MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onesuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onesuc 8526
Description: Exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onesuc ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))

Proof of Theorem onesuc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limom 7865 . 2 Lim ฯ‰
2 frsuc 8433 . . 3 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
3 peano2 7875 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
43fvresd 6902 . . 3 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต))
5 fvres 6901 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
65fveq2d 6886 . . 3 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
72, 4, 63eqtr3d 2772 . 2 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
81, 7oesuclem 8521 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466   โ†ฆ cmpt 5222   โ†พ cres 5669  Oncon0 6355  suc csuc 6357  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  ฯ‰com 7849  reccrdg 8405  1oc1o 8455   ยทo comu 8460   โ†‘o coe 8461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-omul 8467  df-oexp 8468
This theorem is referenced by:  oe1  8540  nnesuc  8604
  Copyright terms: Public domain W3C validator