Theorem oldf 34069

Description: The older function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldf	⊢ O :On⟶𝒫 No

Proof of Theorem oldf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-old 34060	. 2 ⊢ O = (𝑥 ∈ On ↦ ∪ ( M “ 𝑥))
2		imassrn 5981	. . . . . . . 8 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ ran M
3		madef 34068	. . . . . . . . 9 ⊢ M :On⟶𝒫 No
4		frn 6625	. . . . . . . . 9 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → ran M ⊆ 𝒫 No )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran M ⊆ 𝒫 No
6	2, 5	sstri 3932	. . . . . . 7 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ 𝒫 No
7	6	sseli 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 No )
8	7	elpwid 4547	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ⊆ No )
9	8	rgen 3061	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
11		ffun 6621	. . . . . . . 8 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun M
13		vex 3438	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	funimaex 6539	. . . . . . 7 ⊢ (Fun M → ( M “ 𝑥) ∈ V)
15	12, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( M “ 𝑥) ∈ V
16	15	uniex 7614	. . . . 5 ⊢ ∪ ( M “ 𝑥) ∈ V
17	16	elpw 4540	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No )
18		unissb 4876	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
19	17, 18	bitri 274	. . 3 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
20	10, 19	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No )
21	1, 20	fmpti 7006	1 ⊢ O :On⟶𝒫 No

Syntax hints:   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059  Vcvv 3434   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4536  ∪ cuni 4841  ran crn 5592   “ cima 5594  Oncon0 6270  Fun wfun 6441  ⟶wf 6443   No csur 33871   M cmade 34054   O cold 34055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-1o 8317  df-2o 8318  df-no 33874  df-slt 33875  df-bday 33876  df-sslt 34004  df-scut 34006  df-made 34059  df-old 34060

This theorem is referenced by:  oldssno  34073  leftf  34077  rightf  34078  oldssmade  34088  oldlim  34097  oldbdayim  34099