
15	12, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (M “ 𝑥) ∈ V
16	15	uniex 7782	. . . . 5 ⊢ ∪ (M “ 𝑥) ∈ V
17	16	elpw 4564	. . . 4 ⊢ (∪ (M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∪ (M “ 𝑥) ⊆ No)
18		unissb 4904	. . . 4 ⊢ (∪ (M “ 𝑥) ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ (M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No)
19	17, 18	bitri 278	. . 3 ⊢ (∪ (M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ (M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No)
20	10, 19	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∪ (M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No)
21	1, 20	fmpti 7136	1 ⊢ O:On⟶𝒫 No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ran crn 5656   “ cima 5658  Oncon0 6380  Fun wfun 6552  ⟶wf 6554  Nocsur 28027  Mcmade 28238  Ocold 28239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-made 28243  df-old 28244

This theorem is used by:  oldssno  28257  leftf  28271  rightf  28272  oldssmade  28283  oldss  28286  oldlim  28303  oldbdayim  28305