Theorem oldf 27765

Description: The older function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldf	⊢ O :On⟶𝒫 No

Proof of Theorem oldf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-old 27756	. 2 ⊢ O = (𝑥 ∈ On ↦ ∪ ( M “ 𝑥))
2		imassrn 6042	. . . . . . . 8 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ ran M
3		madef 27764	. . . . . . . . 9 ⊢ M :On⟶𝒫 No
4		frn 6695	. . . . . . . . 9 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → ran M ⊆ 𝒫 No )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran M ⊆ 𝒫 No
6	2, 5	sstri 3956	. . . . . . 7 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ 𝒫 No
7	6	sseli 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 No )
8	7	elpwid 4572	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ⊆ No )
9	8	rgen 3046	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
11		ffun 6691	. . . . . . . 8 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun M
13		vex 3451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	funimaex 6605	. . . . . . 7 ⊢ (Fun M → ( M “ 𝑥) ∈ V)
15	12, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( M “ 𝑥) ∈ V
16	15	uniex 7717	. . . . 5 ⊢ ∪ ( M “ 𝑥) ∈ V
17	16	elpw 4567	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No )
18		unissb 4903	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
19	17, 18	bitri 275	. . 3 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
20	10, 19	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No )
21	1, 20	fmpti 7084	1 ⊢ O :On⟶𝒫 No

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871  ran crn 5639   “ cima 5641  Oncon0 6332  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507   No csur 27551   M cmade 27750   O cold 27751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-made 27755  df-old 27756

This theorem is referenced by:  oldssno  27769  leftf  27777  rightf  27778  oldssmade  27789  oldlim  27798  oldbdayim  27800