MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcan 8569
Description: Left cancellation law for ordinal multiplication. Proposition 8.20 of [TakeutiZaring] p. 63 and its converse. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omcan (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))

Proof of Theorem omcan
StepHypRef Expression
1 omordi 8566 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ)))
21ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))))
32ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))))
433adant2 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))))
54imp 408 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ)))
6 omordi 8566 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
76ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
87ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
983adant3 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
109imp 408 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
115, 10orim12d 964 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
1211con3d 152 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)) โ†’ ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
13 omcl 8536 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
14 eloni 6375 . . . . . . 7 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
16 omcl 8536 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
17 eloni 6375 . . . . . . 7 ((๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ถ))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ถ))
19 ordtri3 6401 . . . . . 6 ((Ord (๐ด ยทo ๐ต) โˆง Ord (๐ด ยทo ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
2015, 18, 19syl2an 597 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
21203impdi 1351 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
2221adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
23 eloni 6375 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
24 eloni 6375 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
25 ordtri3 6401 . . . . . 6 ((Ord ๐ต โˆง Ord ๐ถ) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
2623, 24, 25syl2an 597 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
27263adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
2827adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
2912, 22, 283imtr4d 294 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ถ))
30 oveq2 7417 . 2 (๐ต = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ))
3129, 30impbid1 224 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4323  Ord word 6364  Oncon0 6365  (class class class)co 7409   ยทo comu 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-oadd 8470  df-omul 8471
This theorem is referenced by:  omword  8570  fin1a2lem4  10398
  Copyright terms: Public domain W3C validator