Theorem oldf 27785

Description: The older function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldf	⊢ O :On⟶𝒫 No

Proof of Theorem oldf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-old 27776	. 2 ⊢ O = (𝑥 ∈ On ↦ ∪ ( M “ 𝑥))
2		imassrn 6026	. . . . . . . 8 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ ran M
3		madef 27784	. . . . . . . . 9 ⊢ M :On⟶𝒫 No
4		frn 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → ran M ⊆ 𝒫 No )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran M ⊆ 𝒫 No
6	2, 5	sstri 3947	. . . . . . 7 ⊢ ( M “ 𝑥) ⊆ 𝒫 No
7	6	sseli 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 No )
8	7	elpwid 4562	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ⊆ No )
9	8	rgen 3046	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
11		ffun 6659	. . . . . . . 8 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun M
13		vex 3442	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	funimaex 6574	. . . . . . 7 ⊢ (Fun M → ( M “ 𝑥) ∈ V)
15	12, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( M “ 𝑥) ∈ V
16	15	uniex 7681	. . . . 5 ⊢ ∪ ( M “ 𝑥) ∈ V
17	16	elpw 4557	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No )
18		unissb 4893	. . . 4 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
19	17, 18	bitri 275	. . 3 ⊢ (∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 ⊆ No )
20	10, 19	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∪ ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No )
21	1, 20	fmpti 7050	1 ⊢ O :On⟶𝒫 No

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861  ran crn 5624   “ cima 5626  Oncon0 6311  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482   No csur 27567   M cmade 27770   O cold 27771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-made 27775  df-old 27776

This theorem is referenced by:  oldssno  27789  leftf  27797  rightf  27798  oldssmade  27809  oldss  27810  oldlim  27819  oldbdayim  27821