Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldf 34069
Description: The older function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldf O :On⟶𝒫 No

Proof of Theorem oldf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-old 34060 . 2 O = (𝑥 ∈ On ↦ ( M “ 𝑥))
2 imassrn 5981 . . . . . . . 8 ( M “ 𝑥) ⊆ ran M
3 madef 34068 . . . . . . . . 9 M :On⟶𝒫 No
4 frn 6625 . . . . . . . . 9 ( M :On⟶𝒫 No → ran M ⊆ 𝒫 No )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran M ⊆ 𝒫 No
62, 5sstri 3932 . . . . . . 7 ( M “ 𝑥) ⊆ 𝒫 No
76sseli 3919 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 No )
87elpwid 4547 . . . . 5 (𝑦 ∈ ( M “ 𝑥) → 𝑦 No )
98rgen 3061 . . . 4 𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 No
109a1i 11 . . 3 (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 No )
11 ffun 6621 . . . . . . . 8 ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
123, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun M
13 vex 3438 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
1413funimaex 6539 . . . . . . 7 (Fun M → ( M “ 𝑥) ∈ V)
1512, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ( M “ 𝑥) ∈ V
1615uniex 7614 . . . . 5 ( M “ 𝑥) ∈ V
1716elpw 4540 . . . 4 ( ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ( M “ 𝑥) ⊆ No )
18 unissb 4876 . . . 4 ( ( M “ 𝑥) ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 No )
1917, 18bitri 274 . . 3 ( ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( M “ 𝑥)𝑦 No )
2010, 19sylibr 233 . 2 (𝑥 ∈ On → ( M “ 𝑥) ∈ 𝒫 No )
211, 20fmpti 7006 1 O :On⟶𝒫 No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2101  wral 3059  Vcvv 3434  wss 3889  𝒫 cpw 4536   cuni 4841  ran crn 5592  cima 5594  Oncon0 6270  Fun wfun 6441  wf 6443   No csur 33871   M cmade 34054   O cold 34055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-1o 8317  df-2o 8318  df-no 33874  df-slt 33875  df-bday 33876  df-sslt 34004  df-scut 34006  df-made 34059  df-old 34060
This theorem is referenced by:  oldssno  34073  leftf  34077  rightf  34078  oldssmade  34088  oldlim  34097  oldbdayim  34099
  Copyright terms: Public domain W3C validator