MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcan 8520
Description: Left cancellation law for ordinal multiplication. Proposition 8.20 of [TakeutiZaring] p. 63 and its converse. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omcan (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))

Proof of Theorem omcan
StepHypRef Expression
1 omordi 8517 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ)))
21ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))))
32ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))))
433adant2 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))))
54imp 408 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ)))
6 omordi 8517 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
76ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
87ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
983adant3 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
109imp 408 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
115, 10orim12d 964 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
1211con3d 152 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)) โ†’ ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
13 omcl 8486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
14 eloni 6331 . . . . . . 7 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
16 omcl 8486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
17 eloni 6331 . . . . . . 7 ((๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ถ))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ถ))
19 ordtri3 6357 . . . . . 6 ((Ord (๐ด ยทo ๐ต) โˆง Ord (๐ด ยทo ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
2015, 18, 19syl2an 597 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
21203impdi 1351 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
2221adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆจ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))))
23 eloni 6331 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
24 eloni 6331 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
25 ordtri3 6357 . . . . . 6 ((Ord ๐ต โˆง Ord ๐ถ) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
2623, 24, 25syl2an 597 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
27263adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
2827adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†” ยฌ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐ถ โˆˆ ๐ต)))
2912, 22, 283imtr4d 294 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ถ))
30 oveq2 7369 . 2 (๐ต = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ))
3129, 30impbid1 224 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4286  Ord word 6320  Oncon0 6321  (class class class)co 7361   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  omword  8521  fin1a2lem4  10347
  Copyright terms: Public domain W3C validator